Approximation de la diffraction anomale - Diffusion d’une onde par une particule

I.2 Diffusion d’une onde par une particule

II.1.3 Approximations

II.1.3.3 Approximation de la diffraction anomale

Critères de validités. Cette approximation, introduite par VAN DE HULST [Van de

Hulst, 1957] dans les années cinquante, est valable pour des particules de grandes tailles

devant la longueur d’onde (grands paramètres de taille x) et lorsque les propriétés op- tiques de la particule sont proches de son milieu environnant (indices de réfraction relatif

mr proche de 1, voir définitions dans Sec. I.2.3). Formellement, ces critères de validité

9. Dans le cadre de l’approximation de Born, on a m2

r− 1 = n2r+ κ2r− 1 + 2inrκr, ce qui met

en évidence le produit entre nr et κr. Dans le cadre de l’approximation de Rayleigh-Gans-Debye, on a

s’écrivent :

x 1 (II.11)

|mr− 1| 1 (II.12)

Physiquement, la première hypothèse Eq.II.11 signifie que la propagation de l’onde élec- tromagnétique au sein de la particule peut-être interprétée à l’aide de la notion de rayon de l’optique géométrique. La seconde hypothèse Eq. II.12signifie que les phénomènes de réfraction et réflexion sont négligeables. Autrement dit, les rayons traversent la particule en ligne droite en ne subissant quasiment pas de déviation. L’approximation de la diffraction anomale consiste donc en une propagation de l’onde électromagnétique incidente en ligne droite au sein de la particule, puis une diffraction de l’onde transmise selon le principe de Huygens. La puissance diffusée est alors concentrée autour de la direction d’incidence.

L’étude de la validité de l’approximation de la diffraction anomale a été réalisée par de nombreux auteurs pour la sphère [Farone and Robinson, 1968], pour le cylindre [Liu

et al.,1998], et pour le cube [Masłowska et al.,1994]. En remarquant que l’approximation

de la diffraction anomale fournit des résultats satisfaisants pour des indices de réfraction de l’ordre de deux et ceci malgré la condition |mr − 1| 1, Sharma suggère que cette

condition est trop restrictive et devrait être remplacée par |mr−1

mr+1|

2 _{1 [}_Sharma_, ₁₉₉₂_].

Formulations et calcul des propriétés radiatives. Dans le cadre de l’approximation de la diffraction anomale, l’amplitude de diffusion S, déterminée à partir de l’expression du champ électrique diffusée fournie en Annexe E, s’écrit [Van de Hulst,1957] :

S(ϑsca) =

2π ¨

eike(x0cos φsca+y0sin φsca) sin ϑsca_{[ E}

sca(~r0) − 1] dx0dy0 (II.13) où x0 et y0 sont les coordonnées de la position ~r0 appartenant à la surface projetée P de la particule. À partir de cette expression, on en déduit la section efficace différentielle de diffusion ˆWsca :

Wsca(ϑsca) = |S(ϑsca)|2 =

ke 2π ¨ P

eike(x0cos φsca+y0sin φsca) sin ϑsca_{[ E}

sca(~r0) − 1] dx0dy0 2 (II.14) Basée essentiellement sur des images physiques, VAN DE HULST est seulement en mesure de fournir une description de la section efficace différentielle de diffusion ˆWsca aux petits

angles de diffusion ϑsca.

La section efficace d’extinction ˆσext est obtenue en utilisant le théorème optique (voir

Eq. I.29 en prenant S11 = S22 = S) qui fait intervenir l’expression de l’amplitude de diffusion Eq. II.13 dans la direction avant (i.e. lorsque ϑsca = 0) :

ˆ σext= 2Re ¨ P 1 − e−ike(mr−1)l(~r0)_d~_r 0 (II.15)

La section efficace d’absorption ˆσabs est obtenue à partir d’image physique. Chaque

rayon qui traverse la particule sur une distance l voit son amplitude décroître en e−keκrl _à

cause du phénomène d’absorption. Par conséquent, la puissance absorbée par la particule lors de la traversée de cette dernière est 1−(e−keκrl₎2_{. Ainsi, la section efficace d’absorption}

s’écrit : ˆ σabs = ¨ P 1 − e−2keκrl(~r0)_d~_r 0 (II.16)

La section efficace de diffusion ˆσsca est obtenue par différence entre la section efficace

d’extinction et celle d’absorption :

σsca = ˆσext− ˆσabs (II.17)

Illustration de la précision sur une particule sphérique. Fig. II.9 montre les résultats obtenus avec l’approximation de la diffraction anomale, résolue par la méthode de Monte Carlo (voir Sec. II.2), pour une particule sphérique homogène isolée pour deux indices de réfractions relatifs différents mr = 1.01 − 0.005i et mr = 1.1 − 0.005i. Ces

deux indices représentent les limites basses et hautes qui sont caractéristiques des micro- organismes photosynthétiques. On constate que les résultats sont en très bon accord avec ceux de références fournis par l’approche de Lorenz-Mie.

0 50 100 150 200 0 0.5 1 x ˆ Qabs ou ˆ Qsca mr= 1.01− 0.005i ˆ QM ie

sca QˆAnomalesca QˆM ieabs QˆAnomaleabs

0 50 100 150 200 0 1 2 3 x ˆ Qabs ou ˆ Qsca mr= 1.1− 0.005i

Figure II.9 – Efficacités de diffusion ˆQsca= ˆQext− ˆQabset d’absorption ˆQabsen fonction du paramètre de

taille x d’une particule sphérique homogène isolée pour deux indices de réfraction relatif mr= 1.01−0.005i

et mr= 1.1 − 0.005i. Comparaisons des résultats obtenus avec l’approximation de la diffraction anomale

résolue par la méthode de Monte Carlo et ceux obtenus avec l’approche de Lorenz-Mie.

Applications. L’approximation de la diffraction anomale est très largement utilisée pour calculer les propriétés radiatives de diverses particules : micro-organismes [Bricaud

and Morel, 1986], cristaux de glaces, globules rouges [Hammer et al., 1998], tissus biomé- dicaux [Sharma and Banerjee, 2012]... . Sa simplicité a permis de déterminer des expres- sions analytiques pour de nombreuses formes de particules : sphères [Van de Hulst,1957], sphères avec un revêtement [Morris and Jennings, 1977], cylindres finis et infinis [Cross and Latimer,1970;Stephens, 1984;Liu et al., 1998], disques [Bryant and Latimer, 1969], sphéroïdes [Evans and Fournier,1994], cubes [Napper,1967;Masłowska et al.,1994], ellip- soïdes [Bryant and Latimer, 1969; Streekstra et al., 1994], colonnes prismatiques [Chýlek and Klett, 1991b,a], colonnes hexagonales [Sun and Fu,1999],....

Modifications et améliorations. L’approximation de la diffraction anomale a fait l’objet de modifications et d’améliorations afin d’obtenir des résultats plus précis vis à vis des solutions de références (par exemple Lorenz-Mie pour une sphère). Pour ce faire, ACKERMAN et STEPHENS proposent de prendre en compte les effets de bord de la particule ainsi que les effets de réfractions [Ackerman and Stephens, 1987]. Le premier permet d’améliorer l’évaluation de l’efficacité d’extinction dont la valeur asymptotique est atteinte trop rapidement avec l’approximation de la diffraction anomale classique. La seconde, qui tient compte des phénomènes de réfraction (négligés dans l’approximation classique), se traduit par une augmentation du chemin parcouru par un rayon au sein de la particule ce qui permet de mieux estimer l’efficacité d’absorption (les erreurs commises sont divisées par deux [Ackerman and Stephens, 1987]). ACKERMAN et STEPHENS constatent également que la prise en compte de ces effets de réfractions n’améliore pas significativement le résul- tat sur l’efficacité d’extinction excepté pour des particules avec de plus grands paramètres de taille et de plus grands contrastes d’indice. MITCHELLtient compte d’autres phénomènes physiques en plus de ceux précédemment traités en proposant une paramétrisation des réflexions et réfractions internes à la particule, de l’effet tunnel10 (non négligeable dans l’infrarouge) ainsi que des effets de bord [Mitchell,2000]. Pour ce dernier point, MITCHELL propose une autre expression que celle proposée par ACKERMANet STEPHENSqui surestime l’efficacité d’extinction pour des paramètres de tailles x . 15. En 2008, une interprétation statistique de l’approximation de la diffraction anomale est fournie par XUet al. [Xu and

Katz, 2008]. Ceci permet d’obtenir les propriétés radiatives de n’importe quelle particule à partir d’une description statistique des longueurs de traversées au sein de la particule en tenant compte de des formes, des orientations et des tailles des particules.

10. Phénomène physique par lequel un photon, qui passe à proximité de la particule sans la traverser, peut être absorbé par la particule. Ceci permet d’expliquer les écarts observés entre l’approche de Lorenz- Mie et l’approximation de la diffraction anomale classique lors de l’étude d’une particule sphérique soumise à un rayonnement infrarouge.

Dans le document Résolution par la méthode de Monte Carlo de formulations intégrales du problème de diffusion électromagnétique par une suspension de particules à géométries complexes (Page 62-66)