Conclusion et perspectives sur le modèle de transport

4.6.1 Conclusion

Ce travail a permis de mettre au point un nouveau modèle de propagation de l’énergie sonore en acoustique architecturale. Après une recherche bibliographique sur les modèles existants en acoustique des salles et en acoustique urbaine, l’utilisation du concept de particules sonores s’est avéré être la so-lution la plus adaptée pour obtenir des soso-lutions analytiques prenant en compte les ouvertures au sein du milieu de propagation et les effets de diffraction sur les parois du domaine. Le fondement du modèle

repose sur l’équivalence entre densité de particules sonores et densité d’énergie sonore. Le problème d’acoustique est ainsi ramené à un problème de dynamique des particules.

La mise en équation du problème a nécessité l’utilisation d’outils mathématiques rencontrés dans la théorie des transports, tels que la fonction de distribution à une particule f (x, v, t) qui représente la densité locale de particules sonores de vitesse v au point x et au temps t. Nous avons ainsi montré que la variation spatiale et temporelle de la densité des particules sonores est régie par une équation de transport analogue à l’équation du flux moléculaire libre. Pour prendre en compte les phénomènes de réflexion spéculaire et de diffraction sur les parois du domaine, nous avons exprimé les conditions aux limites en termes de flux locaux au niveau des surfaces. Ces conditions de flux expriment le flux de particules réfléchies, en fonction de la part du flux de particules incidentes non absorbées, réfléchies pour une part d de manière spéculaire et pour une part (1−d) de manière non spéculaire. Dans ce dernier cas, les effets de diffraction du son par les irrégularités de surface (balcons, moulures, renfoncements de portes et de fenêtres, etc.) sont pris en compte de manière probabiliste à l’aide de lois de réflexion R (v, v_{) qui représentent la}

probabilité qu’une particule, arrivant sur la paroi avec une vitesse incidente v_{, reparte après réflexion,}

avec une vitesse v.

La prise en compte de l’aspect fréquentiel dans le modèle peut être réalisée en considérant que la forme des lois de réflexionR (v, v), ainsi que les valeurs des coefficients d’absorption α et d’accommo-dation d, dépendent de la gamme de fréquence envisagée. Le champ sonore total est alors la somme des contributions des solutions analytiques dans chacune des bandes de fréquences considérées, affectées de leurs propres lois de réflexion et de leurs propres coefficients d’accommodation et d’absorption.

Le problème du transport des particules sonores, ainsi posé, n’admettant pas de solutions analytiques exactes, la recherche de solutions s’est portée vers des approches asymptotiques réalisées dans le cas d’un milieu étroit, tel qu’une rue. Deux approches ont ainsi pu être envisagées selon la forme des lois de réflexion considérées. Pour des lois de réflexion non rasantes, nous avons utilisé une approche asympto-tique qui repose sur l’analyse fonctionnelle. Pour des lois de réflexions rasantes, nous avons opté pour une approche utilisant la théorie des probabilités et notamment l’application du théorème de la limite centrale. Dans les deux cas, nous avons montré que le problème se ramène à la résolution d’une équa-tion de diffusion pour la densité de particules q(x, y, t) dans le plan médian (x, y) parallèle aux parois21. L’expression du coefficient de diffusion d’une rue, calculé pour différentes lois de réflexion simples et notamment la loi de Lambert, intègre la géométrie du milieu de propagation à travers sa largeur et la morphologie des façades par l’intermédiaire du coefficient d’accommodation et de la loi de réflexion.

Les solutions analytiques ont été comparées à des résultats de simulations numériques du transport de particules sonores, basées sur des méthodes de Monte Carlo. Afin de prendre en compte la présence des ouvertures aux extrémités du domaine, nous avons également introduit un coefficient d’échange h dans le traitement des conditions aux limites de l’équation de diffusion. Ce coefficient exprime le transfert énergétique entre l’intérieur et l’extérieur du domaine de propagation et dépend de la loi de réflexion considérée. Les simulations numériques ont permis de tester la sensibilité des solutions analytiques à la variation de la géométrie du milieu de propagation et notamment la distance entre les parois. Ces résultats ont montré un excellent comportement du modèle, y compris pour des distances plus « larges » entre les parois du milieu de propagation. Nous avons également comparé les solutions analytiques de l’équation de diffusion à des résultats de mesure obtenus lors d’une campagne expérimentale réalisée dans la rue Kervégan à Nantes, rue relativement étroite et fortement diffractante. Là encore, nous avons observé un bon accord entre le modèle et les courbes expérimentales d’évolution des niveaux sonores et des temps de réverbération.

Plus récemment, nous avons également proposé une mise en forme numérique extrêmement simple du modèle de transport, à partir d’un logiciel du commerce, sans aucune modification. Cette approche numérique a été validée par une série de tests préliminaires et par des comparaisons avec les solutions analytiques du modèle de diffusion et des résultats numériques issues du code SPPS. Sous cette forme, la

description mathématique précise et rigoureuse des phénomènes complexes entrant en jeu lors de la propagation du son dans des milieux « diffusants ».

4.6.2 Perspectives

A ce stade de l’étude et dans l’objectif de rendre le modèle complètement opérationnel dans le cadre de l’acoustique urbaine, il reste toutefois encore certains aspects à approfondir et à intégrer :

– Prise en compte de lois de réflexion réelles Bien que l’accord entre les résultats analytiques et les données expérimentales soit très satisfaisant, une validation expérimentale rigoureuse du modèle nécessiterait de modéliser de manière précise la forme des lois de réflexion rencontrées dans la pratique. Des recherches ont été menées récemment, soit expérimentalement (mesures sur maquette et in-situ), soit analytiquement sur ce sujet, mais elles n’ont pas encore permis de donner une expression mathématique de ces lois²²(cf. chapitre 3). Néanmoins, il est très probable que des lois de réflexion réelles engendreraient une dissymétrie dans la réflexion du son par une paroi, se traduisant sous la forme de lobes de diffraction concentrés principalement autour de la direction de la réflexion spéculaire. Dans cette hypothèse, l’approche asymptotique fondée sur l’analyse fonctionnelle permettrait de prendre en compte ce phénomène [6]. Il semblerait alors que la dissymétrie des conditions aux limites donnent naissance à un phénomène de translation globale du processus de diffusion. Là encore, les solutions analytiques obtenues pourraient être comparées dans un premier temps, à des simulations numériques, puis à des mesures sur maquette ou in-situ.

– Absorption par les parois Bien que ce travail ne soit pas présenté dans ce document, la prise en compte de l’absorption acoustique au niveau des parois, directement à partir des conditions aux li-mites de l’équation de transport, a déjà été envisagée pendant les travaux de thèse de S. Colle. Dans un premier temps, il a été montré que le développement asymptotique dans le cadre d’une réflexion non-rasante n’est pas possible en présence d’absorption. Un nouveau développement asymptotique a ainsi été proposé en se basant sur l’introduction d’un nouveau paramètre d’échelle (cf. [39, Cha-pitre 6]). Ce nouveau développement aboutit à une équation différentielle plus complexe, voire à une équation de diffusion, avec un coefficient de diffusion qui doit être estimé numériquement pour le moment. Ce travail est toujours en cours actuellement.

– Prise en compte des effets atmosphériques et micro-météorologiques A l’image des problèmes de propagation du son à longue distance [77], l’évolution du champ sonore en milieu urbain est fortement liée aux effets micro-météorologiques (vent, gradients de température) et aux effets d’at-ténuation atmosphérique. Ce dernier cas pourrait être traité dans notre modèle, par l’introduction d’un terme

σ f (x, v, t) , (4.63)

dans l’équation de transport, oùσ représente la probabilité, par unité de temps, qu’une particule soit absorbée durant son trajet. D’autre part, le vent et les gradients de température, représentant des éléments perturbateurs sur la vitesse des phonons, pourraient être pris en compte en introdui-sant respectivement dans le modèle, un terme agisintrodui-sant comme une force de transport,

F·_∂v^∂ f (x, v, t) , (4.64)

et un terme résultant d’un profil de vitesse dans le milieu de propagation, ∂v

∂x^{f (x, v, t) . (4.65)}

22. C’est la raison pour laquelle, nous avons décidé de débuter notre travail avec des lois simples et axisymétriques, de la forme|w|n.

– Prise en compte de la présence d’objets diffractants La présence d’objets diffractants dans le milieu de propagation (voitures, mobilier urbain, etc.) pourrait également être prise en compte en ajoutant un terme de collision dans le second membre de l’équation de transport

∂ f ∂t

col , (4.66)

qui traduit la déviation des vecteurs vitesses au sein du domaine après un choc avec un des obs-tacles. Néanmoins, la densité de ces objets diffractants doit être suffisamment élevée et homogène pour respecter le caractère probabiliste de ce nouveau terme. La présence de quelques objets isolés ne peut nullement entrer dans le cadre de cette approche. Nous verrons plus loin dans le chapitre 5 concernant l’application du modèle de diffusion à l’acoustique des salles, que la prise en compte d’objets encombrants peut également être envisagée en modifiant le coefficient de diffusion de l’équation de diffusion de manière à y intégrer une « diffusion supplémentaire ». Il existe donc très certainement un lien entre le terme de collision ci-dessus et l’expression du coefficient de diffusion dans le développement de l’approche asymptotique.

Au terme de ces perspectives, l’équation de transport pourrait donc prendre une forme plus générale : ∂ f ∂t ^{+ v · ∇}xf 789: transport + ^∂v_∂xf 789: profil de vitesse + σ f_789: att. atm. +F · ^{∂ f}_∂v 789: vent = ^{∂ f}_∂t col 789: objets diffractants . (4.67)

La principale question est de savoir si le problème peut toujours se ramener à une équation de diffusion, ou si au contraire, il ne va pas aboutir à une autre forme d’équation qui pourrait mêler un caractère propa-gatif à un caractère diffusif comme dans l’« équation des télégraphistes » [171, 172, 241]. Les potentiali-tés de ce modèle sont donc grandes et prometteuses, mais les démarches mathématiques nécessaires à la recherche de solutions risquent d’être complexes. Dans tous les cas, une approche complètement analy-tique semble impossible. Le recours à une approche numérique telle que celle que nous avons évoquée au paragraphe 4.5 semble une solution tout à fait acceptable et très pratique d’un point de vue opérationnel. A terme, le développement d’un code de calcul spécifique peut toutefois s’avérer nécessaire.

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