Introduction

De nombreuses recherches sont de plus en plus liées aux études, aussi bien fonda- mentales que numériques, du transport de particules chargées soumises à des champs électromagnétiques. Ces études ont un large champ d'application puisqu'elles concernent aussi bien les dispositifs hyper-fréquence, les accélérateurs de particules, les canons à élec- trons que la physique des plasmas et les semi-conducteurs pour ne citer que ces exemples. Les principales dicultés de la modélisation numérique des phénomènes qui apparaissent dans de tels dispositifs sont principalement la complexité des géométries, l'interaction mu- tuelle entre les particules chargées souvent relativistes et le champ électromagnétique, et le nombre de particules présentes puisqu'il faut calculer les trajectoires de chacune d'elle. La modélisation numérique de tels phénomènes requiert des solveurs des équations de Maxwell instationnaires en dimension trois d'espace. La complexité des dispositifs impose de plus l'utilisation de maillages non structurés de type éléments nis qui permettent d'eectuer éventuellement des ranements locaux. D'autre part, les équations de l'élec- tromagnétisme doivent être couplées avec un modèle de transport de particules chargées relativistes. En négligeant les eets de collision entre particules, un modèle mathématique général est donné par les équations couplées de Vlasov et de Maxwell. Celui-ci est as- sez complet mais son coût de résolution est très élevé à la fois en temps de calcul et en place mémoire. Ceci a conduit à l'élaboration d'autres modèles moins coûteux comme les modèles paraxiaux [24]. Cependant, certains dispositifs comme les canons à électrons par exemple, ne peuvent souvent être modélisés qu'à partir des équations de Vlasov-Maxwell. La modélisation de ces équations a longtemps été un challenge mais le développement de nouvelles méthodes pour la résolution des équations de Maxwell ainsi que l'arrivée des

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super-ordinateurs conduisent de plus en plus de numériciens vers ce thème de recherche. Quelques méthodes numériques pour résoudre les équations de Vlasov-Maxwell ont déjà été développées (cf. [63]) mais nous proposons ici une nouvelle méthode numérique cou- plant:

- la méthode de volumes nis en maillages non structurés présentée précédemment pour la résolution du champ électromagnétique induit par le déplacement des par- ticules chargées et/ou d'un autre dispositif (équations de Maxwell).

- une méthode particulaire pour le calcul de la trajectoire des particules relativistes soumises au champ électromagnétique.

Les méthodes particulaires sont bien adaptées à la résolution de l'équation de Vlasov car nous modélisons seulement le mouvement d'un ensemble de macro-particules repré- sentant un grand nombre de particules physiques. Un algorithme rapide de recherche de ces macro-particules est cependant nécessaire an de minimiser le temps de recherche. L'utilisation de maillages non structurés peut rendre en eet cette étape de recherche extrêmement coûteuse et l'algorithme prohibitif en temps de calcul si des astuces d'ordre informatique et géométrique ne sont pas utilisées. Cet aspect ne sera pas abordé dans cette étude bien que cela soit un point crucial dans le développement de la méthode. Nous avons utilisé ici un algorithme de recherche similaire à celui présenté dans [2].

L'étude de ce couplage est le fruit d'une collaboration avec l'Université de Nice et ces travaux sont présentés sous la forme d'une communication en langue anglaise présentée au colloque " Waves'95 " [45].

IX.1. INTRODUCTION 187 A 2-D VLASOV-MAXWELL SOLVER

ON UNSTRUCTURED MESHES

Didier Issautier 1, Frédéric Poupaud1, Jean-Pierre Cioni 2 and Loula Fezoui2

Abstract

The aim of this paper is to present a method for solving the Vlasov-Maxwell system. We propose a new constrained formulation of the Maxwell equations in order to better satisfy the divergence conditionsdivB =0 ; divE=

 0

. The electromagnetic eld is ap- proximated using a nite volume method. The Vlasov equation is solved by means of a particle method. Some numerical test cases are also presented.

Introduction

The most general mathematical modelling of charged particles transport is the coupling of the Vlasov equation with the time-dependent Maxwell system. Amoung diculties one may encounter in solving numerically such a coupling is the conservation of numerical charges. The continuity equation which expresses this conservation of charges is usually not considered since it is redundant in the continuous model but this redundance is no more observed in the discrete model [HE8]. One way to deal with this problem is to introduce Lagrange multipliers which require the inversion of a laplacian at each time step [AS2].

Inserting such an inversion may alter the good properties of the initial scheme (parallelism and/or vectorization, growing memory and time cost,...) particularly when dealing with unstructured grids which is our case in the present study. Thus, instead of using the Lagrange multiplier technique we choose to introduce some viscosity terms in the Maxwell equations. These viscosity terms will constraint the numerical electromagnetic eld (E;B)

to satisfy the divergence equationsdivE =

 0

; divB=0. Moreover, the addition of these

new terms will result in a very little amount of the total cost in memory and CPU time. We consider here a free collision model of a charged particle transport. We select a nite volume scheme to approximate the time-domain Maxwell equations and unstructured grids are chosen in order to deal with complex geometries. The Vlasov equation is solved using a deterministic particle method. A fractional explicit time-step method based on a multi-step Runge-Kutta type scheme is used for the time-integration of the coupling.

1:LaboratoireJ.-A.Dieudonné,U.R.A.168duCNRSUniversitédeNiceSophia-AntipolisParc Val- rose,BP71,06108NICECedex02

188 CHAPITRE IX. COUPLAGEDESEQUATIONSDEVLASOVETMAXWELL

The paper is divided into four parts. In the rst one, we present the Vlasov-Maxwell system. In the second and third parts, we present the numerical method for solving the Maxwell system and the Vlasov equation. Finally we present some numerical test cases.