Introduction
Nous venons d’illustrer qu’en mécanique linéaire de la rupture, une mauvaise évaluation de la force confi- gurationnelle en pointe de fissure pouvait avoir une forte influence sur la simulation de la trajectoire de propagation. Il a également été montré qu’une augmentation du nombre de fonctions d’enrichissement limi- tait ce phénomène. Une approche permettant de rendre plus robuste le calcul de J a été proposée dans le cas linéaire. Malheureusement, celle-ci requiert l’évaluation du T-stress qui n’a plus de signification directe lors du passage en non linéaire. Nous utiliserons donc dans cette section la méthode présentée au paragraphe5.3. Par ailleurs, contrairement au cas linéaire où il est possible d’améliorer la qualité du champ de contrainte par l’utilisation de la base (2.72) en entier, nous ne disposons ici que d’un faible nombre de fonctions d’enrichis- sement. Il s’est donc avéré relativement fréquemment que la qualité de la solution éléments finis en pointe de fissure était insuffisante. Le fait que ce critère de branchement ne puisse être appliqué de façon fiable ne remet cependant pas en cause la robustesse de la méthode X-FEM en grandes transformations. C’est pourquoi nous présentons tout de même dans la suite quelques exemples qualitatifs illustrant les possibilités de la méthode dans ce cas de figure.
5.6. Le cas des grandes transformations
Propagations bidimensionnelles
Interaction fissure-inclusion (contraintes planes)
Le problème considéré est celui de la plaque contenant une inclusion matérielle, mais cette fois-ci en grandes transformations. Le matériau est ici néo-hookéen incompressible sous l’hypothèse des contraintes planes. Le module de cisaillement µ a pour valeur 0, 33333 Mpa pour la matrice, 0, 033333 Mpa pour l’inclusion souple et 3, 333 Mpa pour l’inclusion rigide. Un déplacement vertical de 2 mm est appliqué sur la face supérieure de la plaque (élongation finale de 171%), et nous nous intéressons à la propagation en fatigue de la fissure. L’approximation éléments finis est enrichie en pointe de fissure en utilisant les solutions asymptotiques présentées dans le paragraphe 3, dans un rayon de 0, 1 mm autour de la pointe. Enfin, le maillage utilisé pour le calcul est composé de 4614 éléments linéaires (voir la figure5.24(a)).
La configuration déformée pour deux pas de propagation est présentée sur les figures 5.24(b) et (c). Tout comme dans le cas linéaire l’inclusion rigide repousse la fissure et l’inclusion souple l’attire.
(a) (b) (c)
Figure 5.24 – Propagation de la fissure (contraintes planes, élongation = 171%) : (a) maillage utilisé ; (b) trajet de propagation dans le cas d’une inclusion rigide ; (c) trajet de propagation dans le cas d’une inclusion souple.
Propagations tridimensionnelles
Dans ce paragraphe, nous nous intéressons à la mise en oeuvre du critère de branchement dans le cas tridimensionnel non linéaire. Nous utilisons une version parallélisée du code de calcul xfem initiée dans la thèse de Mathieu Cloirec (Cloirec, 2005). La méthode de parallélisation est très simple dans la mesure où il s’agit d’une décomposition de domaine primale : la continuité du champ de déplacement est imposée “en dur” entre chaque sous-domaine. De plus, la bibliothèque scientifique PETSC (Balay et al.,2001) est utilisée pour la gestion des vecteurs et matrices parallèles, ainsi que les opérations de “scatter-gather”2 et les solveurs linéaires. Les routines de gestion des levelsets sont modifiées afin de permettre leur propagation en parallèle. Cette implémentation est encore limitée car même s’il est possible de simuler des problèmes de fissuration de géométrie quelconque, le code ne permet pas actuellement d’imposer une vitesse de propagation variable sur le front de la fissure. Ce paragraphe est donc restreint à des problèmes bidimensionnels extrudés selon la direction e3.
Interaction fissure-inclusion en 3D
Le problème, présenté sur la figure 5.25(a) est équivalent à celui présenté en 2D, mais extrudé selon e3. Les cas compressible et incompressible sont considérés. Dans le cas compressible, les paramètres matériaux 2. L’opération de scatter consiste à répartir les composantes du vecteur parallèle global vers les vecteurs séquentiels locaux à chaque sous-domaine. L’opération de gather consiste à faire l’inverse (des vecteurs locaux vers le vecteur parallèle)
sont choisis tels que λ = 5, 76 MPa et µ = 3, 84 MPa pour la matrice (dix fois plus ou dix fois moins pour l’inclusion). Dans le cas incompressible, le module de cisaillement est fixé à µ = 0, 4225 MPa pour la matrice (dix fois plus ou dix fois moins pour l’inclusion).
La propagation de la fissure est alors simulée : u fixé Matrix w=14 h=28 Inclusion r=4 0.15 crack e=3 (a) (b) (c)
Figure 5.25 – (a) Problème d’interaction fissure-inclusion en 3D ; (b) Maillage (non extrudé) utilisé pour le calcul compressible ; (c) Maillage utilisé pour le calcul incompressible.
B Dans le cas compressible : un déplacement vertical de 20 mm est appliqué en 20 pas sur la face supérieure du domaine. Le calcul est effectué en parallèle sur 16 sous-domaines, et le maillage de tétraèdres linéaires est présenté sur le figure5.25(b).
La trajectoire de la fissure est présentée sur la figure5.26, en haut pour l’inclusion rigide et en bas pour l’inclusion souple. Le comportement est identique au cas bidimensionnel, c’est-à-dire une attraction de la fissure par l’inclusion souple et une répulsion dans le cas d’une inclusion rigide.
B Dans le cas incompressible : un déplacement vertical de 5 mm est appliqué en 5 pas sur la face supérieure du domaine. Le calcul est effectué en séquentiel3 et le maillage de tétraèdres Mini est présenté sur la figure5.25(c).
La trajectoire de la fissure au cours de la propagation est présentée sur la figure 5.27 à gauche pour l’inclusion rigide et à droite pour l’inclusion souple. Les résultats montrent les mêmes tendances que dans le cas compressible.
3. Un problème informatique empêchant de lancer des calculs incompressibles en parallèle nous a conduit à effectuer ces calculs séquentiel, d’où la plus faible élongation permettant de limiter le temps de calcul.