Pour introduire l’effet de l’eau et de la minéralogie sur la viscosité des silicates, nous incorporons des traceurs au modèle (Tackley et King, 2003). Un traceur est une particule fictive identifiée dans le modèle par ses coordonnées enx et y. A chacun d’entre eux sont
associées une valeur de composition minéralogique et de teneur en eau. Nous définis-sons une grille de cellules régulières dans laquelle sont répartis de manière aléatoire sept traceurs (Figure II.6). Le choix de cette quantité de traceurs sera explicité dans le chapitre III.5.
Au début de la simulation, les traceurs de la croûte subductante sont saturés en eau. Ils sont ensuite soumis au champ de vitesse et le déplacement est assuré par l’équation de transport :
∂C
∂t + ~u · ∇C = 0 (II.41)
oùC représente la minéralogie et la teneur en eau. Cette équation est résolue en
sui-vant un schéma de type Runge-Kutta à l’ordre 4 (Tackley et King, 2003). Cette méthode repose sur le principe des itérations successives. On utilise les itérations précédentes pour calculer une solution de plus en plus précise. La position d’un traceur,~x, est obtenue par
FIG. II.6 – Schéma de principe de fonctionnement de la méthode des traceurs. Une grille de cellules régulières est représentée par les lignes pointillées. Dans chacune des cellules, sept traceurs sont intro-duits. Une valeur est attribuée à chaque traceur pour identifier sa composition minéralogique (exemples : 1, croûte ; 2, manteau). Au début d’une simulation, les traceurs de la croûte océanique subductante sont saturés en eau (cellule n◦1). Au cours du calcul, les traceurs se déplacent au sein de la grille en fonction
du champ de vitesse (ligne grise). Le déplacement d’un traceur est obtenu en résolvant l’équation de trans-port (II.41) par une méthode de Runge Kutta à l’ordre 4 (flèche noire, cellule n◦2). Le traceur est amené à
changer de cellule et donc de conditions de pression et de température. Si, d’après le diagramme de phase correspondant à la composition du traceur, celui-ci se retrouve sur-saturé en eau, l’excédent est transmis à la cellule immédiatement supérieure et réparti de manière homogène parmis tous les traceurs de la cellule d’arrivée (cellule n◦3). Si les traceurs de cette cellule sont déjà saturés en eau, l’eau en excès passe à la
cel-lule supérieure jusqu’à ce qu’elle soit complètement captée par les minéraux (celcel-lule n◦4). Dans le cas où
elle atteind la surface, l’eau en excès est retirée de la grille. Le calcul est réalisé pour chacun des traceurs et chaque cellule de la grille prend pour valeur la moyenne de tous les traceurs présents. Ces valeurs de teneur en eau sont transmises à un maillage dont les noeuds correspondent au centre de chacune des cellules (voir la figure II.7).
la relation :
~xn+1= ~xn+~k1+ 2~k2+ 2~k3+ ~k4
6 (II.42)
où ~k1, ~k2, ~k3 et ~k4 sont les positions successives obtenues pour des itérations intermé-diaires :
~k1 = ∆t~u (t; ~xn) ~k2 = ∆t~u t + ∆t 2 ; ~xn+ ~k1 2 ! ~k3 = ∆t~u t + ∆t 2 ; ~xn+ ~k2 2 ! ~k4 = ∆t~ut + ∆t; ~xn+ ~k3
À chaque itération de temps, nous recalculons les conditions de pression et de tem-pérature des traceurs. Si dans ces nouvelles conditions le traceur est saturé en eau, l’eau en excès est libérée. Dans ce cas, l’eau perdue migre verticalement jusqu’à ce qu’elle soit captée par les minéraux (Peacock, 1987). La vitesse de migration du fluide est donc supposée instantanée. Cependant, bien que les données sur la destabilisation des éléments radioactifs indiquent un transfert rapide (quelques milliers d’années d’après Turner et al., 2000, 2006), il est difficile d’estimer la vitesse réelle de migration du fluide (Peacock, 1996).
Dans la pratique, l’eau en excès est transmise à la cellule supérieure et répartie de manière homogène parmi les traceurs présents dans la cellule d’arrivée (Figure II.6). Si tous les traceurs de cette cellule sont déjà saturés en eau, l’eau en excès est transmise à la cellule immédiatement supérieure et ainsi de suite jusqu’à ce que l’eau soit entièrement captée ou extraite à la surface. Une fois les transferts d’eau réalisés, chaque cellule de la grille prend la valeur moyenne des traceurs présents dans la cellule.
Les valeurs des cellules ainsi obtenues sont transférées sur un second maillage, dont les coordonnées des noeuds correspondent au centre des cellules de la grille. Les coor-données spatiales de ce nouveau maillage sont directement superposables au maillage tri-angulaire sur lequel est réalisé le calcul en éléments finis (Figure II.7). Le logiciel permet d’interpoler entre les noeuds des différents maillages de manière immédiate. Les valeurs de teneur en eau peuvent ainsi être transférées sur le maillage destiné aux éléments finis pour son introduction dans le calcul de la viscosité.
Maillage en éléments finis
Grille de cellules pour les traceurs
XH2O et F T, P et µ Grandeurs calculées
FIG. II.7 – Exemple de superposition d’un maillage triangulaire (lignes pointillées) et d’un maillage quadrangulaire (lignes pleines). Le maillage triangulaire est obtenu par une méthode de triangulation de type Voronoï/Delaunay (Hecht et al., 2008). Les équations de la mécanique des fluides sont résolues sur ce type de maillage par la méthode des éléments finis (lignes pointillées). Le maillage quadrangulaire sym-bolise la grille de traceurs avec au centre le noeud où sont calculés la teneur en eau moyenne,XH20, et ultérieurement le taux de fusion partielle,F . Le passage d’une grille à l’autre est rendu possible par les
capacités d’interpolation du logiciel FreeFEM++. La température,T , la pression, P , et la viscosité, µ,
aux noeuds de la grille de traceurs (carrés noirs) sont obtenues par interpolation des valeurs calculées aux noeuds du maillage en éléments finis (cercles noirs).