CHAPITRE 4 THÉORIE DES MÉTHODES MPS, SGS ET GDM
4.5 Méthode de déformation graduelle
La déformation graduelle est une méthode alternative ou complémentaire à celle des points pilotes. La GDM permet de perturber de manière continue des réalisations géostatistiques. L'idée principale est qu'une nouvelle réalisation d'une fonction aléatoire gaussienne peut être obtenue par la combinaison linéaire de deux fonctions aléatoires gaussiennes indépendantes tout en conservant leur variabilité spatiale. La théorie de la GDM présentée ici est tirée de Hu (2000) et Pourpak (2008).
4.5.1 Formulation de base de la GDM
Soit Z(t), (t ϵ D), une réalisation d'une fonction aléatoire Z, multi-gaussienne d'ordre 2 définie sur un domaine (D). Z(t) peut être générée par combinaison linéaire de deux fonctions aléatoires gaussiennes indépendantes Z0 et Z1 ayant la même covariance (Eq. 4.4).
𝑍 𝑡 = 𝑍0𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑍1𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑡 ∈ −𝜋, 𝜋 (4.4) Quelle que soit la valeur du coefficient 𝑡 de déformation graduelle, Z(t) est une fonction aléatoire de même moyenne et partageant la covariance de Z0 et Z1. En faisant varier t dans l'équation 4.4, on arrive à créer une chaine de réalisations qui se déploie entre les deux pôles formés de Z0 et Z1 (Fig. 4.3).
Figure 4.3: Chaine de réalisations obtenue par combinaison de Z0 et Z1 pour différentes valeurs de t, et illustrant la formulation de base de la méthode de déformation graduelle. Pour la valeur de t = 0 ou t =π/2,Z(t) est égale respectivement à Z0 ou Z1.
Pour les valeurs de t = 0 ou t =π/2,Z(t) est égale respectivement à Z0 ou Z1. Dans cet exemple, les réalisations Z0 et Z1 ont été générées à l'aide du logiciel S-GeMS (Remy, 2005) en utilisant un variogramme exponentiel isotrope de portée 5500 m et de seuil 1.
Lorsque la chaine de réalisation est intégrée dans un processus d'optimisation (Fig. 4.4), l'objectif est de trouver le paramètre optimal t qui permet de calibrer la réponse Z(topt) aux observations mais il peut arriver que le modèle optimal Z(topt) puisse ne pas réduire la fonction-objectif de manière suffisante. Dans ce cas, une nouvelle chaine de réalisation est initialisée avec Z0 = Z(topt) comme modèle de départ et une autre réalisation complémentaire Z2 et ainsi de suite jusqu'à la réduction de la fonction-objectif à un seuil satisfaisant. À l'itération n, l'équation 4.4 devient :
𝑍𝑛 𝑡 = 𝑍𝑛−1𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑍𝑛𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑡 ∈ −𝜋, 𝜋 (4.5) Zn−1 : Réalisation optimale à l'itération n−1.
Figure 4.4: Schématisation de la méthode de déformation graduelle de base intégrée dans un processus d'optimisation. À chaque itération n, on cherche le paramètre de déformation topt(n) qui donne le modèle optimal Zopt(n) dont la réponse ajuste au mieux les données observées. À l’itérationn+1, Zopt(n) est combinée avec une réalisation complémentaire Z etainsisuite,jusqu’à l’obtention du modèle optimal final Zopt(final).
𝑍𝑛 𝑡 = 𝑍𝑛−1𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑍𝑛𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑡 ∈ −𝜋, 𝜋 (4.5) La GDM telle que formulée précédemment (Eq. 4.5) détériore la variabilité spatiale des réalisations lorsque celle-ci est appliquée directement sur des réalisations conditionnelles. Il est alors plus judicieux de perturber des réalisations non-conditionnelles (SGS) ou sur les bruits blancs gaussiens (simulation FFTMA), ou encore utiliser la méthode de déformation graduelle multidimensionnelle. Dans le cas de l'utilisation des méthodes de simulations FFTMA, une étape de post-conditionnement par krigeage est utilisée pour honorer les données de conditionnement des réalisations (Eq. 4.6).
𝑍𝑐 𝑡 = 𝑍∗+ 𝑍
𝑛𝑐 𝑡 − 𝑍𝑛𝑐∗ 𝑡 4.6 Znc(t) : Simulation non-conditionnelle.
Z*: Krigeage des données conditionnantes.
𝑍𝑛𝑐∗ 𝑡 : Krigeage avec des données issues de la simulation non-conditionnelle Znc(t).
4.5.2 Formulation multidimensionnelle de la GDM
La GDM telle que formulée précédemment peut être généralisée à la combinaison de n+1 réalisations indépendantes (Eq. 4.7) sous contrainte de normalité afin de préserver la variance des modèles.
𝑍 𝛼1, 𝛼2, … . , 𝛼𝑛 = 𝑛 𝛼𝑖𝑍𝑖
𝑖=0 4.7 Avec les contraintes 𝑛𝑖=0𝛼𝑖2 =1: et 𝑛𝑖=0𝛼𝑖 = 1 permettant respectivement de préserver la covariance des réalisations et de reproduire les données de conditionnement.
Lorsque les poids 𝛼𝑖 sont exprimés en fonction de t, on obtient l'équation 4.8.
𝛼0 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡𝑖 𝑛 𝑖=1 𝛼𝑖 = 𝑠𝑖𝑛 𝑡𝑖 𝑐𝑜𝑠 𝑡𝑗 𝑖 = 1, 𝑛 − 1 (4.8) 𝑛 𝑗 =𝑖+1 𝛼𝑚 = 𝑠𝑖𝑛 𝑡𝑚
Ying et Gomez-Hernandez (2000) ont montré que la GDM multidimensionnelle peut être appliquée directement sur des réalisations conditionnées aux observations. Dès lors, l'étape de post-conditionnement par krigeage n'est plus nécessaire. Dans le cas conditionnel, les contraintes
𝛼𝑖2 = 𝑛
𝑖=0 1 et 𝑛𝑖=0𝛼𝑖 = 1 obligent à combiner au moins trois réalisations simultanément. Les pondérations proposées par Hu (2002) pour la combinaison de trois réalisations sont données dans l'équation 4.9. Selon Suzuki (2004), repris par Caers (2007), ces pondérations sont aussi valables pour combiner des modèles non gaussiens. Selon Marcotte (communication personnelle, 07-01-2018), on va reproduire la covariance et la moyenne avec les contraintes imposées mais pas l'histogramme car on devrait converger vers une loi normale au moins au début de la GDM i.e. lorsque les poids des différentes réalisations ne sont pas trop faibles. Il faut donc inclure dans
la fonction-objectif un terme de contrôle pour reproduire l'histogramme à la fin du processus de déformation graduelle. 𝛼0 = 1 3+ 2 3𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝛼1 =1 3+ 2 3𝑠𝑖𝑛 − 𝜋 6+ 𝑡 𝛼2 =1 3+ 2 3𝑠𝑖𝑛 − 𝜋 6− 𝑡 𝑡 ∈ −𝜋, 𝜋 (4.9)
Lorsque t = 0, 23𝜋 ou −23𝜋, Z(t) est égale respectivement à Z0, Z1 ou Z2.
La déformation graduelle globale telle que formulée précédemment (Eq. 4.9) peut ne pas ajuster toutes les observations. L'ajustement d'une partie des données à un endroit du domaine peut en détériorer d'autres si les données sont éparpillées. Cette limitation peut être surmontée en utilisant la déformation graduelle locale (Hu, 2000) qui consiste à partitionner la zone d'étude en m zones, dont chacune sera ajustée aux observations qui s'y trouvent en utilisant un paramètre de déformation qui lui est propre. On est de ce fait, dans un processus d'optimisation à m dimensions.
Pour les réalisations obtenues par SGS, le découpage en m zones risque de créer des discontinuités aux frontières des zones et les covariances entre points situés dans des zones différentes n'auront pas la bonne covariance théorique. Une exception, c'est si on déforme un bruit blanc car il n'y a plus de covariance. Cela est possible en particulier pour la simulation FFTMA suivi du post-conditionnement par krigeage. Dans la pratique, on déforme le bruit blanc du FFTMA par zone dans un premier temps. Ensuite, on convolue pour obtenir une réalisation Z. Finalement, les réponses de Z sont comparées aux observations par le biais de la fonction- objectif.
La formulation de la GDM suivant les poids donnés dans l'équation 4.9 est celle que nous avons retenue dans cette thèse car les réalisations géoélectriques obtenues par SGS en utilisant le logiciel gocad sont déjà conditionnées aux résultats des inversions VTEM-plus. En plus, la combinaison de trois réalisations est la technique la plus utilisée dans la littérature. Cependant, Rezaee et Marcotte (2018) estiment que la combinaison de quatre réalisations est moins limitative et permet d'obtenir un meilleur ajustement des données observées.