entre deux lobes, Debayle (1999) autorise la sélection des deux.
La routine de sélection des observables secondaires a ensuite été améliorée par Debayle & Ricard (2012). Elle est appliquée à chaque période séparément, en commençant par la plus longue. Debayle & Ricard (2012) calculent les enveloppes Ep(ω, t) et ˆE(ω, t) pour les Nmode= 6 modes p du sismogramme synthétique (équation 3.3). Quand l’enveloppe du mode p a plusieurs maximums, la routine sélectionne tous les lobes dont l’amplitude est significative, c’est-à-dire dont l’amplitude est supérieure à Rmax = 6 fois la moyenne des minimums locaux de l’enve-loppe. La routine extrait donc un nombre Nsl ≤ Nmode de maximums significatifs pour chaque enveloppe. Ces maximums significatifs sont ensuite triés sur la base du rapport Amax/|tmax− t0| décroissant, où Amax est l’amplitude du maximum localisé au temps tmax et t0 est le temps de référence. Ce critère permet de sélectionner les lobes les plus larges et les plus proches de t0. En sélectionnant plusieurs lobes sur chaque enveloppe, on réduit les possibilités de sélectionner uniquement le mode dominant sur chaque enveloppe.
Les observables secondaires sélectionnées, ainsi que la phase instantanée de l’inter-corrélogramme, servent ensuite de données dans l’inversion de forme d’ondes.
3.2 Méthode d’inversion
L’objectif d’une inversion est de résoudre un problème d = g(m), où d correspond aux données observées, m au modèle recherché, et g est la théorie reliant les deux.
3.2.1 Problème inverse
Dans notre cas, la définition des observables secondaires permet de diminuer la non-linéarité du problème. On peut alors utiliser la méthode itérative d’inversion de Tarantola & Valette (1982) pour estimer ˆm, le modèle le plus probable compatible avec les données. Le modèle inversé ˆmk+1 à l’itération k + 1 est donné par :
ˆ
mk+1 = m0+ Cm0GTk(GkCm0GTk + Cd0)−1[d − g( ˆmk) + Gk( ˆmk− m0)] (3.8) où g( ˆmk) = ˆd(mk) est la donnée calculée à partir du modèle ˆmk, m0est le modèle a priori, Cm0
et Cd0 sont respectivement les matrices de covariance a priori sur le modèle et sur les données, et Gk la matrice contenant les dérivées partielles des observables secondaires par rapport aux paramètres du modèle. Les éléments de Gk sont :
(Gij)k= ∂gi( ˆmk) ∂( ˆmk)j = ∂ ˆdip ∂mj ! k (3.9) où ˆdip sont les observables secondaires pour le mode p et la donnée i, et mj est le paramètre j du modèle ˆmk.
54 Chapitre 3. Modélisation de forme d’ondes et pré-sélection des données forme d’ondes, et sont contenues dans le vecteur d. Elles sont ajustées avec les observables secondaires synthétiques ˆE(ω, t) contenues dans le vecteur ˆd. L’objectif de l’inversion est alors de minimiser la différence entre des données observées d, et des données prédites ˆd = g( ˆm).
On estime ainsi un modèle de Terre moyen ˆm de façon à ce qu’il explique au mieux les observables secondaires et le sismogramme observé. Le modèle ˆmpeut contenir les cinq para-mètres élastiques (VP(z), VSV(z) et les paramètres d’anisotropie ξ(z), φ(z), η(z)), la densité
ρ(z) et l’atténuation sous la forme log
Q−1S (z)
, plus le moment sismique scalaire représenté par log(M0). Les paramètres élastiques permettent d’ajuster le décalage temporel du sismogramme,
Q−1S (z) et M0 permettent d’ajuster les amplitudes. En pratique, on ne peut résoudre tous les paramètres et Debayle & Ricard (2012) se limitent à l’inversion de VSV,(z) et log
Q−1S (z) , qui sont les mieux résolus par l’onde de Rayleigh. Le moment sismique scalaire M0 est également inversé et permet de compenser d’éventuelles erreurs issues du catalogue CMT.
On exprime les dérivées partielles des observables secondaires par rapport aux paramètres élastiques du modèle mj à partir des dérivées partielles des inter-corrélogrammes (Cara & Lé-vêque, 1987). Pour les points des enveloppes :
∂kˆgpk ∂mj = Re ˆgp∂¯ˆgp ∂mj kˆgpk (3.10)
et pour la phase instantanée : ∂φ ∂mj = Re(gp)∂ Im(gp) ∂mj − Im(gp)∂Re(ˆgp) ∂mj kˆgpk2 (3.11)
Ces équations sont aussi applicables au facteur de qualité. Le développement des équations est présenté dans l’annexe A.3.
On a donc besoin des dérivées partielles des inter-corrélogrammes par rapport aux paramètres du modèle mj, incluant l’atténuation Q−1
S . Comme on a fixé le sismogramme mono-mode de référence, les inter-corrélogrammes ne dépendent plus que de ˆkn et ˆαn :
F ( ∂ˆgp(ωq, t) ∂mj ) = − i∆HqA2G(∆)I2X n ( ˆSn¯S◦ pexph −ˆαn(ω) + α◦ p(ω) ∆i ∂ˆkn ∂mj exph −iˆkn− k◦ p ∆i ) (3.12)
et pour le facteur de qualité : F ( ∂ˆgp(ωq, t) ∂Q−1S j ) = − ∆HqA2G(∆)I2X n ( ˆSn¯S◦ p ∂ˆαn ∂Q−1S jexph −ˆαn(ω) + α◦ p(ω) ∆iexph −iˆkn− k◦ p ∆i ) (3.13)
3.2. Méthode d’inversion 55 L’algorithme de Takeuchi & Saito (1972) permet de calculer les dérivées partielles de ∂ ˆCn/∂mj. On obtient donc les dérivées partielles par rapport aux paramètres élastiques en utilisant la relation de passage : ∂ˆkn ∂mj = −ˆω C2 n ∂ ˆCn ∂mj (3.14)
Le deuxième terme nécessite la prise en compte du facteur de qualité en utilisant la démarche d’Anderson & Archambeau (1964). Dans cette démarche, l’atténuation pour le mode n s’exprime alors en fonction de la vitesse des ondes P et S, et des dérivées partielles de la vitesse de phase
C par rapport à ces dernières. On peut alors calculer : ∂ˆαn ∂Q−1S j ! = 2ˆcω X j " 4V2 S j 3V2 P j ! VP j ˆ Cn ! ∂ ˆCn ∂VP j ! ω + VS j ˆ Cn ! ∂ ˆCn ∂VS j ! ω # (3.15)
3.2.2 Modèle radial initial
Il faut faire la distinction entre le modèle a priori m0, le modèle de départ ˆm0et le modèle de référence. Le modèle a priori correspond à la connaissance initiale que l’on a du modèle avant l’inversion, alors que le modèle de départ est le modèle initial de l’inversion. Si le modèle de départ est différent du modèle a priori, le modèle inversé aura tendance à aller vers l’a priori aux endroits où il n’est pas assez contraint par les données. Le modèle de référence est utilisé pour calculer les sismogrammes synthétiques mono-modes ˆsp(t) qui sont inter-corrélés avec le sismogramme observé s(t) et le sismogramme synthétique ˆs(t). Ces sismogrammes synthétiques mono-modes ne sont pas recalculés ensuite afin de ne pas modifier les données inversées durant le processus. Pour simplifier, nous utilisons le même modèle comme modèle initial, a priori et de référence.
Ce modèle, calculé pour chaque trajet, correspond à la structure moyenne le long du trajet. Il comprend une partie crustale estimée à partir de 3SMAC (Nataf & Ricard, 1996) et une partie mantellique estimée a partir du modèle PREM (Dziewonski & Anderson, 1981). Le modèle mantellique est lissé afin d’éviter les variations abruptes des paramètres sismiques autour de la discontinuité à 220 km (figure 3.2). On estime ainsi les vitesses des ondes S et P, la densité et les paramètres élastiques, ainsi que l’atténuation. Cependant, dans le modèle PREM la couche atténuante localisée à 80 km de profondeur n’est pas adaptée pour des trajets continentaux. En effet, cette couche atténuante peut être moins prononcée ou située à des profondeurs différentes. Afin de ne pas imposer cette couche atténuante a priori, la valeur du facteur de qualité est uniformisée à 200 dans tout le manteau supérieur.
Seule la partie mantellique du modèle radial de la Terre est inversée, la croûte restant fixée sur le modèle 3SMAC. La croûte peut avoir un impact important sur la modélisation. Cet impact sera étudié dans la section 6.2 du dernier chapitre.
56 Chapitre 3. Modélisation de forme d’ondes et pré-sélection des données
compared with Debayle [1999], and improves our mapping of heterogeneities, especially within the transition zone. Then we compare DR2012 with other seismic models. 2. Waveform Inversion
2.1. Synthetic Seismograms
[14] In Cara and Lévêque [1987], the surface wave is
represented by a finite sum of pure-mode synthetics com-puted for a laterally homogeneous medium. The expression of a pure-mode synthetic ^sp(t) is given by:
^spð Þ ¼ g xt ð Þ Z
Ið ÞSw pð Þew &apð Þxw ei½wt&kpð Þxw (dw ð1Þ where p is the mode rank, x the epicentral distance, g(x) the geometric expansion,w the circular frequency, I(w) the instru-mental response, Sp(w) the complex source excitation, ap(w)
the apparent attenuation factor and kp(w) the wavenumber
function.
[15] The source excitation Sp(w) is computed using a spe-cific crustal and upper mantle model taken at the epicenter location. This 1D model is obtained by extracting density, seismic velocities and attenuation from 3SMAC [Nataf and
Ricard, 1995] beneath the epicenter. Sp(w) is then
com-puted following Cara [1979], using the global CMT solution [Dziewonski et al., 1981; Ekstrom et al., 2012] issued at the Lamont-Doherty Earth Observatory of Columbia University.
[16] The attenuation ap(w) and wavenumber kp(w) are
computed following Takeuchi and Saito [1972] for a 1D model adapted for each ray. This model includes a path aver-aged crust structure estimated from 3SMAC [Nataf and Ricard, 1995]. The upper mantle part is radially anisotropic and very close to PREM at a reference period of 100 s [Dziewonski and Anderson, 1981] for density and elastic parameters, although the 220 km discontinuity has been smoothed out (see Figure 2). The attenuating layer located at 80 km depth in PREM represents a strong a priori choice which is not adapted to continental paths for which the atten-uating layer is less pronounced or located deeper. We use therefore a uniform 1D quality factor Qb(z) of 200 as a start-ing upper mantle model (see Figure 2g). The wavenumber is corrected from physical dispersion using Kanamori and Anderson [1977] assuming a reference period of 100 s.
[17] This careful choice of the a priori information for the starting model in the source region and the average crustal structure along each epicenter-station path allows us to invert for the path-average upper mantle structure only, assuming the crustal structure and the source excitation are known. We tested the impact of the crustal model to the final tomographic maps in some of our previous papers [Debayle and Kennett, 2000; Pilidou et al., 2004; Priestley et al., 2008]. Crustal corrections done with 3SMAC or CRUST2 [Bassin et al., 2000] have no effect under oceans where the average crust is much thinner ()7 km) than the depth
of maximum sensibility of Rayleigh waves (≥70 km for
Figure 2. Our 1D starting model (blue) superimposed to PREM (red) at a reference period of 100 s. For the inverted parameters (Vs and the shear attenuation) we also plot in green the 1D models obtained after averaging the 374,897 inverted profiles. For Vs, this inverted model is very close to the 1D starting model in blue.
DEBAYLE AND RICARD: GLOBAL SHEAR WAVE VELOCITY DISTRIBUTION B10308 B10308
3 of 24
ρ(g.cm−3) VP (km.s−1) VS (km.s−1) ξ
φ η Q−1
1
Figure 3.2 – Modèle 1D de départ de l’inversion de forme d’onde (en bleu), superposé au modèle PREM (en rouge) à la période de référence 100 s. Pour les paramètres inversé (VS et Q−1), les moyennes des modèles inversés (calculés sur 374 897 trajets différents) sont affichés en vert. Figure adaptée à partir de (Debayle & Ricard, 2012).
3.2.3 Matrices de covariance
La matrice de covariance sur les données Cd0 est choisie diagonale. Les termes diagonaux expriment l’incertitude sur les mesures des données (i.e. sur les observables secondaires). Debayle & Ricard (2012) choisissent une incertitude de 10% sur l’enveloppe et de 5% de 2π pour la phase. La matrice de covariance sur le modèle Cm0 est composée de trois sous-matrices exprimant les covariances sur la vitesse, l’atténuation et le moment sismique. Il n’y a pas de covariance croisée
a priori entre les trois sous-matrices. La covariance sur log(M0) est choisie égale à 0,5. Cette valeur est suffisamment grande pour absorber, dans le moment sismique inversé, les différences d’amplitude entre sismogramme synthétique et réel qui sont indépendantes de la période. Pour la vitesse et l’atténuation, la covariance entre deux profondeurs zi et zj est définie par :
Cm0(zi, zj) = σmiσmj exp " −(zi− zj)2 2L2 corr # (3.16) avec Lcorr la longueur de corrélation verticale qui est choisie égale à 50 km, σmi l’écart-type
a priori des paramètres, contrôlant l’amplitude des perturbations du modèle à une profondeur
3.3. Routine automatisée 57