calcul tenant compte du terme sur la fissure (les deux courbes sont confondues) ; B Le calcul de J2 par la seconde méthode n’améliore pas les résultats.
La perte de convergence est donc directement liée à la mauvaise convergence du T-stress. Cela provient du fait qu’une fois β calculé (et même s’il est précis), le T-stress est évalué à partir de J2B qui est entaché d’erreurs (erreurs en O(h))
B Le T-stress évalué par une intégrale d’interaction converge à un taux de O(h2) : la précision de cette méthode de calcul du T-stress est ainsi illustrée ;
B Enfin, J2 calculé à partir de la troisième méthode converge au taux optimal de O(h2) : grâce à cette approche, J1 et J2 convergent au même taux et avec des niveaux d’erreur très proches. Notons que dans le problème que nous avons traité, le calcul de J est précis même avec des maillages très grossiers. Nous venons de montrer que sur ce benchmark des taux de convergence optimaux pouvaient être obtenus pour les deux composantes de J, et cela sans intégrer le saut d’énergie sur la fissure. Il suffit pour cela de calculer le T-stress par l’intermédiaire d’une méthode d’intégrale d’interaction. Néanmoins, seul le cas où le T-stress est constant dans le domaine a été considéré ici. Une étude complémentaire serait nécessaire pour évaluer la pertinence de cette approche dans le cas général. Nous nous intéressons maintenant à l’influence des imprécisions du calcul de J sur la trajectoire d’une fissure.
5.5
Calculs de propagation
L’objectif de l’exemple suivant est d’illustrer les différences pouvant apparaître entre les trajectoires de propagation en fonction de la méthode utilisée pour calculer la force configurationnelle en pointe de fissure. En effet, il est inutile de comparer les résultats numériques de propagation avec des résultats expérimentaux si le critère de propagation ne peut être calculé précisément.
Interaction fissure-inclusion
Considérons le problème proposé par Bouchard et al. (2003) : une fissure se propage dans une plaque contenant une inclusion circulaire dont les dimensions et les propriétés des matériaux sont présentées sur la figure 5.18. Dans le cas où Ei< Em, l’inclusion est dite souple. Au contraire, lorsque Ei > Em, elle est dite
u fixé w=14 h=28 Inclusion r=4 0.15 fissure Matrice :Em= 1.0, νm= 0.3 Ei= 10, νi= 0.3 (rigide) Ei= 0.1, νi= 0.3 (souple) Inclusion :
Figure 5.18 – Géométrie du problème d’interaction fissure-inclusion
rigide. L’objectif est de mettre en évidence les interactions entre les propriétés de l’inclusion et le trajet de
propagation de la fissure. DansBouchard et al.(2003), les auteurs ont simulé cette propagation en appliquant un critère de propagation fondé sur la maximisation du taux de restitution d’énergie. Le maillage utilisé ici pour la simulation est non-structuré et comporte 6300 degrés de liberté. L’approximation éléments finis est
enrichie géométriquement en pointe de rayon 0, 2 et le domaine de calcul du vecteur J est de rayon 0, 2. La force configurationnelle en pointe de fissure est tout d’abord calculée par intégrale de domaine et intégration du terme J2Bsur les lèvres de la fissure. Les trajectoires de la fissure, qui sont similaires à celles obtenues dans
(Bouchard et al.,2003) sont présentées sur la figure5.19(a) dans le cas de l’inclusion souple et 5.19(b) dans
le cas de l’inclusion rigide. Nous observons que la fissure est “attirée” par l’inclusion souple et “repoussée” par l’inclusion rigide.
Bouchard et al. X−FEM Bouchard et al. X−FEM
(a) Inclusion souple (b) Inclusion rigide
Figure 5.19 – Problème d’interaction fissure-inclusion : comparaison qualitative avec les résultats de
Bouchard et al.(2003). Le maillage est globalement plus fin dans le cas X-FEM, mais il n’est pas raffiné
en pointe de fissure.
Considérons maintenant le même problème, mais en évaluant J de trois manières différentes : 1. A partir d’une intégrale de domaine et en tenant compte de JB
2 ;
2. A partir de la troisième méthode proposée ci-dessus (soustraction du T-stress calculé par une intégrale d’interaction) ;
3. En calculant KI et KII par intégrales d’interaction, puis en évaluant J1(KI, KII) et J2(KI, KII). Seul le cas de l’inclusion souple est considéré et les trajectoires de la fissure sont comparées sur la figure5.20. Nous observons ici des résultats identiques quelle que soit la méthode utilisée pour le calcul de J.
Zoom
5.5. Calculs de propagation
Néanmoins, il est possible d’observer dans certains cas de figure un manque de robustesse lors du calcul du terme J2B : considérons pour cela le maillage présenté sur la figure 5.21(a). Le vecteur J est évalué par la méthode initiale (calcul du terme J2B) et par la méthode 3 (T-stress). Dans la zone grisée représentée sur la figure 5.21(b), il apparaît en début de propagation une différence de trajectoire entre les deux approches (visible par la différence entre les tangentes aux deux courbes). Cette différence provient d’un manque de précision lors du calcul de JB
2 et reste visible jusqu’à la fin de la propagation. En fait, il apparaît que ce
(a) (b)
Figure 5.21 – (a) Maillage utilisé pour la comparaison des deux méthodes d’évaluation de J ; (b) Tra- jectoire obtenues.
manque de robustesse est effectivement lié à la qualité de la solution en pointe de fissure. En effet, si le champ de déplacement en pointe est enrichi seulement avec le premier terme du développement asymptotique du déplacement (√r sin(θ/2)), alors la trajectoire de propagation devient aberrante, comme illustré sur la
figure 5.22. Dans ce cas, la qualité du champ de contrainte est mauvaise, car le champ de déplacement
Figure 5.22 – Trajectoire de la fissure obtenue en changeant le maillage pour deux méthodes de calcul de J (un seul terme d’enrichissement en pointe).
est moins enrichi. La trajectoire obtenue par la méthode 3 (en soustrayant le T-stress) est identique au cas précédent, alors que la trajectoire obtenue en intégrant sur la surface de la fissure est totalement erronée.
Ainsi, en mécanique linéaire de la rupture, la méthode la plus robuste pour calculer le vecteur J en pointe consiste à évaluer le T-stress par une intégrale d’interaction, puis de calculer J par une intégrale de domaine.
Fissure en pièce de monnaie
Dans ce dernier exemple, nous appliquons le critère de propagation au cas tridimensionnel par la méthode d’intégrale de domaine présentée au paragraphe 5.3. Considérons l’exemple présenté sur la figure 5.23(a). Celui-ci représente une fissure en forme de pièce de monnaie inclinée à 45˚ dans un cube en traction. La pointe de fissure est enrichie géométriquement par les quatre fonctions de la base (2.72) dans un rayon de 0, 1 autour du front, le rayon du domaine de calcul de J est 0, 1, et le maillage utilisé contient 69500 tétraèdres linéaires non-structurés. Notons que la méthode du T-stress n’a pas été utilisée dans cet exemple car son extension au cas tridimensionnel est délicate.
Remarque 5.10 Dans cet exemple, une procédure d’intégration singulière est utilisée pour le calcul du terme
J2B. -0.5 -0.5 -0.5 -0.25 -0.25 0 0 -0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0 0.25 0.5 Z Y X lstcrack_surface-4 2 0 -2 (a) (b)
Figure 5.23 – (a) Fissure en pièce de monnaie inclinée ; (b) Trajectoire de la fissure.
Les résultats présentés sur la figure 5.23(b) sont cohérents avec ceux obtenus par B´echet et al. (2005) : la fissure se propage d’abord en direction des faces du cube. Ensuite, le front de fissure se transforme en quatre fronts indépendants aux quatre coins du cube jusqu’à le couper en deux.