Méthode de fittage et reconstruction du spectre : tests

" =1/10 (à gauche) et 1 / 200

! = (à droite). Notons encore une fois l’aspect très différent du spectre comparé au modèle de Sidi ou encore au modèle de Gurvich. La Figure 89 représente les iso-contours de FAC de SAMM-2 dans le cas

!

" =1/10 uniquement (la FAC pour _{! =}1 / 200 est trop aplatie pour que sa visualisation ait un intérêt). On ne représente sur cette figure que les _{! = !}h x²_{+ !}y² _{> .} 0

Tout comme le modèle de Gurvich, ce modèle sera proposé dans notre modèle de calcul de la FAC de la luminance

Figure 89: Iso-contours de la FAC 3-D de SAMM-2 avec

!

"z sur l’axe vertical et

!

"h = "x²+ "y² sur l’axe horizontal. L’anisotropie

!

" est de 1/10.

4.7 Méthode de fittage et reconstruction du spectre : tests

Nous venons de voir qu’une résolution analytique n’est pas toujours possible dans les cas plus complexes et réalistes comme le modèle de Sidi. Dans ce cas-là, la FAC doit être calculée numériquement par TF inverse du spectre. Si le spectre 3-D est isotrope (ou pseudo-isotrope grâce à des propriétés d’échelle appropriées) et s’il est intégrable suivant deux de ces variables, on peut appliquer le cas défini en (4.2) et se ramener à une TF inverse 1-D. L’idée est alors de fitter le résultat par une fonction analytique afin de se ramener à une solution analytique approchée de la FAC numérique. Si cette fonction de fittage existe, il est alors nécessaire de vérifier que sa TF directe (analytique et/ou numérique) donne un spectre le plus fidèle possible au spectre initial. Notons que ce raisonnement est également valable en 2-D, c’est-à-dire dans les cas où l’on ne peut se ramener qu’à une TF inverse 2-D. Ce chapitre est consacré tout d’abord à la validation du calcul numérique de la FAC (par TF inverse 1-D) puis à la validation des méthodes de fittage. Nous prendrons comme cas test le modèle de Gurvich : nous pourrons alors comparer la solution numérique à la solution analytique existante.

4.7.1 Comparaison solution analytique/solution numérique

On souhaite vérifier dans un premier temps que la FAC analytique décrite en (4.16) et celle obtenue numériquement grâce à (4.15) sont concordantes. Concrètement, la solution numérique est obtenue en appliquant une transformée de Fourier rapide (FFT) de la fonction F^{( )1}( )k construite sur un _x intervalle spectral

[

]

!

"( ) (#r,0,0) analytique (en ³ pointillés noirs) et numérique (en rouge) obtenues à partir du spectre isotrope 3-D défini en (4.15). On constate grâce à la représentation Log-Log que la solution numérique est limitée par l’erreur de précision des variables (définies en double précision) : c’est le bruit observé aux très faibles amplitudes. Le résultat numérique n’est donc pas représentatif de la FAC analytique aux distances élevées. En revanche, l’erreur relative entre ces deux solutions (illustrée en vert sur la Figure 90a) ne dépasse pas 1% en dehors de cette région bruitée. Par ailleurs, en calculant cette fois-ci la TF directe de la FAC numérique (en rouge sur la Figure 90a), on reconstruit le spectre 1-D F^{( )1}( )k . Si on _x regarde la Figure 90b qui compare le spectre théorique (en noir) et sa reconstruction par TF (en rouge), on vérifie bien que ces deux spectres sont parfaitement concordants. Notons que les points rouges en bas de la Figure 90b correspondent à la partie imaginaire du spectre reconstruit : ces valeurs sont résiduelles, on peut donc considérer le spectre reconstruit comme une fonction réelle.

4.7.2 Fittage de la fonction d’autocorrélation numérique

Plusieurs fonctions ont été testées pour fitter au mieux la FAC numérique calculée à partir de (4.15). Entre autres, les fonctions exponentielle, double exponentielle et loi de puissance ont donné des résultats décevants. En revanche, une fonction de type

( ) ( )

0 1 ^{c x}

A x c x c e!

= + a permis d’obtenir un fit

assez proche de la FAC numérique. La Figure 91 récapitule les différentes étapes présentées précédemment dans ce paragraphe 4.7. Premièrement, on part d’un spectre F^{( )1} ( )k défini en (4.15) _x (en noir sur la Figure 91b) dont on connaît la FAC associée (en trait noir interrompu sur la Figure 91a). On calcule la FFT inverse de F^{( )1}( )k pour obtenir une FAC numérique illustrée en trait rouge _x sur la Figure 91a. Ensuite, on fitte cette dernière par une fonction A définie ci-dessus : c’est la courbe bleue de la Figure 91a. Enfin, on calcule la FFT directe de la fonction A afin de reconstruire le spectre

( )1( )_x

F k : on représente cette reconstruction en bleu sur la Figure 91b. On constate tout d’abord que le fittage engendre une erreur relative par rapport à la solution analytique pouvant atteindre 90% aux grandes distances : cette erreur est illustrée en vert sur la Figure 91a. Cette erreur, après reconstruction du spectre, se répercute sur la pente : on peut vérifier sur la Figure 91b que la pente passe d’une valeur théorique de -3 à une valeur après reconstruction de -2 environ.

(a)

(b)

Figure 90 : (a) Sur l’axe vertical gauche, fonction d’autocorrélation analytique (en pointillés noirs) et celle obtenue par TF inverse (en rouge) en Log-Log. Paramètres utilisés : k_c=10-4 m-1, p=5, η=1. Sur l’axe vertical droit, erreur relative entre les deux courbes exprimée en %. (b) en noir, le spectre 1-D F( )1( )k_x théorique et en rouge le spectre reconstruit à partir de la fonction d’autocorrélation numérique (en rouge sur le graphe a).

(a)

(b)

Figure 91 : (a) En rouge, fonction d’autocorrélation numérique et en bleu, fittage par une fonction de type A et en noir, fonction d’autocorrélation analytique (axe vertical gauche) ; en vert, erreur relative en % entre la fonction d’autocorrélation analytique et la fonction de fittage (axe vertical droit). (b) en noir, le spectre 1-D

( )1( )_x

4.7.3 Discussion

L’idée d’une fonction de fittage est donc peu satisfaisante car elle ne permet pas de conserver les propriétés essentielles du spectre en loi de puissance. On peut penser que ces résultats peuvent être pire dans le cas de modèles plus complexes dont les FAC numériques sont plus difficiles à fitter. Ainsi, si l’on veut modéliser une FAC à partir d’un spectre complexe, la seule solution est de stocker ses valeurs numériques dans une table qui servira de grille d’interpolation lors du calcul de la FAC des fluctuations de la luminance. Cette solution est une des perspectives de ce travail de thèse.