11.2 Construction des ensembles E-incohérents
11.2.2 Méthode basée sur la revision de croyances
La méthode précédente détermine les ensembles d’incohérence en comparant des vecteurs de satisfaction à des vecteurs modèles pour les ensembles de prédicats et de formules. La notion de vecteur modèle est fournie par la capacité de donner des états dans lesquels devraient se trouver les objets afin d’être cohérents. Cependant, l’ensemble de ces états peut lui aussi être représenté par des ensembles de prédicats et de formules théoriques provenant de la connaissance des experts. Déterminer les ensembles d’incohérence pour ensemble d’objetO se
ramène alors à détecter les prédicats incohérents entre un ensemble de prédicats et de formules théoriques et une ensemble de prédicats et de formules construits à partir de l’ensemble des objets mesurés.
L’incohérence peut alors être détectée par une révision des observations par les croyances théoriques. Si les croyances issues de l’observation sont cohérentes avec les croyances théoriques, alors la révision ne déter-mine aucune incohérence. Dans le cas contraire, l’utilisation des R-Ensembles [66] permet de déterdéter-miner les ensembles de formules responsables de l’incohérence.
Cohérence d’un ensemble d’objets mesurés.
SoitO = {o1, . . . , on} un ensemble d’objets dont chaque élément oi est caractérisé par l’entitéE = {C, Vd, CI, R, CE}. Comme présenté en 11.1.2, les contraintes sur les attributs sont représentées par des
prédicats notéspI
k et composent l’ensemblePCI. Les relations sont représentées par des prédicats binaires, notéspE
h, composant l’ensemblePR. Les contraintes sur les relations sont des formules, notées fE
l , composant l’ensemblePCE. Les ensemblesPCI(O), PR(O) et PCE(O) dénotent les ensembles de prédicats ou formules
instanciés sur le domaine représenté par l’ensemble O. D’après la définition 93, un ensemble d’objets est
cohérent si et seulement si :
– ∀ o ∈ O, o est cohérent intrinsèquement par rapport à E ;
– O est cohérent extrinsèquement par rapport à E.
Nous ajoutons à cet ensemble la vision théorique des experts. Pour cela, nous définissons deux nouveaux ensembles de contraintes intrinsèques et extrinsèques, les ensembles de contraintes théoriques. L’ensemble des contraintes théoriques intrinsèques est l’instanciation des prédicats dePCI sur O en imposant que tous les
prédicats instanciés soient satisfaits. Plus formellement :
∀pIk ∈ PCI, ∀oi∈ O, pIk(oi) ∈ PCIT(O)
De même, nous définissons l’ensemble des contraintes théoriques extrinsèques par :
∀flE∈ PCE, ∀(oi, oj) ∈ O × O, flE(oi, oj) ∈ PCET(O)
L’ensembleCT(O) = PCIT(O) ∪ PCET(O) un modèle exprimant la cohérence de l’ensemble O. Cet ensemble
est la représentation logique d’une partie de la connaissance experte. Il est nécessaire pour la suite du travail queCT(O) soit logiquement cohérent. Nous considérons donc pour la suite de cette section que CT(O) est
cohérent. Une fois l’ensembleCT(O) créé, nous construisons les ensembles PCI(O) et PCI(O) comme indiqué
Fusions de connaissances: Applications aux relevés
photogrammétriques de fouilles archéologiques sous-marines
11.2 Construction des ensemblesE-incohérents
en 11.1.2. Ces deux ensembles représentent les croyances intrinsèques et extrinsèques issues de l’observation. L’union de ces deux ensembles est l’ensembleCO, défini par :
CO(O) = PCI(O) ∪ PCE(O)
Un ensembleO est alors cohérent si et seulement si l’ensemble des croyances issues de l’observation est
cohérent avec l’ensemble des connaissances expertes. D’où la définition suivante :
Définition 96 SoitO un ensemble d’objets, soit CT(O) l’ensemble des formules représentant une vision
théo-rique deO et soit CO(O) l’ensemble formules représentant les contraintes observées sur O. L’ensemble O est
cohérent si et seulement si :
CT(O) ∪ CO(O) est cohérent.
Si l’ensembleO est incohérent, le théorème de compacité souligne qu’il existe au moins un sous ensemble O′
deO qui est tel que CT(O′) ∪ CO(O′) soit incohérent. L’exemple 29 illustre cette définition.
Exemple 29 Reprenons l’exemple 27. L’instanciation théorique des contraintes de l’ensemble des prédicats
unairePCI surO produit l’ensemble :
PCIT(O) = {pIh(o1), pIh(o2), pIh(o3)}
L’instanciation théorique des formules dePCEsurO donne l’ensemble
PCTE(O) = { fnE(o1, o2), fnE(o2, o3), fnE(o1, o3), flE(o1, o2), flE(o2, o3), flE(o1, o3) }
L’instanciation par l’observation dePCI surO donne :
PCI(O) = {¬pIh(o1), phI(o2), pIh(o3)} De même que : PCE(O) = { fE n(o1, o2), ¬fE n(o2, o3), fE n(o1, o3), ¬fE l (o1, o2), fE l (o2, o3), fE l (o1, o3) }
A partir deCT(O) = PCIT(O) ∪ PCET(O) et CO(O) = PCI(O) ∪ PCE(O) nous déduisons que l’ensemble CT(O) ∪ CO(O) est incohérent. En effet, il contient les formules contradictoires pI
h(o1) et ¬pI
h(o1) mais
égalementfnE(o2, o3) et ¬fnE(o2, o3) ainsi que flE(o1, o2) et ¬flE(o1, o2). Cette incohérence signifie que
l’ensembleO est incohérent.
.
R-Ensembles
La révision par R-ensembles [65, 85] traite de la révision d’un ensemble de formules propositionnelles par un autre ensemble de formules propositionnelles, les formules étant sous forme normale conjonctive. Cette approche de la révision consiste à déterminer les ensembles minimaux de clauses à retirer pour restaurer la cohérence.
Nous rappelons maintenant les définitions formelles sur les R-Ensembles que nous présentons dans le cadre de la logique des prédicats instanciée. SoitK et A deux ensembles de clauses prédicatives instanciées tels que
l’union des deux ensembles est incohérente. Un R-Ensemble potentiel deK ∪ A est un ensemble de clauses
prédicatives qui une fois retirées deK rétablit la cohérence. Plus formellement :
Définition 97 SoitK et A deux ensembles de clauses prédicatives instanciées. L’ensemble X ⊆ A est un
R-Ensemble potentiel deK ∪ A si et seulement si :
CHAPITRE 11. FUSION D’OBJETS CARACTÉRISÉS PAR DES ENTITÉS
Un R-Ensemble potentiel pour un ensembleK ∪ A n’est pas unique. On note alors F l’ensemble des
R-ensembles potentiels. Un R-Ensemble est un R-Ensemble potentiel minimal suivant un critèrep particulier. Ce
critère peut être représenté par un pré-ordre total sur les R-Ensembles potentiels. Nous considérons ici le critère de cardinalité, c’est à dire qu’un R-ensemble est un R-ensemble potentiel de plus petite cardinalité, cela se traduit par un choix du plus petit nombre de conflits à régler. Un R-ensemble est alors défini par :
Définition 98 SoitK et A deux ensembles de clauses prédicatives instanciées et soit F l’ensemble des
R-Ensembles potentiels. L’ensembleX ⊆ K est un R-Ensemble de K ∪ A si et seulement si :
– X est un R-Ensemble potentiel ;
– ∀X′∈ F , si (K \ X′) ∪ A est cohérent alors |X| ≤ |X′|5.
Nous proposons une utilisation des R-Ensembles pour la détermination desE-incohérences. En effet, d’après
la définition 98, si l’ensemble de départ est incohérent, les R-ensembles fournissent des ensembles croyances induisant l’incohérence. L’exemple 30 illustre l’utilisation de R-Ensembles. Lors de la confrontation de l’ins-tanciation théorique et de l’insl’ins-tanciation issue de l’observation nous déterminons les R-Ensembles deCO(O)
pour rendreCT(O) ∪ CO(O) cohérent. Ces R-Ensembles permettent de construire les ensembles d’incohérence ΘI etΘE. L’exemple suivant illustre le calcul des R-Ensembles dans notre cas.
Exemple 30 Continuons l’exemple 29. L’ensembleCT(O) ∪ CO(O) est incohérent. En prenant comme critère
de sélection la cardinalité des ensembles, Le calcul des R-Ensembles construit un seul R-Ensemble :
XCO = { ¬pIh(o1), ¬fnE(o2, o3), ¬flE(o1, o2) }
Le résultat aurait été identique en utilisant comme critère de sélection l’inclusion ensembliste.
Détection d’incohérences
Les R-ensembles permettent de pointer les clauses responsables de l’incohérence et sont très adaptés à la construction des ensembles d’incohérenceΘI etΘEdéfinis respectivement en 94, page 148. A partir des clauses prédicatives contenues dans les R-Ensembles, nous pouvons retrouver les objets en conflits ainsi que les contraintes violées. Chaque R-Ensemble permet de créer un couple d’ensemblesΘI etΘE. En effet, si un prédicat instanciépI
k(oi) est présent dans un R-Ensemble XCO, alors le couple(oi, cI
k) est ajouté à ΘI. Si une clausefE
l (oi, oj) est présente dans XCO, alors le couple((oi, oj), fE
l ) est ajouté à ΘE. Plus formellement, l’ensemble d’incohérence intrinsèque est défini par :
Définition 99 SoitCIl’ensemble des contraintes sur les attributs représenté parPCI. SoitXCOun R-Ensemble, l’ensembleΘI des incohérences intrinsèques est défini tel que :
∀ pIk(oi) ∈ XCO, (oi, cIk) ∈ ΘI
De même, la construction de l’ensemble d’incohérences extrinsèques. est défini par :
Définition 100 Soit CE l’ensemble des contraintes sur les relations représenté par PCE. SoitXCO un R-Ensemble d’observation, l’ensembleΘEdes incohérences extrinsèques est défini tel que :
∀ fE
l (oi, oj) ∈ XCO, ((oi, oj)), cE
l ) ∈ ΘE
L’exemple 31 illustre la construction des ensembles d’incohérence grâce aux R-Ensembles. Exemple 31 Suite à l’exemple 30, le seul R-Ensemble est :
XCO = { ¬cIh(o1), ¬fnE(o2, o3), ¬flE(o1, o2) }
Les définition des ensembles d’incohérence permettent de construire :
ΘI = {(o1, cI h)} De même que : ΘE = {((o2, o3), cE n), ((o1, o2), cE l )}
Nous étudions maintenant la méthode automatique de détermination de l’incohérence. 5|X| représente la cardinalité de X
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