Lutte contre le démon

No esquema original de Beajn e Warming, as derivadas espaciais presentes no lado direito da Eq. (6.20) sâo discretizadas por diferenças centrais de segunda ordem. Sabe-se que o esquema de derivadas centrais, mesmo quando aplicado a problemas lineares com coeficientes constantes, não provê mecanismos para dissipação dos erros ou Imprecisões existentes nos caunpos durante o processo de solução [64]. Para controlar as instabilIdades Pulllam e Steger [65] incorporam ao lado direito da Eq.(6.20) um termo dissipatlvo de quarta ordem, D^*\ dado por

»4. i“l D = -At íJ J

e e _{' V « ’" * ‘ V . , ’'} ■ J q ” (6.25)

onde é um coeficiente de dissipação. 0 subindice e indica que se trata de uma dissipação adicionada à parte explícita (lado direito) da Eq . (6.20). Pulliam [64] analisa com detalhes esse termo dissipatlvo e algumas de suas observações devem ser cita.das. Em primeiro lugar, embora seja de quarta ordem e consequentemente não altere a precisão formal da discretização espacial, esse termo dissipatlvo modifica a equação diferencial original e portanto o coeficiente adotado deve ser o menor possível. Deve-se notar que a dissipação atua nos campos do vetor q multiplicados pelo jacoblano da transformação de coordenadas. Esta precaução tem por objetivo evitar que a dissipação seja afetada por variações bruscas no espaçamento da malha mesmo quando os campos de propriedades sejam uniformes ou apresentem variações suaves. Por último, o termo dissipatlvo é multiplicado por At para que as soluções de regime permanente sejam independentes no intervalo de tempo.

Pulliam [64], considerando um problema linear e aplicando discretização espacial por derivadas centrais e discretização temporal pelo esquema implicito de primeira ordem demonstra, através da análise do fator de simplificação, que para valores elevados do produto (w^At) o esquema dissipatlvo de quarta ordem não é estável. Para estender o limite de estabilidade da .dissipação explicita Pulllam [64] e Pulliam e Steger [65] recomendam o uso de termos dissipatlvos Implícitos de segunda ordem. A Eq.(6.20) assume então a forma final

I + I + A t ^ - u,AtJ~^ÏÏTîAT}J 07} 1 - At aç 37} - Atw J e -1 (7ÇAÇ)^ + (VtjAt))^ Aq J q‘ (6.26)

Apesar de agora a análise de estabilidade linear indicar que o esquema é incondicionalmente estável se = 2w^, o fator de aanplificaçâo tende rapidamente a 1 quando At tende a infinito mesmo para o um problema unidimensional. A adoção de dissipação implícita de quarta ordem embora produza um esquema incondicionalmente estável destrói a estrutura tridiagonal da E q . (6.26). Por último deve-se enfatizar que as análises de estabilidade supracitadas foram aplicadas a problemas unidimensionais. 0 processo de fatoração aproximada, Já embutido na E q . (6.26), interfere nas csu'acteristicas de convergência através do termo adicional dado pela E q . (6.24).

Embora a dissipação explícita de quarta ordem com coeficientes constantes seja ainda empregada é comum que as soluções apresentem oscilações nas regiões do escoamento antes e após os choques. Diversos outros esquemas tem sido desenvolvidos e embora mais complicados, conferem estabilidade ao processo de solução sem atenuar os choques e produzem soluções livres de oscilações. 0 trabalho de Pulliam e Steger [651 comenta diversos desses esquemas e demonstra que são equivalentes ao esquema de derivadas centrais com alguma forma de dissipação. Este assunto será novajnente discutido neste trabalho no Cap. 10.

7.1 - INTRODUÇÃO

Na grande maioria dos trabalhos envolvendo a solução de escoamentos compressiveis, as metodologias de solução das equações diferenciais governantes são baseadas em processos que envolvem a solução simultânea das equações diferenciais governantes, como no esquema proposto por Beam e Warming [17]. Como Já comentado no Cap. 1 deste trabalho, essas metodologias enfrentam dificuldades na solução de escoamentos a baixo número de Mach. Neste capitulo serão apresentados alguns resultados obtidos para escoamentos compressiveis através da metodologia segregada apresentada nos capitulos anteriores, apta ã solução de escoamentos em qualquer regime de velocidade.

0 objetivo dos testes implementados é verificar se a metodologia tem capacidade de simular as características principais dos escoamentos compressiveis inclusive supersônicos. Os testes incluem o escoamento bidimensional plano contra um cilindro e uma série de escoamentos tridimensionais axissimétricos. Não houve em nenhum dos casos a intenção de realmente obter-se a solução do problema. Os escoamentos foram assumidos como laminares e muitas vezes os fluidos admitidos como não viscosos. Embora em alguns testes a malha tenha sido refinada com o objetivo de captar-se de forma mais precisa os altos gradientes existentes em determinadas regiões, notadamente nos choques, não se procurou de fato obter soluções independentes da malha.

Os resultados foram comparados, especialrriente coeficientes de pressão, com resultados experimentais e outros resultados teóricos. Unicamente para facilitar este último objetivo foi especialmente construído um código computacional baseado no esquema de Beam e Warming [17]. Na realidade, em [17] o método foi desenvolvido em coordenadas cartesianas. No trabalho de Pulliam e Steger [65] o esquema foi implementado em coordenadas curvilíneas generalizadas. Este código foi inicialmente validado através da solução de dois problemas transientes bastemte simples; um envolvendo o escoamento de Couette e outro um escoamento periódico entre duas placas planas e paralelas, uma das quais submetida a um movimento oscilatório. Embora a solução numérica desses problemas esteja exposta graficamente no próprio artigo em que o esquema de B&W é proposto, as soluções analíticas foram também computadas e utilizadas para comparações. Estes resultados não serão aqui apresentados.

Antes que os problemas mais complexos, envolvendo discretização não ortogonal, sejam enfocados, será abordado o problema do escoamento supersônico contra uma placa plana. 0 mesmo problema foi considerado por Van Doormaal [13]. Nosso objetivo nesse teste foi o de verificar a correção de um código construído para discretização cartesiana. Será no entanto aqui incluído para exemplificar o procedimento de aplicação das mais variadas condições de contorno e porque o mesmo tipo de configuração geométrica e condições de contorno foram aplicados na solução de um problema incompressivel.