En dimension trois, on obtient quand j
r
j;!1 à partir de (III.5):E
(r
;; ) = exp({k jr
j) jr
jP
(k;; ) ;où les angles et sont relatifs aux coordonnées sphériques. L'amplitude de diusion
P
est donnée par:P
(k;; ) = 14I s (n
s^rot(E
)exp (;{kr se
se
) (x
s)d(x
s) ; {k 4 I s ((n
s^E
)^e
+ (n
sE
)e
)exp (;{kr se
se
) (x
s)d(x
s)Pour une onde plane incidente d'amplitude unité, la SER en dimension trois d'espace s'écrit:
= 4 j
P
(k;; )j 2 :III.3 Convergence vers l'état stationnaire périodique
Lorsque nous calculons des solutions périodiques du système de Maxwell (pour des calculs de SER par exemple) par une méthode temporelle, on doit considérer les points suivants:
(a) s'assurer que l'état stationnaire est bien atteint. (b) s'assurer que nous ne faisons pas de calculs inutiles.
(c) accélérer la convergence vers cet état tout en gardant une bonne précision sur le schéma en temps.
Nous n'avons pas abordé ce dernier point dans cette étude. Les points (a) et (b) peuvent se résumer dans la dé nition d'un bon critère de convergence.
Nous avons d'abord utilisé le critère proposé dans [56] pour un cas test dé ni par un cylindre métallique in ni et de section circulaire. La solution est supposée avoir atteint un état périodique lorsqu'elle est de la forme:
Q
(x
; ) =Q
0(x
)cos(k + 0);où k = !c est le nombre d'onde de l'onde incidente. Une telle solution véri e l'équation diérentielle en temps suivante:
Q
=-k2Q
: ()
La discrétisation de (*) permet de dé nir le critère suivant:
LOn = k( tQ3 + k 2dt2Q 3)(
x
;+ (n ;1)dt)k L2 k( tQ3 +k 2dt2Q 3)(x
;) k L2 ; n1 :56 CHAPITRE III. CALCULDELASURFACEEQUIVALENTERADAR(SER)
Nous avons utilisé pour le même cas test deux valeurs diérentes du pas de temps: dt
et 2dt. Les évolutions en temps correspondantes sont notées respectivement LO(dt) et
LO(2dt) et représentées sur la gure III.3. Nous pouvons observer que le résidu LO(dt)
1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 RESIDU TEMPS LO ( 2 dt ) LO ( dt )
Fig. III.3 Sensibilité du critère LO au pas de temps.
atteint une valeur largement inférieure que le second résidu LO(2dt). Ce comportement montre manifestement une dépendance vis à vis du pas de temps de ce critère. En eet, la diminution du pas de temps permet d'obtenir une meilleure approximation de (*) mais ce critère semble contredire les points (b) et (c).
Nous proposons ici un critère basé sur un calcul d'énergie comme test de convergence. Ce test est appliqué pour les problèmes bidimensionnels soit sur le champ électrique transverse soit sur le champ magnétique transverse en utilisant la norme L2 du champ
diracté. On pourra prendre comme base du critère en dimension trois d'espace l'énergie électromagnétique. L'énergie est évaluée sur la totalité du domaine et à chaque période en temps (relative à l'onde incidente):
E1n = j(kQ 3(
x
;n) k;kQ 3(x
;(n ;1))k)j j(kQ 3(x
;) k;kQ 3(x
;0) k)j ; n1:Nous avons poursuivi les calculs jusqu'à ce que le résiduE1 atteigne une valeur xée (10;3
ici). La SER obtenue à ce stade se comparait très bien avec la solution exacte mais nous avons remarqué que la SER était déjà précise à un temps inférieur. Nous avons donc fait
III.3. CONVERGENCEVERSL'ÉTATSTATIONNAIREPÉRIODIQUE 57
des calculs supplémentaires inutiles. Finalement, nous proposons d'améliorer le critèreE1. Nous évaluons alors la normeL2 de la solution dans un domaine convexe incluant l'objet
illuminé et délimité par la surface où la SER est calculée (critère E2). Les erreurs dues à la frontière arti cielle n'aectent plus ainsi la valeur du résidu. Ceci est licite puisque seules les informations locales aux alentours de l'objet sont en fait utilisées pour le calcul de la SER.
Les trois critères LO, E1 etE2 sont comparés sur la gure III.4. Le critèreE2 met le mieux en évidence la convergence vers l'état stationnaire. De plus, nous n'avons observé aucune dépendance vis à vis du pas de temps pour ce critère. Il est peu coûteux en stockage mémoire et en temps de calcul, et semble bien adapté aux simulations périodiques en temps du moment que la méthode numérique converge. Les méthodes numériques temporelles
1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 RESIDU TEMPS E1 E2 LO
Fig. III.4 Comparaison des trois critères.
ne semblent pas être a priori les plus e caces pour résoudre des problèmes de diraction périodiques pour des géométries non convexes. Dans ce cas, les rayons piégés (dans des entrées d'air par exemple) peuvent aecter considérablement la vitesse de convergence. Les solutions ne convergent plus à une vitesse exponentielle vers l'état périodique. Des auteurs ont proposé des méthodes pour accélérer la convergence en forçant par exemple l'état périodique à l'aide de techniques de minimisation [10] ou en introduisant la fréquence de l'onde incidente dans le schéma [44]. Pour des résultats théoriques à propos de la
58 CHAPITRE III. CALCULDELASURFACEEQUIVALENTERADAR(SER)
convergence vers l'état périodique, nous renvoyons le lecteur aux travaux de Lax-Phillips [53] ainsi qu'à ceux de Bardos et al. [3]. Des études dans le cas d'objets non convexes peuvent également être trouvées dans [35].
59
Chapitre IV
EXPERIENCES NUMERIQUES
IV.1 Introduction
Nous présentons dans ce chapitre une série d'expériences numériques qui valident la méthode de volumes nis en maillages non structurés et pour des milieux homogènes. Nous nous sommes en eet eorcés de comparer les solutions obtenues aux solutions ana- lytiques quand cela était possible ou à défaut à des résultats obtenus à l'aide de méthodes dites de référence. Les résultats de référence dans le domaine fréquentiel étant beaucoup plus répandus que ceux du domaine temporel, les ondes harmoniques monochromatiques tiennent une large place dans ce chapitre.
Un nombre important de calculs de SER en dimension deux d'espace sont proposés pour un ensemble de géométries plus ou moins complexes. Certains de ces calculs ont été présentés au cours de l'atelier de travail Approximations and numerical methods for
the solution of the Maxwell equations [74] et tous ces résultats ont été validés à l'aide
de comparaisons avec des méthodes de référence aussi bien du domaine fréquentiel que temporel. Des calculs de résonance en dimension deux et trois d'espace ont également été réalisés. En n, un cas test présenté à l'atelier de travail [75] illustre l'application de cette méthode aux problèmes instationnaires tridimensionnels de diraction.
D'autre part, les lois de Gauss électrique et magnétique redondantes dans le modèle continu ne sont pas prises en compte dans notre modèle numérique. Une étude numé- rique pour véri er la conservation de ces lois a donc été réalisée en fonction de plusieurs paramètres comme le pas de maillage ou l'ordre du schéma.
60 CHAPITRE IV. EXPERIENCESNUMERIQUES