La mécanique configurationnelle

maximisant PSfrag replacements E1 E2 σθθ Eθ Er M

Figure 5.1 – Maillage rayonnant autour de la pointe de fissure et direction maximisant σθθ.

5.2

La mécanique configurationnelle

Remarque : La théorie de la mécanique configurationnelle ne sera pas développée en profondeur dans ce chapitre. En effet, nous nous placerons dans cette étude en tant qu’utilisateurs. Les domaines d’application de cette théorie sont extrêmement vastes et s’étendent de l’étude des singularités, à celle des défauts ou des réarrangements structurels de la matière. Elle est utilisée non seulement en fissuration, mais aussi pour la modélisation des changements de phase et des problèmes d’ondes de choc. Nous nous contenterons donc ici de développer les résultats utiles en lien avec la mécanique de la rupture.

Introduction

Le concept de force configurationnelle agissant sur un défaut a été introduit parEshelby(1951) et étendu au cadre des grandes transformations par Eshelby (1975) et Chadwick(1975). Cette force configurationnelle est définie comme l’opposé de la variation de l’énergie totale du solide contenant un défaut par rapport à la variation de position de ce dernier dans la configuration de référence. En utilisant les notations de la figure5.2,

Défaut

φ

Figure 5.2 – Mouvement infinitésimal dX d’un défaut dans la configuration de référence. représentant la variation de position d’un défaut dans la configuration de référence d’un vecteur infinitésimal

dX, la force configurationnelle appliquée sur le défaut s’écrit :

Fs= −∂Π Tot_(Ω)

où ΠTotreprésente l’énergie totale du système, et X la position du défaut dans la configuration de référence. Cette force pointe dans la direction opposée à celle faisant diminuer l’énergie totale du système. Le tenseur des contraintes associé aux forces configurationnelles est appelé tenseur des contraintes d’Eshelby (ou tenseur de

moment matériel ). Les recherches dans ce domaine ont récemment été accélérées par les travaux deStumpf

et Le (1990), Maugin et al. (Epstein et Maugin, 1990b,a,c; Maugin, 1993, 1995), Steinmann et al. (Stein-

mann,2000;Steinmann et al.,2001;Denzer et al.,2003;Kuhl et al.,2004) etGurtin(1999). Un formalisme

variationnel a aussi été proposé pour le problème configurationnel (aussi appelé problème cinématique inverse)

(Maugin et Trimarco,1992).

Dans le problème cinématique direct (mécanique Newtonienne), les forces physiques sont conjuguées thermo- dynamiquement avec le mouvement physique des particules (leur position dans la configuration courante). Au contraire, dans le problème cinématique inverse (mécanique Eshelbienne), les forces configurationnelles sont conjuguées thermodynamiquement avec la cinématique inverse des particules (leur position dans la configu- ration de référence). Des forces configurationnelles apparaissent en présence de défauts ou d’inhomogénéités dans la structure (fissures, inclusions matérielles, dislocations, cavités). Dans le cas d’une singularité (pointe de fissure), la force configurationnelle qui apparaît à la pointe est directement reliée au concept de taux de restitution d’énergie (Steinmann, 2000). Ces propriétés permettent aux forces configurationnelles d’être des grandeurs physiques adaptées au développement de critères de branchement de fissure.

L’évaluation numérique des forces configurationnelles a été étudié parMueller et al.(2002), Steinmann et al.

(Denzer et al.,2003;Steinmann et al.,2001) etGross et al.(2003) pour les éléments finis classiques. Tous ces

auteurs considèrent la formulation faible du problème configurationnel et utilisent les fonctions test éléments finis pour obtenir des forces configurationnelles nodales. Grâce à cette approche, le taux de restitution d’éner- gie ou les changements de géométrie des inhomogénéités sont obtenus à partir des forces configurationnelles nodales. De plus, dans le cas de corps homogènes, les forces configurationnelles sont parfois utilisées pour optimiser la topologie du maillage (Mueller et al.,2002).

Cependant, ces méthodes employées pour calculer les forces configurationnelles ne peuvent être utilisées telles quelles avec X-FEM, dans la mesure où le maillage ne suit pas les frontières des inhomogénéités. Aussi,Glaser

et Steinmann(2005) ont proposé d’introduire des forces configurationnelles additionnelles associées aux degrés

de liberté enrichis de l’approximation. Il est également possible de réutiliser les procédures fondées sur l’inté- grale de domaine (voir le chapitre3.6). Cette approche a été proposée récemment par Heintz (Heintz,2006) dans le contexte de la méthode Nitsche (voir le chapitre 2.4) et requiert cependant l’intégration de termes singuliers sur les lèvres de la fissure. Néanmoins, aucune étude n’a été proposée pour vérifier la convergence de cette grandeur.

L’objectif de ce chapitre est donc de mettre en place puis de comparer différentes approches permettant le calcul de forces configurationnelles. En particulier, nous nous intéresserons à la précision des résultats qui n’a pas encore été étudiée dans la littérature. Nous chercherons ensuite à mettre en évidence l’influence d’imprécisions lors du calcul des forces configurationnelles sur des simulations de propagation. Tout comme dans le cas de la gestion de l’incompressibilité (cf. chapitre précédent), nous considérerons tout d’abord le cas élastique linéaire, dans la mesure où des formes analytiques sont disponibles.

Équilibre Newtonien (physique)

Reprenons le problème de référence posé dans le chapitre 4.2, mais cette fois-ci le corps est fissuré (voir la figure 5.3). Les lèvres de la fissure sont notées ΓC1 et ΓC2. Le problème à résoudre est présenté dans les équations (4.1) auxquelles s’ajoute une condition de surface libre sur les lèvres de la fissure :

σ· N = 0 sur ΓC1∪ ΓC2 (5.8)

La formulation faible du problème est quant à elle donnée par l’équation (4.7). Ces relations sont les équations du problème que nous qualifierons de “direct” par la suite (problème Newtonien ou problème spatial).

5.2. La mécanique configurationnelle

(Ω)

Figure 5.3 – Le problème de référence.

Équilibre configurationnel (eshelbien)

La formulation forte du problème spatial (4.1) et (5.8) peut être réécrite en une formulation forte confi- gurationnelle en suivant les travaux deMaugin et Trimarco (1992) :

Div M + B = 0 dans Ω (5.9)

où Div est l’opérateur divergence par rapport aux coordonnées dans la configuration de référence, M est le tenseur configurationnel de contraintes (ou tenseur des contraintes d’Eshelby) qui s’écrit généralement, dans le cas de la mécanique linéaire de la rupture :

M = W (F , X) I − ∇(u)T σ (5.10)

et B sont les forces volumiques configurationnelles :

B = FT b + ∂W ∂X    _expl (5.11) Le second terme de l’équation (5.11) représente la dérivation explicite de W par rapport à la position X dans la configuration de référence (pour prendre en compte la présence d’inhomogénéités). Si le corps est homogène et sans forces volumiques physiques, le tenseur des contraintes d’Eshelby satisfait une loi de conservation stricte :

Div M = 0 dans Ω (5.12)

La formulation faible associée à ce problème configurationnel (5.9) est donnée par :

Z Ω δV B dΩ + Z ∂Ωt δV T∗_ddA = Z B ∇ 0δV : M dΩ ∀δV (5.13)

où T∗_d sont les forces surfaciques configurationnelles, ∇₀ représente l’opérateur gradient par rapport à la po- sition dans la configuration de référence et δV sont les déplacements matériels virtuels.

Les propriétés du tenseur d’Eshelby ont été récemment étudiées dans le cas de problèmes de thermo-hyperélasticité

(Kuhl et al.,2004), d’inélasticité (Nguyen et al.,2005), d’élasto-électromagnétisme (Maugin et al.,1992) et

d’endommagement isotrope (Liebe et al.,2003). Cependant, en examinant les équations (5.10-5.11) et (5.13), on constate que la résolution du problème d’équilibre configurationnel ne peut se faire indépendamment de la résolution du problème spatial car M dépend de W , u et σ. C’est pourquoi les applications pratiques des forces configurationnelles ont été proposées comme des opérations de post-traitement après résolution du problème spatial. Récemment, Larsson et Fagerstöm (Larsson et Fagerstr¨om, 2005; Fagerstr¨om et Larsson,

2005) ont néanmoins proposé une résolution couplée des problèmes configurationnels et spatiaux, en utilisant une approche de type partition de l’unité pour la discrétisation des équations matérielles.

Remarque 5.2 Interprétation de la formulation faible :

B Dans la formulation faible du problème spatial, les fonctions test δv représentent des variations infi-

B Dans la formulation faible du problème configurationnel, les fonctions test δV représentent des varia-

tions infinitésimales de la configuration de référence.

Rechercher la stationnarité de la formulation faible configurationnelle revient donc à déterminer les change- ments dans la configuration de référence permettant la minimisation de l’énergie totale du système.

Application à la mécanique de la rupture

Suivant l’approche de Steinmann (Steinmann,2000), considérons l’équilibre configurationnel d’un volume matériel B contenant la pointe de la fissure ΓC et défini sur la figure 5.4. Notons Fr et Fs les résultantes

Fissure (Ω) U(X) = Ud Td ΓC1 ΓC2 e1 e2 ∂B B Fr Fs Fv

Figure 5.4 – Équilibre configurationnel de B.

des forces configurationnelles appliquées respectivement sur ∂B (surface de B) et sur la pointe de la fissure. En introduisant Fv, la résultante des forces configurationnelles de volume dans B, l’équilibre configurationnel s’écrit :

Fs+ Fr+ Fv = 0 (5.14)

Après quelques manipulations (Steinmann,2000), l’équation précédente devient :

J = Fr· e₁ = −Fs· e₁ (5.15)

où J est l’intégrale J introduite dans le paragraphe3.6. Cette relation peut être utilisée pour évaluer le taux de restitution d’énergie en mécanique de la rupture. En outre, l’équation (5.14) a une autre propriété importante mise en évidence par l’équation (5.7) : la variation d’énergie totale dans la structure δΠT ot est maximale si la variation de position δX du défaut dans la configuration de référence est colinéaire à −Fs_{. A partir de} cette relation, Mueller et Maugin (2002) ont proposé d’utiliser la direction −Fs comme critère de direction de propagation. La fissure est propagée selon la relation :

Xc= Xc− k Fs (5.16)

où Xcest la position de la pointe de fissure dans la configuration de référence et k est un paramètre arbitraire qui devrait être identifié expérimentalement. Une approche similaire a été proposée parHeintz (2006) qui lui aussi propage la fissure dans cette direction, mais jusqu’à l’élément suivant. En effet, bien qu’utilisant une méthode de type Nitsche qui permet de définir la fissure indépendamment du maillage, celle-ci doit absolument se terminer sur la frontière d’un élément. Ici, la méthode X-FEM permet à la pointe de fissure d’être située arbitrairement par rapport au maillage.

Remarque 5.3 Ce type d’approche peut être appliqué au cas des inclusions et des trous pour caractériser

leur changement de topologie (Steinmann et al., 2001), au cas des défauts pour caractériser leur migration

(Mueller et al.,2002) ainsi qu’aux dislocations pour modéliser leur glissement (Menzel et al.,2005).