Cette méthode, également énergétique et issue de l’acoustique géométrique (approche « haute fré-quence »), est similaire sur le principe aux méthodes de tracé de rayons, mais permet de prendre en compte la plupart des phénomènes physiques participant à la propagation du son, à travers des procé-dures de tirage aléatoire. Bien que cette approche ait largement été développée dans le cadre de nos propres travaux, les premières études datent des années 80-90, en particulier avec celles de Stephenson [223, 225]. Ce dernier a, d’une part, pressenti l’énorme potentialité de la méthode pour modéliser des phénomènes complexes comme la diffraction, la réfraction et la diffusion par des méthodes de Monte-Carlo et, d’autre part, montrer que ce type d’approche est plus rapide que les méthodes de tracé de rayons [223]. Un autre élément intéressant tient au fait que ces méthodes de simulation sont très peu affectées par l’augmentation du nombre de sources dans le milieu, à l’inverse de la méthode des sources-images. De plus, ces méthodes sont simples à mettre en oeuvre dans des domaines aux formes complexes et permettent de prendre en compte un ordre de réflexion élevé [225].
Des simulations utilisant le concept de particules sonores ont ainsi été mises en oeuvre pour l’étude du champ sonore dans des salles de concert supposées vides [87, 90, 139, 217, 223, 224], et en milieu extérieur, pour étudier la répartition de l’énergie sonore dans des zones remplies d’objets diffractants comme des aires péri-urbaines [137], des forêts [151].
Bien que d’intérêt indéniable, notamment pour la prise en compte des phénomènes de diffraction et de diffusion, il faut reconnaître que cette méthode a été peu développée par la suite. Son utilisation dans des logiciels commerciaux est restée très marginale, de loin devancée par les méthodes basées sur les rayons sonores (cf. §2.2.5). Dans le cadre de nos propres travaux, nous avons proposé une approche numérique qui a largement été validée et qui pourrait donner lieu à un outil opérationnel ([195], cf. annexe A, page 202).
Il convient également de citer l’article très récent de Heimann et Gross [89], dans lequel un mo-dèle à deux dimensions (AKU-MET) est présenté et appliqué à une étude sur le couplage des effets micro-météorologiques et des niveaux sonores dans une vallée étroite. Ce modèle très évolué permet de considérer la plupart des phénomènes physiques impliqués dans la propagation du son en milieu exté-rieur, tels que la réfraction (effets du vent et des gradients de température), les effets de sols, l’atténuation atmosphérique, les effets de turbulence et la diffraction. Par ailleurs, la pression acoustique « portée » par chaque particule est fractionnée en fonction de la fréquence et de l’émission acoustique. Il ne s’agit donc pas d’une approche énergétique, mais d’une approche « pression ». L’application de ce modèle à l’acoustique des salles et à l’acoustique urbaine paraît intéressante.
2.2.8 Modèles de transport de particules sonores (analytiques)
En parallèle à l’approche numérique, certains auteurs ont également proposé une démarche entière-ment analytique et probabiliste5. Une étude approfondie de la littérature a mis en évidence l’intérêt d’une telle démarche et a confirmé nos propres orientations. Pour bien comprendre ces méthodes, nous présen-tons ci-après une bibliographie détaillée, réalisée dans le cadre de la thèse de Thierry Le Poll`es [144]. Cette étude nous a permis de classer ces modèles en plusieurs catégories, en fonction des développements mathématiques considérés, à savoir :
– une équation de Boltzmann [136, 137] ; – un processus de Markov [129, 128] ;
– une équation de diffusion [23, 132, 153, 191] ;
5. Il est important de bien noter la différence entre les modèles numériques basées sur une approche géométrique, et les modèles analytiques. Dans le premier cas, l’approche consiste à « suivre » individuellement le déplacement de particules so-nores dans le milieu de propagation, à l’image de ce qui est fait avec les logiciels de tracé de rayons soso-nores. Dans le second cas, l’objectif est de modéliser la répartition d’un grand nombre de particules sonores, par des approches statistiques, se rame-nant bien souvent à l’utilisation d’équations de transport ou de diffusion. Cela n’empêche toutefois pas d’avoir une résolution numérique des approches analytiques, comme nous le verrons aux chapitres 4 et 5.
peuvent être, selon les cas, des habitations, des diffuseurs placés dans des salles réverbérantes, des arbres ou encore des machines placées dans des halls industriels. Les effets de réflexion diffuse sur les parois, considérées planes, ne sont pas toujours pris en compte. La réflexion y est souvent traitée de manière spé-culaire à l’aide de la méthode des classiques sources-images (ou équivalent). Afin de bien distinguer les différences entre ces approches et les développements que nous détaillerons dans la suite du document, il nous a semblé important de détailler les modèles rencontrés dans la littérature.
2.2.8.1 Approches analytiques basées sur l’utilisation de l’équation de Boltzmann
L’utilisation d’une équation de Boltzmann permet de décrire le champ sonore en termes de densité locale de particules. Son application à l’acoustique a été traitée uniquement par Kuttruff et appliquée dans le cas de salles réverbérantes [136] et de zones péri-urbaines [137]. Le modèle permet une descrip-tion analytique précise du phénomène de transport des particules sonores.
Application au calcul du champ sonore dans des chambres réverbérantes [136] Dans cette
appli-cation, Kuttruff utilise le concept de particule sonore pour déterminer le nombre optimum de diffuseurs à placer dans une chambre réverbérante afin d’éviter la présence d’ondes stationnaires et améliorer ainsi le mélange de l’énergie sonore. Le but est d’obtenir un champ sonore suffisamment uniforme pour pou-voir appliquer correctement les formules du temps de réverbération de la théorie classique (cf. §2.2.3) et en déduire ainsi le coefficient d’absorption α d’un matériau placé dans la chambre réverbérante.
Le milieu de propagation considéré ici, est une salle rectangulaire de hauteur H remplie de diffuseurs disposés de manière aléatoire. Les parois y sont totalement réfléchissantes excepté le sol où se situe le matériau absorbant à tester. Cette absorption est prise en compte de manière probabiliste par un coe ffi-cient d’absorption α qui représente la probabilité que la particule ne soit pas réinjectée dans le milieu après réflexion. Les réflexions spéculaires sur les murs parfaitement réfléchissants sont traitées par la méthode des sources-images (figure 2.4). Dans ce cas, les effets de diffusion sur les parois ne sont pas inclus dans le modèle. Les réflexions sur le sol absorbant sont prises en compte de manière analytique. Dans ces conditions, le transport des particules sonores dans la chambre réverbérante est équivalent à la propagation de particules sonores dans une couche infinie d’épaisseur 2h = 2H/λ, formée par le réseau de salles, images de la salle réelle. Les diffuseurs étant disposés de manière aléatoire, le problème est axi-symétrique par rapport à un axe perpendiculaire au réseau de salles images et peut donc être résolu dans une coupe transversale. La position de la particule sonore est alors repérée par la variable adimensionnée ξ = x/λ, où λ est le libre parcours moyen des phonons.
La propagation de l’énergie sonore dans la chambre réverbérante est modélisée par une marche aléa-toire de particules sonores dans la couche d’épaisseur 2h remplie de particules cibles6. Les particules sonores subissent de nombreuses collisions sans absorption excepté enξ = +h et −h, limites du do-maine où sont appliquées des conditions de type flux locaux, exprimant le flux de particules réfléchies en fonction du flux de particules incidentes. L’ensemble du processus est alors régi par une équation de Boltzmann : ∂ f ∂τ + f + μ ∂ f ∂ξ = ρ 4π, (2.1)
où f (ξ, μ, τ) est la fonction de distribution à une particule et où ρ(ξ, τ) = 2π
1
−1 f (ξ, μ, τ)dμ, (2.2)
6. Les particules cibles modélisent, ici, les diffuseurs présents dans le milieu de propagation. Après les chocs, les particules sonores sont réfléchies de manière isotrope par les diffuseurs.
Fig. 2.4 — Représentation du milieu équivalent pour la propagation des particules sonores
dans une salle aux parois totalement réfléchissante (excepté le sol représenté en trait gras grisé) et remplie d’objets diffusants. Les réflexions sur les parois sont prises en compte par
la méthode des sources-images tandis que les réflexions sur le sol sont décrites de manière analytique. La source S est omnidirectionnelle. Le trajet No1 représente le parcours réel
d’une particule sonore dans une salle réverbérante. Le trajet No2 est l’image du trajet
No1 dans la couche d’épaisseur 2h.
correspond à la densité locale de particules sonores, avecτ = c t/λ et où μ correspond à cos θ.
Ce problème n’ayant pas de solution analytique exacte, Kuttruff propose une approximation po-lynômiale de l’equation (2.1) en développant la fonction de distribution à une particule sur la base de polynômes de Legendre. Finalement, la densité locale de phonons s’exprime par :
ρ(ξ, τ) = A cos(k ξ) exp(−2δ τ), (2.3)
avec k= [6δ(1 − 2δ)]1/2, où le termeδ est déterminé par la relation :
kh tan(kh)= 3αh
2(2− α)(1− 2δ). (2.4)
Les résultats analytiques ont été comparés avec un bon accord à des simulations numériques de Monte Carlo, mais à aucune donnée expérimentale. Par ailleurs, les effets de diffusion au niveau des parois ne sont pas pris en compte, les réflexions étant traitées uniquement de manière spéculaire. Enfin, l’expression (2.3) est valable uniquement dans le cas où la densité de diffuseurs est importante. Lorsque cette densité devient faible, le champ diffus créé par les objets diffractants n’est plus assez conséquent. A la limite, lorsque cette densité est nulle, seule une approche géométrique est envisagée par l’auteur pour le calcul de la décroissance d’énergie.
Application à la modélisation de la propagation du son en zone péri-urbaine [137] La seconde
application de l’équation Boltzmann par Kuttruff a porté sur l’étude de la propagation du son dans des banlieues ou des aires péri-urbaines, formées de petites maisons ou d’immeubles bas séparés par des jardins ou des ruelles. Le milieu de propagation est alors le siège de multiples réflexions et de nombreux effets de diffusion. L’énergie sonore totale est considérée comme la somme de l’énergie du son direct et
∂ ∂rf (r, ϕ) cos φ − 1 r ∂ ∂ϕf (r, ϕ) sin ϕ + f (r, ϕ) λ = (1− α) 2πλ ρ (r), (2.5)
où la particule sonore est définie par la distance r par rapport à la source, ainsi que par sa vitesse, de norme du vecteur vitesse égale à la célérité du son c et de directionϕ par rapport à l’axe r. La résolution de cette équation à partir d’une décomposition de la fonction f sur une base de fonction de Hankel, permet ensuite de déterminer l’expression de la densité du champ diffracté sous la forme :
us(r)= 2− α 2π h c λ PcdK0(k r). (2.6)
Dans cette expression, la propagation de l’énergie sonore sur la hauteur moyenne h des immeubles, est ramenée à la propagation dans le plan z = 0, de l’énergie moyenne sur cette même hauteur h. Pcd désigne la puissance du champ diffracté, fonction du nombre de particules et l’énergie portée par chaque particule.λ désigne le libre parcours moyen des particules, et k est fonction du coefficient d’absorption des objets diffractants.
Par ailleurs, le champ direct émis par une source sonore sphérique de puissance W, placée sur le sol totalement réfléchissant en r= 0, aura pour expression
ud(r)= W
2πhc rarctan(h/r) exp(−λr), (2.7)
où exp(−λr) désigne la probabilité que les particules n’aient subi aucun choc lors de leur trajet sur la distance r.
Dans l’article de référence, le modèle est comparé à des lois empiriques obtenues par des calculs numériques simulant la marche aléatoire des phonons, à l’aide d’une méthode de Monte Carlo. La com-paraison des résultats numériques et des résultats analytiques montre un écart systématique de 1 dB pour le niveau sonore et un bon accord sur la forme des décroissances entre les deux approches (figure 2.5). Malheureusement, aucune comparaison avec des mesures n’a été réalisée.
Ce modèle traite le problème de manière « macroscopique ». En effet, les objets diffractants sont décrits par des valeurs moyennes telles que la hauteur h et la section diffractante Q des constructions. La géométrie des habitations est donc totalement omise. Ensuite, le fait d’assimiler la répartition des immeubles et des maisons à leur densité surfacique n et de ramener la totalité de ces sources secon-daires à une source unique de puissance Pcd placé en r = 0, néglige complètement la localisation des constructions. De plus, le caractère omnidirectionnel des sources secondaires néglige les effets d’ombre acoustique derrière les constructions. Ce modèle n’est donc pas applicable dans des zones urbaines avec des immeubles très longs qui forment des barrières acoustiques naturelles. Dans ce modèle, la séquence des collisions subie par la particule sonore suit une loi de Poisson. Dans ces conditions, la taille des objets diffractants doit être petite par rapport au libre parcours moyen. Les objets diffractants qui sont ici des immeubles bas et des maisons doivent donc être assez éloignés. Ce traitement du milieu de propagation implique une répartition assez homogène des constructions. D’autre part, le calcul des niveaux d’énergie n’est possible que pour des libres parcours moyenλ, très supérieurs à la hauteur moyenne h des habita-tions. Dans ces conditions, ce modèle n’est pas applicable dans des centres-villes et dans des quartiers résidentiels, où la hauteur des constructions est supérieure au libre parcours moyen.
A noter qu’une approche similaire a également été proposée par Thorsson [229]. Dans cet article, Thorsson présente une application de l’équation de Boltzmann, via une formulation intégrale du flux d’énergie, en deux dimensions, dans le milieu de propagation. Une résolution numérique par éléments finis est proposée et appliquée à une partie de la ville de Stockholm, mais aucune validation expérimen-tale n’est présentée. Dans cet article, Thorsson propose également un développement mathématique très
Fig. 2.5 — Illustration de la méthode des particules (équation de Boltzmann) en milieu
péri-urbain. Atténuation des niveaux sonores en fonction de la distance r/λ (i.e. en fonction
de l’encombrement du milieu et par rapport à la source), pour h/λ = 0, 1. (—), résultats
théoriques, (◦) résultats numériques par une méthode de Monte Carlo. D’après [137, p.
121, figure 2].
intéressant décrivant le passage de l’équation d’Helmholtz à l’équation de Boltzmann, sous réserve que les objets diffractants ne soient pas trop proches les uns des autres. Dans le cas contraire, Thorsson sug-gère plutôt d’utiliser une équation de diffusion qui semble plus adaptée au problème. Nous reviendrons d’ailleurs plus loin sur ce point au chapitre 4.2.
2.2.8.2 Approche analytique basée sur l’utilisation d’un processus de Markov
La modélisation de la propagation de l’énergie sonore par un processus de Markov a été initiée par Gerlach et Mellert [78] puis développée par Kruzins [129, 128] pour l’étude du champ sonore dans une enceinte vide, en régime stationnaire. Cette méthode statistico-géométrique repose sur la marche aléatoire de phonons émis par une source omnidirectionnelle. Elle est mise en oeuvre pour déterminer la densité locale de particules sonores et, par extension, la densité locale d’énergie sonore sur les parois du milieu de propagation. Le calcul du niveau d’énergie sonore à l’intérieur de l’enceinte, est ensuite réalisé par la méthode de radiosité (cf. §2.2.6). Par construction, le modèle s’applique pour des longueurs d’onde petites comparées aux dimensions caractéristiques de la salle, et si les réflexions sur les parois de la salle sont diffuses et obéissent à une loi de Lambert. Ces hypothèses permettent l’établissement d’un champ diffus après un nombre minimum de réflexions, et suite à un mélange énergétique suffisant.
Dans ce modèle, l’état du système (i.e. l’état des n parois) après k transitions (i.e. k pas de temps) est caractérisé sous la forme d’un vecteur Ek, défini par les éléments ekjreprésentant la probabilité de trouver un phonon sur la paroi j au moment k. Cette probabilité est fonction de l’état du système au moment k−1 ainsi que des probabilités de transition j|p|m, traduisant la possibilité pour un phonon de se déplacer de l’élément de surface m vers l’élément j. En définissant la matrice de transition P telle que Pi j= j|p|m, dont la somme des éléments de chaque colonne est égale à l’unité, l’état complet du système peut s’écrire sous forme matricielle :
Ek = E0Pk, (2.8)
où E0 est l’état initial, défini par la rayonnement direct de la source. Cette expression peut également être modifiée pour prendre en compte l’absorptionαjdes parois, ainsi que l’atténuation atmosphérique, en multipliant respectivement, avant la (k+ 1)ieme transition, la densité ekj par le coefficient (1 − αj) et par le facteur d’atténuation de l’air Ri j = exp(−mri j). Les termes m et ri j représentent respectivement
où T est appelée matrice de transition T = R ⊗ (AP), (2.10) dans laquelle Ai j = (1− αi) pour i= j 0 pour i j , (2.11)
et où⊗ représente un produit matriciel.
L’intensité sonore totale, après k réflexions diffuses au point (R, θ, φ), est la somme des contributions des n surfaces soit
I = 2
n
j=1
ekjω/π2, (2.12)
oùω désigne l’angle solide de sommet (r, θ, φ) sous-tendu par la nesurface.
Après résolution numérique du système (2.9), il est possible de tracer des courbes d’isovaleurs pour les niveaux de pression sonore à l’intérieur d’un local. Cette approche permet donc de déceler les zones de concentration de l’énergie sonore et d’étudier l’influence de la géométrie réelle du milieu de propagation. Un exemple est donné sur la figure 2.6.
Kruzins a comparé ce modèle à la théorie classique de la réverbération (cf. §2.2.3) dans le cas d’un milieu de propagation cubique de 20 m de côté (figure 2.7(a)). Les résultats montrent un bon accord entre les deux approches. Le modèle semble toutefois plus précis près des murs puisqu’il modélise mieux le phénomène de hausse du niveau sonore près des parois, à l’inverse de la théorie statistique classique (figure 2.7(b)). Le modèle a également été comparé à des mesures effectuées sur maquette. Malgré des écarts systématiques de l’ordre de 3 à 6 dB, l’allure des courbes est respectée, même dans le cas de pièces où les cloisons forment des géométries complexes ou lorsque l’absorption au niveau des murs est importante.
Cependant, cette méthode s’applique uniquement dans des milieux vides, c’est-à-dire ne contenant pas d’objets diffractants entre les parois. De plus, ce modèle est une approche statistico-géométrique numérique qui ne fournit pas de solution analytique. Enfin, la réflexion de l’énergie est simulée, de manière intrinsèque, par une loi de Lambert, donc de manière entièrement diffuse.
2.2.8.3 Approches analytiques basées sur un processus de diffusion
Le principe de la modélisation de la propagation du son dans des espaces complexes sous la forme d’un processus de diffusion a été retenu par de nombreux auteurs. Dans la plupart des cas, l’opération consiste à suivre le parcours de particules sonores dans un milieu contenant des objets diffractants (des arbres, de la végétation, des objets, des machines, etc.). En rentrant en collision avec ces objets, les par-ticules sont déviées de leur trajectoire, puis se déplacent à nouveau en ligne droite jusqu’à une nouvelle collision. L’ensemble du phénomène peut ainsi être exprimé à travers une équation de diffusion, dont le coefficient de diffusion dépend des propriétés du milieu diffusant, à savoir la densité des objets diffrac-tants et leur section diffractante. En se basant sur cette approche, nous avons ainsi proposé notre propre modèle de champ diffus en acoustique des salles [191]. Une description mathématique de ce modèle étant proposée dans le chapitre 5, nous nous contenterons ici de présenter d’autres modèles reposant sur cette approche en acoustique architecturale et en propagation extérieure.
Propagation à travers une barrière végétale Dans un article de 1967, Kuttruff a proposé un modèle
original pour la modélisation de la propagation du son dans les forêts [132], reposant sur la marche aléatoire de phonons dans un espace comportant des objets diffusants (i.e. des arbres) répartis de manière
Fig. 2.6 — Illustration de la méthode des particules via un processus de Markov. Courbes
d’isovaleurs dans une salle, pour les niveaux de pression sonore à 15 cm au-dessus du sol, à 1 kHz et pour une source sonore de puissance 0.8 W. D’après [129, p. 560, figure 8].
L’échelle correspond à des dB×10.
(a) Le milieu de propagation (b) Comparaison entre le modèle et la théorie statistique