CHAPITRE 3. Simulation de la fissuration à l’échelle du laboratoire
2. Simulation de la propagation des fissures en mode I
2.3. Essai de flexion trois points
Afin de confirmer les résultats obtenus dans la précédente section, les simulations
de l’essai de flexion trois points ont été effectuées sur des échantillons numériques
avec différentes discrétisations allant de 5 k à 40 k (les rayons moyens sont égales
à 0,24 mm pour la discrétisation 5k, 0,19 mm pour 10k, 0,15 pour 20k et 0,12 pour
40k), en gardant, pour tous les cas, un rapport entre les rayons minimal et maximal
de particules égal à 0,5. Afin d'assurer les mêmes propriétés macroscopiques pour
chacun d'eux, le coefficient de zone d'interaction a été ajusté pour chaque
échantillon.
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Dans le cas de flexion, nous nous sommes limités à la discrétisation de 40k car les
valeurs des rayons moyennes des particules sont proches de celles utilisés dans les
travaux de Fakhimi et Tarokh (2014) qui portent l’étude de sensibilité de leur
modèle des éléments discrets à la discrétisation. Ils ont également simulé l’essai
de flexion trois points avec différentes discrétisations. Les valeurs des rayons
moyens des particules utilisés par Fakhimi et Tarokh (2014) sont égales à 0,3 mm,
0,6 mm et 1,2 mm.
La poutre est chargée par l’intermédiaire du piston supérieur avec une vitesse de
0,001 ms
-1. Cette vitesse a été choisie en fonction des résultats d'une analyse de
sensibilité pour garantir une réponse quasi statique de l’échantillon simulé. Pour ce
cas particulier, la ténacité en mode I est calculée selon la relation empirique
déterminée à partir des essais de laboratoire et proposée par Srawley 1976 :
A
BD=
˜™dš›œW >
4
√ž
@,¡¡b¢(@b¢)(4,@<b>,¡>¢j4,£¢(@j4¢)(@b¢)œ/W W)(53)
avec Ÿ la distance entre les supports, G
Dla force maximale appliquée à la poutre,
la hauteur de la poutre, ¤ l’épaisseur de la poutre, Â
Dla longueur caractéristique
de la fissure et ž =
td›.
Il faut souligner que la valeur de G
Da été déterminée pour chaque discrétisation à
partir des courbes de force-déplacement illustrées sur la Figure 68-a. Le Tableau 3
présente les rayons moyens de particules pour chaque discrétisation.
Tableau 3. Valeurs du rayon moyen des discrétisations utilisées pour l’essai de flexion trois points (k=1000).
Nombre de particules 5 k 10 k 20 k 40 k
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La Figure 68 présente l'évolution de la force et de l'énergie élastique durant les
simulations en fonction de la discrétisation. Comme le montre le Tableau 4, les
valeurs prédites de A
Bûsont, une fois de plus, en accord avec la valeur déterminée
expérimentalement par Lajtai et al. 1987, Homand et al. (1998).
(a) (b)
Figure 68. Effet de la discrétisation sur la réponse macroscopique de l’échantillon pour l’essai de flexion trois points (k=1000 particules) : (a) courbe de force-déplacement, (b) courbe de l’énergie élastique
accumulée-déplacement durant le chargement.
Ces résultats confirment d'une part que le comportement macroscopique prédit par
le modèle est indépendant de la discrétisation. On peut noter que, par rapport aux
résultats précédents de la simulation de la traction directe, la pente des courbes
force-déplacement diminuent lorsqu’on s’approche progressivement du pic.
Pour expliquer cette observation, il est nécessaire de comprendre l'interaction des
particules localement au voisinage de la pointe de fissure préexistante. La
configuration de test régit le chemin de propagation des fissures. On peut voir sur
la Figure 68-a que, dans l'étape de pré-pic, les courbes sont superposées, à
l'exception de la poutre constituée de 40 k particules. En effet, la densité de
contact au voisinage de la pointe de l’entaille est plus importante par rapport aux
autres discrétisations. Ceci entraîne une rigidité plus élevée de l'assemblage des
particules au début de la simulation, mais aussi une rupture plus rapide de
quelques contacts que dans les autres cas en raison d'un plus grand nombre de
contacts proches de la pointe d'entaille (surface libre). La force maximale,
c’est-à-dire la résistance de la poutre, est similaire pour les différentes discrétisations.
Il a été constaté que l’évolution des courbes contrainte-déformation axiale et de
force-déplacement dans la phase pré-pic est différente entre les deux essais. Cette
différence est due à la différence de configurations des essais. Pour l’essai de
traction direct, l’échantillon subit un champ de contrainte de traction pure. De
plus, la propagation de fissure commence au pic. Ceci permet d’avoir une pente
constante jusqu’au pic. Pour l’essai de flexion trois points, la poutre subit, à la
fois, la traction dans la partie inférieure et la compression dans la partie
supérieure. La propagation de fissure commence légèrement avant le pic
c’est-à-dire au début de la diminution de la pente. Ainsi la configuration de l’essai
influence l’évolution des courbes de contrainte-déformation et de
force-0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 0,01 0,02 0,03 0,04
Force (N)Déplacement (mm)
5k
10k
20k
40k
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0 0,01 0,02 0,03 0,04
Eel(J)Déplacement (mm)
5k
10k
20k
40k
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déplacement. Enfin, dans la phase post-pic, la chute de la force semble dépendre
de la discrétisation. Cela s'explique par la propagation de fissures qui est différente
pour chaque échantillon. Le résultat de cela est que plus la taille de particule est
petite, moins le comportement macroscopique devient fragile. En fait, les ruptures
se font par palier. On peut noter cependant que la résistance résiduelle est la
même dans tous les cas de discrétisation.
En termes d'énergie élastique, l'évolution dépend de la discrétisation comme le
montre la Figure 68-b. Contrairement à l’essai de traction directe, une partie du
milieu est soumise à une compression (la partie au-dessus de la fissure). Cette zone
stocke de l'énergie selon l’interaction entre les particules. En fait, par la nature de
l’essai de flexion trois points, la zone dans laquelle les particules interagissent est
limitée et se trouve au voisinage de la pointe de l'entaille. Vu que la densité de
contacts est plus importante pour la discrétisation de 40 k particules, la fracture
macroscopique résultante est plus plane, ce qui entraîne une accumulation
d'énergie élastique moindre.
Tableau 4. Valeurs de ténacité en mode I obtenues dans les simulations de l’essai de flexion trois points en fonction de discrétisation.
Nombre de
particules 5 k 10 k 20 k 40 k
A
BD(FGH √I) 0,86 0,85 0,79 0,81
Dans le document
Modélisation explicite de l’initiation et la propagation de fractures
(Page 100-103)