Méthode DDA (Discrete Dipole Approximation)

Dans la communauté de la diffusion de lumière par une particule, la méthode DDA prend désormais une place importante comme on peut le constater via les références

[Draine and Flatau,1994;Yurkin and Hoekstra, 2007] qui passe respectivement en revue

les développements de la méthode jusqu’en 1994 puis de la période entre 1994 et 2007. Elle fait également l’objet de nombreuses comparaisons avec d’autres méthodes existantes

[Wriedt and Comberg, 1998; Wriedt et al., 2006; Gilev et al., 2010; Kahnert, 2003; Liu

et al., 2012; Yurkin and Kahnert, 2013; Yang et al., 2015; Kahnert, 2016].

Principe. L’approximation des dipôles discrets (DDA) (Discrete Dipole Approxima-

tion en anglais) est également dénommée Coupled Dipole Method. L’idée principale de

cette méthode, initialement introduite par DE VOE [DeVoe, 1964, 1965] puis en 1973 par PURCELL et PENNYPACKER [Purcell and Pennypacker, 1973], est de remplacer (autrement dit d’approximer) le diffuseur par un ensemble fini de dipôles qui interagissent entre eux ainsi qu’avec l’onde électromagnétique incidente. À chaque dipôle est associée une posi- tion sur un maillage en volume (voir Fig. II.3) ainsi qu’une polarisabilité. À partir de ces éléments, il est possible de déterminer les grandeurs caractéristiques du problème de diffusion : sections efficaces, fonctions de phase, .... Quelques éléments mathématiques montrant le principe de la méthode sont fournis en Annexe C.

Figure II.3 – Discrétisation du volume de la particule dans le cadre de la méthode DDA : exemple d’une discrétisation cubique.

Avantages et limites. La méthode DDA présente de nombreux avantages. D’une part, elle est applicable à des particules avec des géométries complexes (i.e. non sphériques) pouvant être hétérogènes et/ou anisotropes ainsi qu’à des particules optiquement-actives

[Kahnert,2003]. D’autre part, la discrétisation en sous-volumes est restreinte au domaine de la particule, ce qui permet de réduire le nombre d’inconnues (comparé à d’autres mé- thodes telles que la méthode FDTD (voir Sec. II.1.2.4)). De plus, la condition de rayon- nement à l’infini est automatiquement satisfaite dans la mesure où la dyade de Green satisfait cette condition [Jones, 1979; Lakhtakia, 1990]. L’une des faiblesses de la mé- thode DDA est que lorsque le nombre de sous-volumes augmente, la précision numérique augmente plutôt lentement [Kahnert, 2003]. Contrairement à la méthode T-Matrix, les propriétés de symétries des particules (lorsqu’il y en a) n’est pas exploitée. De plus, la prise de moyenne sur les orientations des particules reste à l’heure actuelle une difficulté. En ef- fet, le calcul doit être répété pour chacune des orientations, entraînant une augmentation du temps de calcul. Ce dernier point est d’autant plus vrai que le nombre d’orientations nécessaire augmente avec le paramètre de taille x [Yurkin, 2016]. Bien que DDA soit en mesure de traiter n’importe quelle forme de particule, elle éprouve des difficultés (comme les autres méthodes) à résoudre le problème de la diffusion pour des particules possédant des paramètres de taille intermédiaires compris entre l’échelle de la longueur d’onde et le régime de l’optique géométrique [Kahnert, 2016]. Néanmoins, il convient de noter que le code numérique ADDA (qui est un code basé sur la méthode DDA dont nous reparlerons plus loin) a récemment permis d’obtenir des résultats pour une sphère de paramètre de taille x = 320 et d’indice de réfraction m = 1.05 [Yurkin and Hoekstra, 2011]. Certes ce résultats montre le potentiel de la méthode à aller traiter des particules de plus grandes tailles (voir aussi [Yurkin and Hoekstra, 2016]), mais cela nécessite tout de même d’im- portantes ressources informatiques. Malgré cette limitation, qui ne cesse d’être réduite compte tenu des développements informatiques (notamment grâce à la parallélisation des calculs qui permet d’aller vers des plus grands paramètres de tailles [Kahnert, 2016]), la méthode DDA se positionne déjà comme une méthode résolvant de manière "exacte" les équations de Maxwell [Yurkin and Kahnert, 2013]. En effet, les résultats obtenus par cette méthode convergent vers la valeur exacte dès lors que l’on augmente le nombre de dipôles, autrement dit la précision numérique est améliorée au détriment du temps de calcul [Yurkin and Kahnert,2013; Kahnert, 2016].

Codes numériques disponibles. Il existe plusieurs codes numériques implémentant la méthode DDA. En particulier, on citera le code DDSCAT (Dipole Discrete SCATte-

ring) écrit en langage Fortran 77, développé par Draine et Flatau. Régulièrement mis à

jour (version actuelle DDSCAT 7.3.2 - Août 2016), il est disponible librement en ligne (http ://www.ddscat.org/) et dispose d’un guide utilisateur [Draine and Flatau,2013]. Un autre code développé à l’Université d’Amsterdam initialement par Hoekstra (entre autres) dans les années 90 puis réécrit et amélioré par YURKIN [Yurkin et al., 2007a] en 2006. Ce

code écrit en langage C, désormais connu sous le nom ADDA (Amsterdam Discrete Dipole

Approximation), est disponible librement en ligne (https ://github.com/adda-team/adda).

Bien qu’il existe d’autres codes qui implémentent la méthode DDA, les codes DDSCAT et ADDA sont certainement les codes les plus utilisés actuellement. Une étude comparative entre plusieurs codes dont ADDA et DDSCAT est présentée dans la référence [Penttilä

et al., 2007]. De cette étude, en plus de donner les points positifs et négatifs de chacun

de ces codes, il est mis en avant que le code ADDA est plus rapide mais moins précis que le code DDSCAT (voir également la thèse de Maxim YURKIN [Yurkin, 2007]). Il est également mentionné que ces deux codes sont en mesure de faire des calculs parallélisés. Les capacités et les limites actuelles du code ADDA ont également été détaillées dans les travaux de YURKIN[Yurkin and Hoekstra, 2011; Yurkin, 2016].

Applications de la méthode DDA. La méthode DDA est très employée pour trai- ter diverses particules avec des géométries différentes telles que des particules marines

[Gordon, 2011], des cristaux de glaces [Flatau and Draine, 2014; Yang et al., 2015], des

particules biologiques [Bi and Yang, 2015; Orlova et al., 2014], des globules rouges [Yur- kin, 2007; Gilev et al., 2010], des plaquettes sanguines [Moskalensky et al., 2013, 2014], des poussières minérales [Nousiainen et al., 2009], des cendres volcaniques [Kylling et al.,

2014], des poussières interstellaires [Lumme, 2011], des plasmons [Vartia et al., 2016] ou encore des matériaux nano-structurés [Enguehard, 2009]. D’autres références plus an- ciennes sont recensées au chapitre V de l’ouvrage [Mishchenko et al., 2000]. La référence

[Yurkin, 2016] fournit également des références d’applications de la méthode DDA pour

des grandes particules devant la longueur d’onde.

Conclusion. Dans ce manuscrit, le code ADDA nous servira d’outil de validation de nos codes. En particulier, nous l’utiliserons dans Sec. IV.3.1.2 pour une particule sphéroïdale. L’utilisation de ce code nous permettra de valider nos codes sur une plus grande gamme de paramètre de taille que celle disponible avec le code T-Matrix que nous utilisons.