Méthode de l’étirement

IV.2.3.2.a Coefficient d’étirement et de corrélation

Une autre méthode de comparaison des formes d’onde consiste à chercher directement le coefficient d’étirement qui explique au mieux la différence entre le signal de référence et le signal perturbé. Pour cela, on utilise une fonction dite de « corrélation en étirement » définie comme suit (Weaver et Lobkis, 2001; Sens-Schönfelder et Wegler, 2006; Hadziioannou et al., 2009; Weaver et al., 2011) :

ܺሺ߳ሻ ൌ  ^{׬ ݑሺݔሻݑ෤ሺݔሺͳ ൅ ߳ሻሻ݀ݔ} ௧_మ ௧భ ቀ׬ ݑ^௧మ ଶሺݔሻ݀ݔ ௧భ ׬ ݑ෤^௧మ ଶሺݔሺͳ ൅ ߳ሻሻ݀ݔ ௧భ ቁ^{ଵȀଶ [IV.3]}

Avec ሾݐଵǡ ݐଶሿ l’intervalle de temps de la coda utilisé pour la comparaison des signaux de référence ݑ et perturbé ݑ෤, ߳ ا ͳ le coefficient d’étirement du signal, ܺ le coefficient de corrélation normalisé. Si les formes d’onde ݑ et ݑ෤ sont parfaitement identiques à un étirement ߳_௠௔௫ près, alors ݑሺݐሻ ൌ ݑ෤ሺݐሺͳ ൅ ߳_௠௔௫ሻሻ et ܺሺ߳_௠௔௫ሻ ൌ ͳ. Selon cette méthode, la perturbation de vitesse s’obtient en cherchant la valeur ߳௠௔௫ qui maximise le coefficient de corrélation en étirement ܺ et on a :

߳_௠௔௫ ൌ ^ߜݐ_{ݐ ൌ  െ}^ߜݒ_ݒ [IV.4]

Le coefficient de corrélation maximal ܺሺ߳௠௔௫ሻ compris entre -1 et 1 mesure la cohérence entre les deux formes d’onde à un étirement près. Des études théoriques et en laboratoire ont montré que la méthode de corrélation en étirement est moins sensible aux fluctuations du bruit ambiant que la méthode de l’inter-spectre sur fenêtre glissante (MWCS, Hadziioannou et al., 2009). La méthode de l’étirement est aujourd’hui très largement utilisée dans le domaine de l’imagerie passive.

IV.2.3.2.b Etirement des signaux digitaux

D’un point de vue numérique, le calcul de la fonction de corrélation en étirement ܺ nécessite d’évaluer une version étirée du signal digital ݑ෤. Contrairement à la

translation, cette opération ne peut pas être appliquée simplement en domaine spectral car un étirement temporel du signal équivaut à une compression de son spectre, et inversement. Par contre, on peut interpoler le signal ݑ෤ሺݐሻ au temps ݐ ൈሺͳ ൅ ߳ሻ (Hadziioannou et al., 2009). Grâce à cette méthode, il est possible de détecter un étirement temporel du signal même si les décalages de temps sont inférieurs au pas d’échantillonnage. Dans cette thèse j’ai utilisé une interpolation en séries de Fourier entières. La figure IV.3 montre un exemple de compression temporelle d’un signal digital par interpolation de Fourier. Sur cette figure, les ronds noirs représentent les échantillons d’une portion d’un signal synthétique à support borné sur l’intervalle 5 – 15s. L’interpolation de Fourier permet d’appliquer un sous-échantillonnage du signal d’un facteur ͳ ൅ ߳ (figure IV.3, carrés noirs). Pour obtenir une version du signal comprimée temporellement, on peut simplement ramener la version sous-échantillonnée du signal sur la grille d’échantillonnage originale (figure IV.3, points rouges). A l’issue de cette opération, on peut voir que le signal a été comprimé en temps mais que la grille d’échantillonnage est restée inchangée. Ainsi, la compression (resp. dilatation) temporelle des signaux digitaux est parfaitement équivalente à un sous (resp. sur) échantillonnage par interpolation de Fourier. Dans le cas d’une compression temporelle il est nécessaire de veiller à ce que le sous-échantillonnage du signal soit compatible avec la condition de Shannon-Nyquist et donc que :

݀ݐ ൑ ^ͳ

ʹ݂߳௦௨௣ [IV.5]

Avec ݀ݐ le pas de temps du signal digital et ݂_௦௨௣ la plus haute fréquence du signal (i.e. la borne supérieure du support du signal en domaine de Fourier).

Figure IV.3 : Compression temporelle d’un signal par interpolation de Fourier. Les ronds noirs correspondent au signal digital à comprimer sur l’intervalle de temps [5s, 15s], la courbe noire continue correspond à la version sur-échantillonnée du signal digital. Les carrés noirs sont obtenus par interpolation de Fourier du signal aux temps ݐ ൈሺͳ ൅ ߳ሻ avec ߳ ൌ ͲǤͲʹ. Les points rouges représentent le signal digital après compression de l’axe temporel. La courbe rouge continue est obtenue par sur-échantillonnage du signal digital rouge.

maximum de cette fonction est généralement situé dans un voisinage de la valeur ߳ ൌ Ͳ et est facilement identifiable (voir l’exemple synthétique de la figure IV.4). Occasionnellement, la fonction de corrélation en étirement possède des maxima locaux qui sont d’autant plus rapprochés que l’on travail à haute fréquence et pour des portions de signal tardives (on observe un maximum local de X, si le délai temporel induit par l’étirement du signal atteint une période entière). Les maximas locaux de la fonction X sont assimilables à une ambiguïté entière de phase. Dans certains cas, une confusion est possible entre les différents maxima de la fonction X. Cette ambiguïté est gênante si l’amplitude des étirements de la coda est grande par rapport à la période du signal.

Chaque évaluation de la fonction X est relativement coûteuse puisqu’elle nécessite une interpolation du signal en domaine temporel (figure IV.3). Afin de déterminer le maximum de ܺ en un nombre minimal d’évaluations, j’ai choisi d’appliquer un algorithme d’optimisation qui échantillonne l’espace des coefficients d’étirement ߳ de façon itérative : l’espace des valeurs de Ԗ est échantillonné à l’aide d’une grille de recherche d’abord grossière (figure IV.4., point bleus foncés) et qui s’affine en se focalisant vers les maxima locaux de la fonction X à mesure que le nombre d’itération augmente (figure IV.4., point rouges, verts, bleu clair). Premièrement, cet algorithme permet d’explorer grossièrement l’ensemble des valeurs de Ԗ sur un intervalle donné. Deuxièmement, le maximum de la fonction de corrélation en étirement est déterminé avec une grande précision (figure IV.4, ligne pointillée verticale). Troisièmement, l’application de cet algorithme de manière récursive permet d’identifier les éventuels maxima locaux de la fonction X. Le pas d’échantillonnage choisi pour la première itération doit être suffisamment fin pour détecter tous les maxima locaux de la fonction X.

Figure IV.4 : Calcul du coefficient d’étirement d’un signal par optimisation de la fonction de corrélation en étirement ܺሺ߳ሻ. Partie supérieure : Signal synthétique obtenu à partir d’un bruit blanc Gaussien filtré. La trace noire correspond au signal de référence. La trace bleue correspond au signal obtenu pour une perturbation uniforme de vitesse de +0.5%. Partie inférieure : Evaluation itérative de la fonction de corrélation en étirement X. Le maximum de X s’obtient pour ߳௠௔௫ൌ െͲǤͲͲͷ ce qui correspond à la perturbation de vitesse cherchée (+0.5%). Le coefficient de corrélation ܺሺ߳௠௔௫) vaut 1 car les traces noire et bleue sont parfaitement identiques à un étirement près.

IV.2.3.3 Limites pratiques de la méthode