L’objectif est de trouver, par une méthode numérique, le profil de zones mortes qui permettent le meilleur ajustement entre la simulation et l’expérience. Les zones mortes sont toujours modélisées par un ensemble de cylindres empilés verticalement ou
horizontalement suivant le secteur étudié. C’est pourquoi, pour réaliser l’ajustement, on ne va pas jouer sur un cylindre en particulier mais sur tous les cylindres d’une zone morte. Les dimensions de tous les cylindres d’une zone morte sont calculées à partir d’une fonction mathématique paramétrée.
Par exemple, si la zone morte externe est calculée en utilisant un polynôme d’ordre un, le diamètre interne du cylindre n° i sera donné par
( )
i a a hDm = 0 + 1∗ [9-1]
avec h étant la position du centre du cylindre par rapport au fond du cristal.
Ainsi si la valeur d’un des deux paramètres est changée, c’est tout le profil de la zone morte qui est modifié. L’ajustement se fera en faisant varier ces paramètres, ce qui permettra, à chaque fois qu’ils vont changer de recalculer les dimensions de tous les cylindres de la zone morte.
Le but étant de réaliser un ajustement des paramètres d’une fonction pour lisser les courbes d’efficacités absolues expérimentales, plusieurs méthodes sont à notre disposition : la méthode des moments, la méthode des moindres carrés et la méthode du maximum de vraisemblance. Les efficacités absolues sont proportionnelles aux taux de comptage mesurés. Ceux-ci suivent une distribution de Poisson. Pour un nombre d’événements suffisamment important, celle-ci tend vers une distribution gaussienne. En première approximation, on peut dire que l’efficacité absolue suit une distribution gaussienne. Or le théorème de Gauss-Markov stipule que, dans le cas de variables gaussiennes, l’ajustement de paramètres sera le plus précis si on utilise la méthode des moindres carrés ([Pro02]). C’est pourquoi nous avons choisi cette méthode.
La méthode des moindres carrés permet de réaliser un ajustement d’une série de données expérimentales par une fonction théorique paramétrique qui est calculée pour chaque mesure expérimentale. Chacun des coefficients de la fonction théorique est alors déterminé par une méthode matricielle à partir des données expérimentales. Dans notre cas, la fonction théorique serait la réponse du détecteur, à savoir l’efficacité absolue. Or nous ne connaissons pas sa forme analytique.
C’est pourquoi, nous allons utiliser une méthode légèrement différente. Nous allons faire varier les dimensions des zones mortes en jouant sur les coefficients des fonctions paramétriques qui servent à calculer les épaisseurs des zones mortes. Pour chacun des points expérimentaux, nous ferons une simulation qui donnera une valeur de l’efficacité absolue simulée. Ce sont ces valeurs qui seront comparées aux données expérimentales en calculant un χi2 comme dans la méthode des moindres carrés. Celui-ci va être le carré de la différence entre l’efficacité absolue simulée et l’efficacité absolue expérimentale, le tout pondéré par l’erreur absolue. Dans le cas de la zone morte horizontale, comme l’erreur absolue varie d’un ordre de grandeur entre l’efficacité absolue mesurée avec la source sur l’axe du détecteur et l’efficacité absolue à 36,7 mm de cet axe, l’erreur absolue est remplacée par l’erreur relative. En toute rigueur, le
χ
i2 devrait être pondéré par une erreur qui est la somme quadratique de l’erreur expérimentale et de l’erreur simulée. L’erreur simulée est estimée être égale à 20 % de l’erreur expérimentale, ce qui revient à multiplier l’erreur expérimentale par 1,1 pour chacune des positions de la source. La valeur minimale du χi2 correspondra alors aux dimensions de zones mortes qui permettent le mieux de reproduire les données expérimentales.Figure 9-2 : organigramme représentant l’ajustement automatique des zones mortes par une méthode de minimisation
Le but étant de réaliser un ajustement des courbes d’efficacités absolues expérimentales, l’idéal serait de réaliser la minimisation en simulant toutes les positions de la source. Pour les courbes faites à l’intérieur du puits, il y a 54 positions de la source, cela prendrait un temps de calcul trop grand pour simuler tous les positions de la source, c’est pourquoi nous nous limiterons à huit positions de la source, pour les trois zones mortes. Pour la zone morte interne et externe, nous prendrons huit points répartis de manière uniforme dans le puits de germanium. Pour la zone morte horizontale pour laquelle il ya dix points expérimentaux, nous prendrons tous les points sauf les deux derniers qui sont entachés d’une grande erreur (l’erreur relative est de l’ordre de 30 %).
La procédure utilisée lors de l’ajustement automatique est celle décrite par l’organigramme de la figure 9-2. On commence par choisir la zone morte dont on veut calculer les dimensions ainsi que la fonction que l’on veut utiliser. Si la fonction sélectionnée est une fonction polynomiale, on commence à l’ordre 1. Une fois la fonction sélectionnée, il faut spécifier pour chacun des paramètres une valeur par défaut ainsi que des valeurs minimales et maximales qui délimitent un intervalle à l’intérieur duquel les paramètres vont pouvoir varier (pour les polynômes, il faut faire cela pour les trois ordres) ainsi que la valeur du paramètre pour faire arrêter la minimisation.
Chacun des paramètres peut prendre une infinité de valeurs dans l’intervalle à l’intérieur duquel il peut varier. Pour gagner en temps de calcul, l’intervalle de variation de chacun des paramètres est découpé en cinq. Chaque paramètre peut donc prendre cinq valeurs. Pour une même valeur de paramètre, il y a huit positions de la source. On commence avec le premier paramètre (a0 dans le cas de polynômes), et pour les cinq valeurs qu’il peut prendre, on réalise une simulation pour chacune des positions de la source, ce qui fait au total quarante simulations. Pour chaque position de la source et chaque valeur du paramètre à ajuster, l’efficacité absolue simulée est calculée ainsi que le
χ
i2 associé.Pour une même valeur de paramètre, on fait la somme du
χ
i2 correspondant à chacune des positions de la source. On obtient alors cinq valeurs deχ
i2. Le minimum des valeurs du2
i
χ
est ensuite déterminé ainsi que la valeur du paramètre correspondant. De nouvelles valeurs du paramètre sont recalculées de manière à ce que le nouvel intervalle soit centré sur le minimum trouvé (cf. Figure 9-3) et que sa largeur soit divisée par deux. La valeur centrale est identique, il n’y a donc pas de nouveaux calculs relancés pour cette valeur de paramètre. Les bornes du nouvel intervalle étant les valeurs du paramètre qui encadraient le minimum à l’itération précédente, il n’y a pas non plus de nouveaux calculs faits pour ces valeurs. Il ne reste donc plus que deux valeurs de paramètres pour lesquelles il faut refaire des simulations et calculer unχ
i2. On cherche alors le minimum des cinqχ
i2 , les trois issus de l’itération précédente et les deux nouvellement calculés. Une fois cela effectué, les bornes du nouvel intervalle sont recalculées de la même manière que précédemment. Le calcul s’arrête lorsque la variation du minimum desχ
i2 d’une itération sur l’autre est inférieure à la valeur spécifiée par l’utilisateur.Figure 9-3 : illustration du découpage de l’intervalle à l’intérieur duquel un paramètre de la fonction utilisée pour ajuster une zone morte peut varier. Les xi avec i variant de 0 à 4 représentent les cinq valeurs que peut prendre un paramètre. Lorsque le minimum à une itération a été trouvé, l’intervalle est recalculé de manière à être centré sur le minimum trouvé et être deux fois plus petit.
Le paramètre prend alors comme valeur celle du dernier minimum trouvé et on fait varier le paramètre suivant. Une fois les minima de chacun des paramètres trouvés, le minimum relatif à la fonction est le minimum du dernier paramètre. On revient sur le premier paramètre que l’on va faire varier à l’intérieur d’un intervalle dont la longueur est celle pour laquelle un minimum avait précédemment été trouvé pour ce paramètre. Cette boucle est répétée jusqu’à ce que la variation sur le minimum relatif à la fonction soit inférieure au paramètre entré par l’utilisateur. Il s’agit de la même valeur que l’utilisateur précise pour sortir des boucles sur un paramètre (a0 ou a1 ou a2 ou a3).
On teste alors si pour chaque position de la source l’efficacité absolue simulée est à l’intérieur de l’intervalle de confiance de l’efficacité absolue expérimentale, la minimisation est arrêtée et un affichage graphique des courbes simulées et expérimentales se fait avec l’écriture des coefficients de la fonction utilisée pour la minimisation. Dans le cas contraire, on passe à l’ordre supérieur en suivant la même procédure que précédemment.