2.3 Traitement de la singularité
2.3.3 Méthode de Saint-Venant
Cette méthode est basée sur le principe de Saint-Venant connu en mécanique, en théorie des poutres, dont l’énoncé est : « Les détails spécifiques de l’application d’une charge n’a pas d’influence sur les résultats observés à une certaine distance de cette charge ». Dans notre cas, cela se traduit par les détails spécifiques de la configuration de la source (le dipôle) n’influençant pas les mesures des signaux (potentiels) récoltés par les électrodes sur le scalp situées à une certaine distance bien éloignée des sources.
Avec la méthode de Saint-Venant, le dipôle peut être approché par une distribution de monopôles (sources et puits), tout au long des nœuds voisins aux positions 𝑟𝑘 autour de la position réelle 𝑟0 du dipôle, de telle sorte que le moment résultant 𝑇⃗ soit le même ou approxime au mieux le vrai moment dipolaire 𝑀
⃗⃗
[96-97]Le moment 𝑇⃗ , dit multipolaire, du dipôle est donné par la relation suivant:
𝑇⃗ = ∫ (𝑟 𝑘− 𝑟 0)𝑑𝑖𝑣𝑗⃗⃗ 𝑝
𝛺
𝑑𝛺 = ∫ (𝑟 𝑘− 𝑟 0)𝐽𝑝𝑑𝛺
𝛺
(2.30) où 𝐽𝑝 peut être considéré comme une densité volumique de courant [101] (par dualité avec l’équation (1.3) : 𝑑𝑖𝑣 𝐷⃗⃗ = 𝜌). La discrétisation de ce système [49] [102-103] nous donne la formulation suivante : 𝑇⃗ = ∑ (𝑟 𝑘− 𝑟 0)𝑗𝑘 𝐶 𝑘=1 = ∑ 𝛥𝑟⃗⃗⃗⃗ 𝑘0 𝐶 𝑘=1 𝑗𝑘 (2.31)
où 𝐶 représente le nombre de nœuds voisins et 𝛥𝑟⃗⃗⃗⃗ 𝑘0 désigne le vecteur nœud-source et 𝑗𝑘 représente l’élément source (monopôles de courant). Dans cette méthode il faut trouver la valeur des sources monopôles 𝑗𝑘, qui correspond au second terme de la formulation MEF, les détails sont en annexe iii.
2.3.3.1 Monopôles de Saint-Venant
L’approximation de Saint-Venant consiste à trouver une distribution de charges au voisinage du dipôle de telle sorte que le potentiel électrique créé à grande distance soit
72 inchangé. Pour cela il faut que le moment multipolaire 𝑇⃗ exprimé dans la relation (2.31) approxime au mieux le moment dipolaire 𝑀⃗⃗ .
La détermination des courants monopolaires 𝑗𝑘 revient à résoudre un problème inverse, un problème de minimisation entre le moment dipolaire 𝑀⃗⃗ et le moment multipolaire 𝑇⃗ . Le problème à résoudre est de type :
𝝉 = 𝑎𝑟𝑔 𝑚𝑖𝑛𝑗𝑘‖𝑀⃗⃗ − 𝑇⃗ ‖ 2 2 = 𝑎𝑟𝑔 𝑚𝑖𝑛𝑗𝑘‖𝑀⃗⃗ − ∑ 𝛥𝑟⃗⃗⃗⃗ 𝑘0 𝐶 𝑘=1 𝑗𝑘‖ 2 2 (2.32)
𝑎𝑟𝑔 𝑚𝑖𝑛𝑗𝑘 représente la fonction de minimisation ayant comme paramètre 𝑗𝑘 la valeur des monopôles. Le problème (2.32) est mal posé, le nombre d’inconnues est supérieur aux données. En effet, la donnée du problème est le moment du dipôle 𝑀⃗⃗ définis par :
a) Sa position 𝑟⃗⃗⃗ , 0 b) Son amplitude‖𝑀⃗⃗ ‖, c) Son orientation 𝜗𝑀 et 𝜑𝑀,
La Figure 2-8 représente les informations données par un dipôle repéré dans l’espace par le vecteur position 𝑟⃗⃗⃗ et son orientation 𝜗0 𝑀 et 𝜑𝑀, ainsi que la distribution des monopôles autour de la position du dipôle, représentant ainsi les inconnues à déterminer par la méthode de Saint-Venant.
Figure 2-8: A gauche : représentation du vecteur moment : Position et orientation. A droite : Représentation de la distribution des monopôles dans un espace
Les inconnues qu’il faut trouver pour définir le moment 𝑇⃗ sont : a) Le nombre de monopôles C,
b) La position des monopôles 𝑟⃗⃗⃗ , 𝑘 c) La valeur des monopôles 𝑗𝑘,
73 De plus, le vecteur 𝑇⃗ doit avoir la même orientation que le vecteur 𝑀⃗⃗ , voir Figure 2-9, et l’équilibre électrostatique doit être vérifié, donc :
∑ 𝑗𝑘
𝐶
𝑘=1
= 0 (2.33)
La détermination des inconnues du problème permettra la reconstruction du moment du dipôle d’origine 𝑀⃗⃗ . La figure suivante donne un aperçu du vecteur moment cible 𝑀⃗⃗ et un aperçu du vecteur moment equivalent 𝑇⃗ à partir des vecteurs élémentaires issus de la résolution du système (2.32).
l
Figure 2-9 : Représentation spatiale du vecteur moment cible M⃗⃗⃗ et du vecteur moment de Saint-Venant équivalent T⃗⃗
2.3.3.2 Procédure de distribution des monopôles dans le maillage
La procédure consiste à localiser le nœud le plus proche de la position de la source voir Figure 2-10- (2), ensuite on distingue tous les nœuds voisins formant la maille dont ce nœud est le centre (3). Une fois les nœuds localisés, on calcule et distribue les sources sur ces nœuds.
Figure 2-10: Procédure (standard) de définition des nœuds voisins de la méthode de Saint-Venant. (1) : localisation du dipôle dans le maillage. (2) : Identification du nœud le plus proche. (3) : Distribution des
74 2.3.3.3 Procédure du calcul des Monopôles de Saint-Venant
Etant donné le nombre d’inconnues à déterminer, on fixera des conditions initiales afin de pouvoir converger vers une solution possible du problème de minimisation (2.32).
Avec la discrétisation éléments finis et le maillage du domaine de la tête 𝛺, les monopôles de courant sont distribués sur les nœuds au voisinage de la position réelle du dipôle. A partir de cela on peut donc connaitre leur nombre et la localisation de ces monopôles.
𝑟𝑘
⃗⃗⃗ − 𝑟⃗⃗⃗ = 𝛥𝑟0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟𝑘0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑘𝑟0 (2.34) Les monopôles sont distribués autour du dipôle, ce qui est préférable d’après les raisonnements d’approximation dipolaire donnés en annexe ii. De plus, on pourra déduire que le centre de gravité des monopôles coïncide avec la position réelle du dipôle 𝑟0 (voir annexes). Le moment 𝑇⃗ s’écrit dans ce cas :
𝑇⃗ = ∑ (𝑟⃗⃗⃗ − 𝑟𝑘 ⃗⃗⃗ )0 𝐶 𝑘=1 𝑗𝑘= ∑ 𝛥𝑟⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑘0 𝐶 𝑘=1 𝑗𝑘 (2.35)
Les seules inconnues restantes sont les valeurs des monopôles 𝑗𝑘. Pour cela on va procéder à la résolution du problème de minimisation (2.32). La résolution consiste à minimiser la norme du résidu 𝜏, or ce type de résolution peut poser d’autres problèmes, qui sont liés au conditionnement du terme ‖𝛥𝑟⃗⃗⃗⃗ 𝑘0‖ conduisant ainsi à des erreurs considérables ou à un grand nombre de solutions (non unicité de la solution).
Dans le but de favoriser une solution avec des propriétés pertinentes (particulière et unique), on utilise la fonction de minimisation 𝐹𝜆(𝑗𝑘) avec un terme de régularisation comme suit :
𝐹𝜆(𝑗𝑘) = ‖𝑀̅ − 𝑇̅(𝑗𝑘)‖2+ 𝜆 ‖𝑊.̅̅̅̅ 𝑗𝑘‖2
= ‖𝑀̅ − 𝑅̅. 𝑗𝑘‖2+ 𝜆 ‖𝑊̅ 𝑗𝑘‖ (2.36) où 𝑅̅ la matrice des distances monopôles sources. La détermination de la valeur des monopôles de courant consiste à la résolution du problème de minimisation suivant en utilisant la régularisation de Tikhonov [111] [112]:
𝜏 = 𝐴𝑟𝑔 𝑚𝑖𝑛𝑗𝑘[‖𝑀⃗⃗ − 𝑇⃗ ‖ 2 2 + 𝜆 ‖𝑊̅ 𝑗𝑘‖ 2 2 ] = 𝐴𝑟𝑔 𝑚𝑖𝑛𝑗𝑘[‖𝑀⃗⃗ − 𝑅̅𝑗𝑘‖ 2 2 + 𝜆 ‖𝑊̅ 𝑗𝑘‖ 2 2 ] (2.37)
où Arg minjven est la fonction de minimisation ayant pour paramètres la valeur du courant 𝑗𝑣𝑒𝑛 et ‖u‖2 étant la norme discrète L2. Le terme additionnel contraint la solution, en fonction du choix des paramètres de régularisation 𝑊̅ et λ [112].
75 Ce système est de type Tikhonov-Phillips [111] [112], W̅ est la matrice de pondération de Tikhonov qui doit être judicieusement choisie, 𝑗𝑘 est le terme source que l’on veut déterminer, λ est le facteur de régularisation de Legendre choisi de manière à être le plus petit possible. Dans la relation (2.37) le premier terme assure la minimisation au sens des moindres carrés entre le moment cible 𝑀⃗⃗ et le moment calculé 𝑇⃗ , et le deuxième terme est la régularisation de Tikhonov-Phillips, qui permet d’avoir une solution dite ‘lisse’, dont les valeurs des monopôles sont régulières et pondérées aux valeurs 𝑊̅ (pas d’écart important entre deux monopôles voisins). Les détails du développement de la relation (2.37) sont mis en annexe iii.
Remarque : les termes de 𝑊̅ correspondent à la pondération associée à chaque valeur de
monopôle. Choisir des valeurs unité (matrice identité) dans 𝑊̅ permet d’avoir des valeurs de monopoles dispersées (non lissées). Par ailleurs on peut pondérer chaque valeur de monopôles à la distance le séparant du dipôle, Dans ce cas, plus la distance est petite plus la valeur du monopôle est importante, et plus la distance est grande moins est importante la valeur des monopôles. Ce paramètre peut ainsi influencer la distribution des monopôles ainsi que leur contribution.
La résolution de ce système s’obtient par une première différentiation par rapport à 𝑗𝑘 donne l’expression suivante : 𝑗𝑘= [[∑ (𝑅̅)𝑑𝑇𝑅̅𝑑+ 𝜆(𝑊̅ )𝑑𝑇𝑊̅𝑑) 𝑑=𝑥,𝑦,𝑧 ] −1 ] [∑ [(𝑅̅)𝑑𝑇𝑀𝑑] 𝑑=𝑥,𝑦,𝑧 ] (2.38)
Les indexs 𝑑 et 𝑇 réfèrent respectivement à la direction (x, y ou z) et à la transposée de la matrice. Les détails relatifs à la procédure des calculs sont donnés en annexe iii.
Une fois le système (2.38) calculé, les termes 𝑗𝑘 sont utilisés dans le terme source dans la formulation MEF, puis en utilisant un solveur numérique [78-81] on arrive à trouver le potentiel en tout nœud du maillage.
La divergence de la densité du courant primaire 𝑗⃗⃗⃗ de la distribution discrète de charge peut 𝑝 alors s’écrire de la manière suivante [116] :
𝑑𝑖𝑣𝑗⃗⃗⃗ = ∑ 𝑗𝑝 𝑘 𝛿(𝑟 − 𝑟 𝑘) 𝐶 𝑘=1 = ∑ 𝑗𝑘 𝛿𝑟 𝑘 𝐶 𝑘=1 (2.39) D’où la formulation suivante à partir des équations précédentes :
∫ 𝜑 𝑑𝑖𝑣𝑗⃗⃗⃗ 𝑝 𝛺 𝑑𝛺 = ∑ 𝑗𝑘 𝑘 𝑣=1 ∫ 𝜑 𝛿(𝑟 − 𝑟 𝑘)𝑑𝛺 𝛺 (2.40)
Ici le terme 𝛿(𝑟 − 𝑟 𝑘) est égal à 1 quand la position du nœud 𝑟 = 𝑟 𝑘 ⃗⃗⃗ et mis à zéro dans les autres cas. La fonction 𝜑 est soit égale à zéro, soit égale à un sur les nœuds.
76 En remplaçant le potentiel par sa formulation discrète 𝑉 = ∑𝑁𝑗=1𝑉𝑗𝜑𝑗 on arrive à la formulation matricielle suivante :
𝐾𝑉 = 𝑆𝑣𝑒𝑛 (2.41)
où 𝐾 est la matrice de rigidité définie précédemment. Le terme source est donné par la relation suivante :
𝑠𝑣𝑒𝑛 = {𝑗𝑘 𝑠𝑖 𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑒𝑢𝑑 𝑖 𝑓𝑎𝑖𝑡𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑒𝑢𝑑𝑠 𝑣𝑜𝑖𝑠𝑖𝑛𝑠
0 𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒𝑢𝑟𝑠 (2.42)
Le terme source dans cette méthode est défini uniquement sur les nœuds voisins du maillage autour de la position du dipôle comme indiqué dans Figure 2-11suivante :
Figure 2-11 : La croix représente la localisation de la source, les points représentent les nœuds qui portent les sources jk.
Dans cette formulation la matrice de rigidité 𝐾 est la même que dans la méthode directe et la méthode de soustraction, concernant le terme source 𝑆𝑣𝑒𝑛 , il est non nul uniquement sur les nœuds voisins qui entourent le point source comme le montre la figure 2-11.
2.3.3.4 Influence du nombre de monopôles sur le calcul du moment de Saint-Venant Afin d’étudier l’influence du nombre de monopôles de Saint-Venant sur la convergence du moment équivalent T⃗⃗ vers la valeur du moment cible M⃗⃗⃗ , on se propose de calculer l’erreur relative entre le module du moment équivalent et de ces composantes avec celle du moment cible en fonction du nombre de monopôles.
𝐸𝑟𝑟M𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡= 100‖𝑀⃗⃗ ‖ − ‖𝑇⃗ ‖
77 Le Tableau 2-1 suivant apporte un exemple de résultats obtenus pour un cas de test.
Nombre de nœuds 1 2 3 4 8 10 15
𝑬𝒓𝒓𝑴𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕 (%) 76,82 32,5 13,66 8,66 3,4.10-3 6.10-5 4.10-12
𝑬𝒓𝒓𝑴𝒙(%) 82,63 75,25 25,12 48,12 12,56 3.10-4 6.10-11
𝑬𝒓𝒓𝑴𝒚(%) 52,13 15,14 43,58 25,2 0,34 2.10-5 6.10-12
𝑬𝒓𝒓𝑴𝒛(%) 130,35 63,23 7,9 2,98 2,3.10-3 3.10-5 6.10-10
Tableau 2-1: Erreur sur le moment et de ses composantes dans les trois directions cartésiennes versus le nombre de nœuds voisins.
La précision du moment équivalent dépend du nombre de nœuds utilisés. Ce résultat coïncide avec nos attentes, car plus le dipôle est entouré de monopôles, meilleure est la distribution de poids sur les nœuds, ce qui permet d’approximer au mieux le moment cible.