Absorption acoustique uniforme au niveau des parois

La résolution de l’équation de diffusion intervenant néanmoins dans le domaine de propagation V, défini par des limites réelles (surface S ), il est nécessaire de définir des conditions aux limites particu-lières. Par analogie, cela revient à considérer que les particules sonores ne peuvent pas quitter le domaine de propagation. Comme nous venons de le préciser, l’absorption, supposée uniforme, est déjà prise en compte dans le termeσ de l’équation de diffusion (5.15). Il convient donc de considérer une condition de réflexion sans absorption, pour ne pas la compter deux fois. Cette condition est donc définie par une condition de réflexion totale, c’est-à-dire une condition de Neumann homogène :

∂w

∂n ^{= 0 sur S. (5.25)}

5.2.3.2 Absorption acoustique non uniforme au niveau des parois

Les conditions aux limites précédentes ne permettent pas de considérer l’absorption acoustique de manière locale et non-uniforme. La distribution de l’absorption dans un local peut pourtant engendrer des répartitions particulières du champ sonore [66]. Dans un article sur l’application du modèle de diffusion aux espaces allongés [191], nous avons ainsi proposé une condition aux limites qui fait intervenir un coefficient d’échange h sur les parois du domaine. Ce coefficient traduit les échanges énergétiques au niveau des parois :

− D^∂w_∂n = h w sur S, (5.26)

l’équation de diffusion se limitant alors à l’équation (5.21) sans le terme d’absorption σ : ∂

∂t^{w(r, t) − DΔw(r, t) = Q(t) δ(r − r}S), (5.27) Dans ce même article sur les locaux allongés, nous avons proposé une formulation approchée de ce coefficient d’échange, qui a ensuite été généralisée par V. Valeau [234]. Ainsi, l’équivalence entre cette condition de réflexion mixte (5.26) associée à l’équation de diffusion (5.27), et la condition de Neumann (5.25) associée avec l’équation de diffusion (5.21), est vérifiée à condition que :

 V

σw(r, t) dV = 

∂V^{h(S )w(r}, t) dS. (5.28)

Si le champ sonore est diffus, au sens classique de l’acoustique des salles, c’est-à-dire si w est uni-forme dans la salle, alors la relation (5.18), impose simplement que

h= ^cα

4 , (5.29)

qui peut être généralisée à

hi = ^cαi

4 , i= 1 . . . N. (5.30)

pour une salle d’absorption non-uniforme caractérisée par des coefficients d’absorption αi pour chaque élément de surface Side la salle (S =⁼iSi).

5.2.3.3 Cas des absorptions élevées

Que ce soit dans l’équation de diffusion (5.21) ou dans la condition aux limites (5.26), le terme d’absorption au niveau des parois fait intervenir le coefficient d’absorption « classique » de Sabine α (ou ¯α pour la valeur moyenne). Dans la théorie classique, pour des salles très absorbantes, il est usuel de remplacer le coefficient d’absorption de Sabine α par le coefficient d’absorption Eyring − ln(1 − ¯α)

h= −^{c ln(1− α)}

4 . (5.31)

Nous verrons plus loin dans les applications (cf. §5.3) que ce changement permet d’améliorer les résultats du modèle de diffusion pour des salles d’absorption non-uniforme et présentant des absorptions élevées. Pour des faibles absorptions (α proche de 0), la modification n’apporte rien puisque − ln(1 − α) tend versα. Au niveau du développement théorique présenté au paragraphe 5.2.1, cette modification re-vient à considérer que les particules sonores ont une probabilité− ln(1−α) (au lieu de α) d’être absorbées par les particules diffractantes. Par la suite, on distinguera les deux modèles par les appellations modèle

de diffusion « Sabine » (ou sous forme réduite modèle de diffusion) et modèle de diffusion « Eyring » .

5.2.3.4 Transmission acoustique à travers une paroi

Nous avons vu au paragraphe 5.2.2.2 que le cas de la transmission acoustique à travers une paroi peut être modélisée sous la forme d’une source surfacique. Une autre solution plus élégante a également été proposée par [234] sous la forme d’une nouvelle solution de réflexion mixte reprenant l’équation (5.26). Considérons deux salles S₁ et S₂ séparée par une cloison de coefficient de transmission T L (en dB), défini par : T L= 10 log  1 τ , (5.32)

oùτ est le coefficient de transmission. En se plaçant une nouvelle fois dans le cadre d’un champ diffus (toujours au sens classique du terme), le flux incident sur la paroi de la salle S1contenant la source est donné par [138] :

J₁= ^cw1

4 , (5.33)

où w1est la densité d’énergie dans la salle S1. Le flux transmis à travers la cloison dans la salle S2est donc simplement égal à

Jin = ^τcw1

4 . (5.34)

Finalement la condition aux limites au niveau de la cloison, du coté de la salle S₂, doit également prendre en compte la partie d’énergie absorbée (cf. relation (5.26)), pour donner :

D∂w2(r, t)

∂n ⁺

cα

4 ^w2(r, t) −^τcw1

4 = 0, (5.35)

où w2désigne la densité d’énergie de la salle S2.

5.2.4 Prise en compte de l’encombrement dans le modèle de diffusion

Très récemment, une nouvelle extension du modèle de diffusion a permis d’intégrer les effets de l’encombrement présent dans le milieu de propagation [233]. En effet, dans le cadre de halls industriels par exemple, la répartition d’objets diffractants et absorbants dans le milieu de propagation a un effet important sur la distribution et la décroissance du champ sonore. De nombreuses recherches ont ainsi permis d’établir des modèles prenant en compte cet encombrement dans des salles définies par des parois spéculaires. En particulier l’approche de Kurze [131], présentée au paragraphe 2.2.8.3, a permis d’établir que le processus de diffraction multiple dans l’encombrement est similaire à un processus de diffusion :

D_f∇2I(r, t) − σfI(r, t) = −(P/4πr2)^exp 

−r/λf  λf

où

D_f = ^λfc

3 , (5.37)

désigne le coefficient de diffusion, et où

σf = ^αfc

λf

, (5.38)

traduit l’absorption acoustique par l’encombrement. αf désigne le coefficient d’absorption acoustique des objets composant l’encombrement, et P la puissance acoustique d’une source en régime permanent localisée au point r_s. Dans ces expressions,λf désigne le libre parcours moyen associé à l’encombrement et est fonction de la section diffractante Qf et de la densité nf des objets diffractants.

Par construction ce processus de diffusion acoustique par l’encombrement est similaire au proces-sus de diffusion présenté au paragraphe 5.2.1 pour modéliser le processus de diffusion par les parois du domaine. Partant de cette observation, nous avons ainsi montré que les deux approches peuvent être couplées pour prendre en compte simultanément les deux phénomènes de diffusion [233]. Ainsi, le pro-cessus global de diffusion dans une salle diffuse, définie par son libre parcours moyen λ et son absorption moyenne ¯α, comportant un encombrement, peut être modélisé via une unique équation de diffusion :

∂w(r, t) ∂t ^{− D}tΔw(r, t) + ^c_λ^αf f w(r, t) + ^{c ¯}_λ^αw(r, t) = Q(r, t), (5.39) où D_t = ^c(λfλ) 3(λf + λ) ⁼ DfD D_f + D^{. (5.40)}

désigne le coefficient de diffusion du processus global, résultant du couplage du processus diffusion par la salle (caractérisé par le coefficient de diffusion D défini à la relation (5.17)) et du processus de diffusion créé par l’encombrement (caractérisé par le coefficient de diffusion Df défini à la relation (5.37)). Pour une salle d’absorption non-uniforme, il faut considérer l’équation (5.27)

∂

∂t^{w(r, t) − D}tΔw(r, t) + ^cαf λf

w(r, t) = Q(r, t), (5.41)

associée à des conditions de réflexion mixtes − Dt∂w

∂n ^{= h w sur S. (5.42)}

5.2.5 Extension du modèle de diffusion pour des salles non-diffuses

Dans la pratique, les parois d’une salle ne sont pas complètement diffuses, ni d’ailleurs complètement spéculaires. C’est d’ailleurs pour cette raison que la notion de scattering coefficient s a été introduite en acoustique des salles [94]. Si s = 0, la paroi produit uniquement des réflexions spéculaires. Si s = 1 les parois sont supposées totalement diffuses. Dans la pratique s est souvent compris entre 0 et 1. L’ex-pression analytique du coefficient de diffusion, faisant intervenir l’exL’ex-pression classique du libre parcours moyen λ = 4V/S associé classiquement à un champ diffus, le modèle de diffusion est donc limité par construction à des salles diffuses.

Une étude, initiée dans [233] est actuellement en cours pour proposer un facteur correctif η sur le coefficient de diffusion, tel que :

D_a= ηD, (5.43)

de manière à simuler des salles dans des conditions de réflexion mixtes (spéculaires et diffus). Cette extension⁴ repose sur une étude empirique qui vise à interpoler la valeur du coefficient de diffusion en fonction du coefficient s, pour différentes géométries de salle. Un exemple sera proposé au paragraphe 5.3.5.

4. Ce travail fait l’objet de la thèse CIFRE de C. Foy au Centre Expérimental de recherches et d’études du Bâtiment et des Travaux Publics (CEBTP), co-encadrée avec V. Valeau de l’Université de Poitiers et A. Sakout de l’Université de La Rochelle.

l’atténuation atmosphérique dans l’équation de diffusion sous la forme ∂

∂t^{w(r, t) − DΔw(r, t) + (mc + σ) w(r, t) = Q(t) δ(r − r}S), (5.44) pour le modèle de diffusion associée à une absorption uniforme, et

∂

∂t^{w(r, t) − DΔw(r, t) + mc w(r, t) = Q(t) δ(r − r}S), (5.45) pour le modèle de diffusion avec une absorption non-uniforme. Dans ces expressions, m désigne le co-efficient d’atténuation atmosphérique énergétique en m−1_{. Cette forme de prise en compte est tout à fait}

compatible avec la théorie classique de la réverbération. En effet, dans l’hypothèse des champs diffus, et de manière analogue aux développements présentés au paragraphe suivant 5.2.7, cette écriture permet de retrouver l’expression classique de la décroissance d’énergie dans le milieu de propagation :

w_s(t)= w0exp−^{1c ¯αS}

4V + mc²(t− t0). (5.46)

Une nouvelle fois, les équations (5.44) et (5.45) ne sont qu’une généralisation de la théorie classique, intégrant cette fois l’atténuation atmosphérique. A titre d’exemple, la figure 5.4 illustre cette prise en compte de l’atténuation atmosphérique dans le modèle de diffusion dans une salle cubique de grande dimension. Dans les conditions de calcul utilisées ici, l’effet de l’atténuation atmosphérique est très important sur la décroissance d’énergie, donc sur le temps de réverbération, montrant l’intérêt de sa prise en compte dans le modèle de diffusion.

5.2.7 Relation avec la théorie classique des champs diffus

Il est possible d’établir une relation entre le modèle de diffusion que nous venons de présenter et la théorie classique des champs diffus (cf. §2.2.3). En préliminaire, il faut établir une distinction entre le champ diffus « classique » et le champ sonore issu du modèle de diffusion6. Le premier est parfaitement défini par la théorie classique de la réverbération comme un champ uniforme caractérisé par un flux d’énergie nul dans la salle considérée. A l’inverse le champ sonore issu du modèle de diffusion résulte de l’existence d’un flux d’énergie (cf. relation (5.13)), des zones les plus énergétiques vers les zones les moins énergétiques. Le champ sonore n’est donc plus uniforme en principe, la distribution d’énergie étant alors fonction de la répartition de l’absorption sur les parois du domaine, de la transmission acoustique à travers les parois, de la position de la source, de la géométrie de salle, etc. Le champ sonore n’est donc plus diffus (au sens classique), mais résulte tout de même des multiples réflexions diffuses sur les parois du domaine.

Il est toutefois intéressant de constater que le modèle de diffusion n’est finalement qu’une extension de la théorie classique [234]. En effet, repartant de l’équation de diffusion (5.21) intégrée sur l’espace de propagation, on peut établir le bilan énergétique suivant dans la salle :

 V ∂w(r, t) ∂t ^{dV +}  V c ¯αS 4V ^w(r, t) dV − D  VΔw(r, t) dV = Q(t), (5.47)

qui, compte tenu de la condition aux limites de Neumann homogène (5.25) pour une salle d’absorption uniforme ¯α et du théorème de Gauss, prend la forme :

 V ∂w(r, t) ∂t ^{dV +}  V c ¯αS 4V ^w(r, t) dV = Q(t). (5.48)

5. Prise en compte de l’atténuation atmosphérique dans le modèle de diffusion, A. Billon, note de travail, 2006. 6. En principe, non-diffus.

Fig. 5.4 — Prise en compte de l’atténuation atmosphérique dans le modèle de diffusion

(en rouge) et comparaison avec la formule d’Eyring (en noir). Décroissances temporelles

dans une salle cubique de 20× 20 × 20 m3( ¯α = 0.1), avec une humidité relative de 50%

à la fréquence 4 000 Hz (m = 0.0058 m−1_{), avec (—) et sans (– –) la prise en compte de}

V ∂ ∂t^w(t)+

cA

4 ^w(t)= Q(t). (5.49)

avec A = ¯αS la surface d’absorption équivalente. En régime permanent, la dérivée temporelle de cette équation est nulle, ce qui permet de retrouver l’expression classique du champ réverbéré :

w_s= ^4P

cA. (5.50)

En régime impulsionnel, la source émettant à t₀, l’équation (5.49) permet de retrouver la décroissance temporelle classique du champ sonore dans la salle :

w_s(t)= w0exp  −^cA 4V^(t− t0)  = w0exp (−σ(t − t0)). (5.51)

5.3 Applications et validation du modèle de diffusion

Dans cette dernière section, nous présentons une validation générale du modèle de diffusion pour de nombreuses configurations architecturales. Cette validation est basée sur une comparaison des résultats issus du modèle de diffusion, avec des données expérimentales quand elles sont disponibles7, des modèles mathématiques (fondés notamment sur la théorie statistique), ainsi qu’avec des logiciels d’acoustique des salles reconnus et largement utilisés par la profession.

5.3.1 Mise en forme numérique du modèle de diffusion

Pour des salles rectangulaires (local plat, couloir, salle cubique) d’absorption homogène, il est pos-sible d’obtenir des solutions analytiques à l’équation de diffusion. Nous avons en particulier proposé des expressions analytiques simples pour des couloirs finis, semi-infinis et infinis [204]. Néanmoins, dès lors que la forme de la salle ou les conditions aux limites deviennent complexes, la recherche de solu-tions analytiques devient très difficile, voire impossible la plupart du temps. Dans ces condisolu-tions, il est nécessaire de résoudre numériquement l’équation de diffusion, comme nous l’avons présenté au para-graphe 4.5. Là encore nous avons utilisé le logiciel COMSOL MultiphysicsTMpour des raisons pratiques, mais l’utilisation de tout autre code de calcul résolvant une équation de diffusion avec des conditions aux limites « standards » est possible. Nous reviendrons d’ailleurs sur ce point dans la conclusion de ce chapitre.

Après avoir déterminé la géométrie de la salle, les conditions aux limites et la position des sources sonores, ce code de calcul permet de calculer le niveau sonore en tout point de la salle, soit en régime permanent, soit en régime impulsionnel. Le premier type de calcul permet d’obtenir le niveau sonore en tout point du volume d’étude. Le second calcul permet de remonter à la décroissance temporelle en tout point du milieu de propagation, exprimée la plupart du temps sous la forme d’un TR (RT20, RT30, RT60 et EDT suivant les cas). Un exemple de résultat numérique est présenté à la figure 5.5 dans le cas de deux salles couplées.

Dans certaines conditions, le coefficient de diffusion n’est pas homogène dans l’ensemble du vo-lume d’étude. C’est en particulier le cas pour des salles couplées de dimensions différentes, ou des salles 7. Bien que cela ne soit pas présenté dans ce document, nous avons réalisé de nombreuses campagnes de mesure dans des locaux, en partenariat avec le LEPTAB. Faute de données disponibles dans la littérature ou suffisamment documentées, nous avons dû réaliser des mesures dans des salles de cours, des couloirs et des salles couplées. Ces campagnes expérimentales ont permis d’établir une base de données expérimentales (niveaux sonores, temps de réverbération, critères d’acoustique des salles, en bandes de fréquence) très complète et parfaitement documentée.

Fig. 5.5 — Illustration de l’application du modèle de diffusion avec le logiciel COMSOL

MultiphysicsTM, dans le cas de deux salles de même dimension 5× 5 × 2.5 m3couplées par une ouverture de 0.90 × 0.10 × 2.5 m3: distribution du champ sonore en régime perma-nent. La source sonore de puissance 100 dB est simulée par une sphère de rayon 10 cm, localisée au centre de la première salle (salle source), à 1.25 m de hauteur. Les coefficients

d’absorption des deux salles sont respectivement de 0.1 et 0.4 pour la salle source et la

salle couplée. L’ensemble du volume est maillé avec 3 200 éléments de type Lagrange

li-néaire. Les temps de calcul sont de l’ordre de 1 mn et de 15 mn, respectivement en régime permanent et en régime variable, sur un ordinateur de bureau « standard ». D’après [14].

Le modèle de diffusion étant énergétique, la dépendance fréquentielle est uniquement prise en compte dans les conditions aux limites du problème, à travers le coefficient d’absorption, l’atténuation atmosphé-rique, la puissance de la source, etc. La fréquence n’intervient donc pas explicitement dans la résolution de l’équation de diffusion, ce qui entraîne que, contrairement aux codes de calculs acoustiques clas-siques, la taille du maillage n’est pas liée à la longueur d’onde considérée. Elle doit être néanmoins de l’ordre de grandeur (ou inférieure) au libre parcours moyen de la salle, de manière à pouvoir reproduire les fluctuations énergétiques spatiales.

5.3.2 Champ sonore dans une salle avec des réflexions diffuses

5.3.2.1 Salles cubiques

Absorption uniforme Le premier exemple que nous proposons est une salle cubique de 10× 10 ×

10 m³, d’absorption moyenne ¯α = 0.1, au centre de laquelle est disposée une source sonore de puissance 100 dB [234]. La figure 5.6 illustre la distribution du champ sonore en régime permanent sur un axe transversal de la salle passant par la source, avec et sans le champ direct, comparé à la théorie statistique. Dans cet exemple, nous avons présenté les deux types de résolution possible, soit avec une absorption moyenne intégrée dans l’équation de diffusion associée à une condition de réflexion de type Neumann (cf. §5.2.3.1) (que nous appellerons modèle 1 par la suite), soit avec une équation de diffusion sans absorption avec une condition de réflexion mixte (cf. §5.2.3.2) (modèle 2). Cette figure montre bien que les deux approches sont similaires, et en accord avec la théorie statistique. La principale différence entre l’approche classique et le modèle de diffusion se situe autour du point source. Dans l’approche statistique, le niveau de pression associé au champ diffus est uniforme (figure 5.7(a)), tandis que le modèle de diffusion prévoit une augmentation du niveau autour de la source. Au point source, le modèle de diffusion présente une singularité8 qui se retrouve également dans le calcul numérique, de manière plus ou moins importante en fonction de la taille du volume source. Pour un volume source de l’ordre de 20 cm, l’ensemble des simulations numériques que nous avons réalisées semble montrer que l’effet de cette singularité devient négligeable, notamment lorsque le champ direct est également pris en compte.

La figure 5.7 présente l’écart en %, pour le temps de réverbération, entre le modèle de diffusion et la théorie statistique (formule de Sabine, TR = 0.16/αS ), pour différentes valeurs du coefficient d’absorp-tion moyen, et pour les deux modèles de diffusion. Là encore, le modèle de diffusion donne des résultats en accord avec la théorie statistique, avec des écarts inférieurs à 6% dans les cas les plus défavorables (aux absorptions les plus importantes). Cette figure montre également que le modèle 1 est plus en accord avec la théorie statistique (écart maximum de 4%) que le modèle 2, qui tend à surestimer les temps de réverbération.

Absorption non-uniforme D’autres exemples pour une salle quasi-cubique 4×5×3 m3sont également

présentés dans la référence [13], pour différents configurations d’absorption, uniformes et non-uniformes sur l’ensemble des murs, allant de 0.01 à 0.95. Là encore, le modèle de diffusion a été comparé à un logiciel de tracé de rayons (CATT-Acoustic⁹). Comme attendu, en condition d’absorption homogène comme non-homogène, le modèle de diffusion « Eyring » (cf. §5.2.3.3) donne de meilleurs résultats que modèle de diffusion « Sabine »10.

8. Singularité de la fonction de Green de l’équation de diffusion en trois dimensions en régime permanent au point source. 9. CATT-Acoustic est un logiciel commercial de tracé de rayons sonores [5], permettant de prendre en compte la diffusion sur les parois du domaine, à travers un coefficient de diffraction (scattering coefficient) et une loi de Lambert. Dans les simu-lations présentée ici, la version V8.0c du logiciel a été utilisée. Le scattering coefficient a été fixé à 40% et 106rayons sonores ont été considérés.

−5 0 5 86 88 90 92 94 96 98 x (m) Niveau sonore (dB) −5 0 5 86 88 90 92 94 96 98 x (m) Niveau sonore (dB) (a) (b)

Fig. 5.6 — Niveau sonore en régime permanent dans une salle cubique 10 × 10 × 10 m3, d’absorption moyenne ¯α = 0.1, au centre laquelle est disposée une source sonore de

puis-sance 100 dB. (—) modèle de diffusion avec des conditions aux limites de Neumann

ho-mogènes (modèle 1), (—) modèle de diffusion avec des conditions aux limites mixtes, (–

–) théorie statistique. (a) champ sonore diffus uniquement ; (b) champ sonore total (champ

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

α

Fig. 5.7 — Écart (en %) entre le temps de réverbération calculé par le modèle de

diffu-sion et par la théorie statistique, dans une salle cubique 10× 10 × 10 m3, en fonction du coefficient d’absorption moyen (Sabine) : (◦) Modèle 1 ; (∗) Modèle 2. D’après [234].

Absorption non-uniforme Dans cette même référence [13], le modèle de diffusion « Eyring » a égale-ment été comparé à des données expériégale-mentales issues de la littérature [58]. Les mesures ont été réalisées dans une salle réverbérante contenant des panneaux absorbants de coefficient d’absorption compris entre 0.35 et 0.95 sur la bande de fréquences [100, 5000] Hz (figure 5.8).

La figure 5.9 présente une comparaison des temps de réverbération expérimentaux pour deux confi-gurations de mesure, avec plusieurs modèles dont les modèles de diffusion « Sabine » et « Eyring », les formules classiques de Sabine et Eyring, des formules issues de la littérature (non-présentées ici), et des résultats numériques avec le logiciel de tracé de rayons CATT-Acoustic. Là encore, le modèle de