Méthode des éléments finis (MEF)

La méthode des éléments finis est une méthode numérique utilisée dans beaucoup

de domaines d’ingénierie comme l’aéronautique, la mécanique des fluides, les

génies civil, pétrolier et minier ou la géomécanique, etc.

De nombreuses études ont été réalisées sur le comportement de roches et de

fissures en se basant sur des calculs avec la méthode des éléments finis (Goodman

et al. (1968), Ghaboussi et al. (1973), Zienkiewicz et al. (1970), Buczkowski et

Kleiber (1997), Wan (1990), Belytschko et Black (1999) et Belytschko et al. (2001)).

Cette méthode a acquis sa popularité grâce à sa flexibilité dans la prise en compte

de l’hétérogénéité et l’anisotropie du milieu, des conditions aux limites et

sollicitations complexes, ainsi que du comportement non linéaire des roches.

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Afin de résoudre les problèmes de mécanique avec la méthode des éléments finis,

on définit le domaine de discrétisation, l’approximation locale de solution, les

matrices élémentaires et leur assemblage, et la résolution du système global dont

les inconnues sont les forces et les déplacements aux nœuds.

La discrétisation du domaine est réalisée par le biais d’éléments triangulaires ou

quadrilatères en 2D et des tétraèdres ou polyèdres en 3D.

La modélisation du problème de fissuration à l’aide de la méthode des éléments

finis est effectuée localement. En effet, on établit le système de résolution au

niveau de la fissure préexistante. Cette technique a été initiée par Goodman et al.

(1968) qui a introduit un élément appelé l’élément joint. L’équation établie pour

l’élément joint est intégrée dans l’équation de milieu. L’équation de joint est

écrite à l’aide de l’écriture matricielle suivante :

-³ ³ = ¤³ ₍₁₃₎

où -

³

_{est une matrice symétrique dont les composantes sont les raideurs normales}

et tangentielles du joint,

³

_{est le vecteur de déplacement nodal pour les nœuds}

de joint et ¤

³

_{représente les forces appliquées sur les nœuds de joint.}

Depuis, plusieurs auteurs ont progressivement mieux pris en compte la géométrie

et le comportement mécanique de ces éléments. La Figure 23 montre quelques

types d’éléments joints pour modéliser les fissures préexistantes avec la méthode

des éléments finis. Les relations constitutives entre les contraintes normales et de

cisaillement et les déplacements normaux et de cisaillement généralement

formulés dans un formalisme incrémental ou élastoplastique sont utilisées pour

évaluer la matrice de rigidité de l’élément « joint » et sera par la suite assemblé

dans le système global. Par exemple, Kleiber et Buczkowski (1997) proposent un

modèle constitutif anisotrope basé sur la théorie de la plasticité.

Figure 23 : Eléments joints en MEF (2D et 3D) ; (a) Goodman et al. (1968) ; (b) Ghaboussi et al. (1973) ; (c) : Zienkiewicz et al. (1970) ; (d) Buczkowski et Kleiber (1997). (Jing 2003).

Nous venons de présenter brièvement la prise en compte d’une fissure par la MEF.

Il se trouve que la simulation de la propagation des fissures pose quelques

problèmes dont le remaillage car la propagation des fissures nécessite de disposer

d’un maillage adaptatif, ce qui conduit à une multiplication du temps de calcul.

L’implémentation numérique et le chemin de propagation dépendent également du

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maillage. Dans les années 90, plusieurs chercheurs ont contribué au développement

théorique et numérique de mailleurs adaptatifs (Wan 1990, Belytschko et Black

1999, Belytschko et al. 2001).

Carin (2000) a développé une méthode numérique dans laquelle on peut modéliser

l’initiation et la propagation d’une fissure. Cette méthode appelée méthode de

déboutonnage rompt progressivement les nœuds qui se trouvent sur le trajet de la

fissure. Même si l’approche semble être intéressante, elle n’a pas été suivie dans

la littérature.

D’un point de vue énergétique, l’énergie dissipée par fissuration est calculée en

s’appuyant sur les résultats proposés par Hillerborg et al. (1976) qui ont suggéré un

processus de fissuration par l’approche de quantité d’énergie absorbée par unité

de fissure formée. D’après le bilan énergétique, si la quantité d’énergie libérée

durant le processus de fissuration est supérieure ou égale à ^

_D

, la fissure se

propage.

Pour les fissures en mode I, quand la contrainte à la pointe de la fissure atteint la

valeur de la résistance à la traction /

_X

, l’ouverture de la fissure se produit. La

contrainte à la pointe de la fissure diminue avec la croissance de l’ouverture de la

fissure. La contrainte normale à la direction de la fissure s’annule à partir d’une

certaine valeur d’ouverture maximale (Figure 6).

La Figure 24 illustre l’approche utilisée pour calculer l’énergie dissipée par

fissuration en mode I dans la MEF. Il faut souligner le fait que l’évolution de la

contrainte normale à la fissure ne varie pas linéairement à la rupture. L’énergie

dissipée par fissuration en mode I s’écrit :

^_BD = f (/(‹)^´

µ

¶ )i‹ (14)

Figure 24 : Modèle de fissuration cohésive pour Mode I ; = : la résistance à traction ; : ouverture de fissure ; : taux de restitution d’énergie Mode I (Lisjak et al. 2013).

L’approche proposée par Hillerborg et al. (1976) est également utilisé pour le cas

du le mode II (Figure 25). En effet, la contrainte de cisaillement augmente avec le

déplacement tangentiel jusqu’à atteindre la résistance au cisaillement, puis elle

diminue de Œ

_v

= •

_v

qui correspond à la résistance au cisaillement résiduel à Œ

₀

= •

₀

.

L’énergie dissipée par fissuration en mode II s’écrit :

^_BBD = f (Œ(p) −^v

µ

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Figure 25 : Modèle de fissuration par glissement pour Mode II ; = : la résistance de cisaillement ; =

: la résistance frictionnelle pure ; s : glissement de fissure (Lisjak et al. 2013).

Le principal inconvénient de MEF est que la fissure doit être décrite par le

maillage. De plus, la description de la propagation de fissure en MEF nécessite un

remaillage ce qui est coûteux en temps. Afin de surmonter la dépendance au

maillage, la méthode des éléments finis étendues (XFEM) a été développée. Dans la

section qui suit, cette méthode est décrite en détail.

Dans le document Modélisation explicite de l’initiation et la propagation de fractures (Page 47-50)