Des limites de la perfection sur terre

0 objetivo principal do presente capítulo foi trazer para o contexto dos métodos segregados em volumes finitos o processo de fatoração aproximada aplicado no esquema de B&W. A característica principal desse processo é a fatoração de um operador diferencial bi ou tridimensional em um produto de operadores diferenciais unidimensionais. Portanto, o processo de discretização da parte implícita das equações é aplicado em

problemas unidimensionais. Em consequência resultam por exemplo dois coeficientes aip, um para cada direção. Outra consequência importante e ainda não mencionada é que para que tenhaunos esses coeficientes aip igual ao somatório dos coeficientes vizinhos (a menos do termo transiente) foi necessário assumir que a conservação da massa se dê em cada uma das direções.

Adicionalmemte, foi proposto um outro processo de fatoração aproximada, o ADI2, que é aplicado às equações Já discretizadas. Nesse caso, as aproximações resultantes do processo de fatoração incidem apenas na etapa referente ao processo de solução dos sistemas lineares. Assim, toda a fundamentação física envolvida na discretização é preservada e a análise dos erros envolvidos na fatoração tendem mais para um problema de álgebra linear. Evidentemente o correto entendimento e interpretação física desses erros se constitui numa ferrajnenta fundamental para minimizá-los Nesse apecto, na nossa opinião, o processo ADI2 tajnbém apresenta vantagens sobre o ADIl.

Alguns resultados da aplicação desses processos revelaram o comportaunento esperado. 0 passo de tempo fica limitado a valores menores do que quando o MSI é aplicado. Naturalmente essa restrição é mais sentida quanto menor for a dissipação, artificial ou não, presente na equação diferencial ou na equação discretizada. Pôde-se detectar no entanto um desempenho superior do ADI2 em relação ao ADIl. Embora o número de iterações consumidas pelos processos ADI resulte maior que quando o MSI é aplicado deve-se lembrar que o consumo de tempo de CPU por Iteração é maior neste último. Essa diferença se acentua quando processadores vetoriais são empregados. Assim, é bastauite provável que a aplicação dos processos ADI venha a substituir progressivamente métodos fortemente implícitos, e de natureza recursiva, como MSI e outros. Algumas experiências nesse sentido foram Já realizadas em problemas bi e tridimensionais [79] e confirmaram as expectativas. Nesse contexto, técnicas para minimizar a influência dos erros da fatoração, como apresentada neste capitulo, passam a ter importância considerável.

10.1 - INTRODUÇÃO

No método dos volumes finitos as equações diferenciais em forma divergente são integradas sobre volumes de controle convenientemente arranjados sobre o domínio de solução. Em consequência do procedimento de integração o valor da variável dependente e suas derivadas espaciais são requeridas nas interfaces dos volumes de controle. Como a variável dependente está armazenada no centro do volume de controle, funções de

interpolação são necessárias para a sua avaliação nas interfaces.

A escolha da função de interpolação é de importância fundamental na metodologia de solução. Diversas são as possibilidades existentes e cada uma dá origem a uma diferente solução numérica para o mesmo problema físico. Além disso, a estabilidade do método, normalmente de natureza iterativa, é fortemente dependente da função de interpolação.

A escolha mais simples, a interpolação linear, não é sempre a recomendada devido a diversas razões. Em primeiro lugar, quando o número de Reynolds de malha na interface é maior que dois, o coeficiente que conecta a variável dependente do volume em consideração com o volume adjacente resulta negativo. Se métodos iterativos de solução, do tipo ponto-a-ponto por exemplo, são empregados na solução dos sistemas de equações lineares, a presença de coeficientes negativos pode conduzir o processo iterativo á divergência. Adicionalmente o esquema de diferenças

centrais (CDS),- como é conhecido o esquema em que a interpolação é linear, não é dissipativo, isto é, ele não provê mecaoiismos extras para a dissipação de erros e perturbações que podem ocorrer durante a solução, como pode ser demonstrado através da análise de estabilidade linear aplicada aos operadores algébricos [64]. Em consequência a taxa de convergência do esquema CDS é baixa e a solução convergida pode apresentar oscilações espúrias.

Para evitar esse comportamento indesejável outros esquemas são empregados visando principalmente assegurar a positividade dos coeficientes, independentemente do número de Reynolds de malha, permitindo assim que métodos iterativos sejajn aplicados na solução dos sistemas lineares. Muitos desses esquemas têm a característica de recuperar o CDS, quando o número de Reynolds de malha é pequeno, e o UDS (Upstream Differencing Scheme) quando o número de Reynolds de malha é graoide. Para valores intermediários do número de Reynolds esses esquemas normalmente se baseiam na solução exata de um problema unidimensional de convecção e difusão. Devido a essa fundamentação física envolvendo a avaliação da propriedade dependente e suas derivadas nas faces dos volumes de controle, estes esquemas são considerados fisicamente mais consistentes que o esquema CDS.

Como Já discutido no Cap.8 deste trabalho, embora a positividade dos coeficientes seja uma condição suficiente para gareuitir a convergência de processos iterativos de solução dos sistemas lineares, a mesma não está diretajnente relacionada com a estabilidade do processo de solução como um todo. Naquele capítulo, um mesmo problema físico apresentou o mesmo histórico de convergência com coeficientes positivos ou sem qualquer predominância de sinal. Na realidade, o que ocorre é que os esquemas que visEim assegurar a positividade dos coeficientes, simultaneamente adicionam às equações discretizadas o que se convenciona chamar de dissipação aa^tificial. Assim, o esquema UDS normalmente produz soluções fisicajnente realísticas, isentas de oscilações espúrias e com altas taxas de convergência não porque dá origem a coeficientes positivos mas sim porque o esquema UDS é um esquema de primeira ordem (sob a ótica de expansões em séries de Taylor) e portanto fortemente dissipativo.

Voltando agora a atenção aos esquemas de diferenças finitas, como o esquema de B&W, Já foi visto que o processo de discretização é conceitualmente diferente. Nestes métodos as derivadas de primeira e segunda ordem presentes nas equações diferenciais são substituídas por

expressões numéricas correspondentes, normalmente em forma central com o objetivo de minimizar o erro de truncamento da aproximação. Para promover a estabilidade, termos dissipativos airtificiais são adicionados às equações diferenciais. No esquema originalmente proposto por B&W, esses termos dissipativos são de quarta ordem e portanto não alteram a precisão formal da aproximação que permanece de segunda ordem. Termos dissipativos artificiais de segunda ordem são teunbém adicionados à parte implícita das equações diferenciais sem no entanto influir na solução de regime permanente.

No Cap.7 foram expostos resultados que demonstram que as soluções obtidas para um mesmo problema físico apresentajn comportamentos significativamente distintos quando obtidas através da metodologia em volumes finitos proposta no presente trabalho ou quando obtidas pelo esquema B&W (vide Fig. 7.19). Essa constatação, as técnicas de introdução de dissipação artificial e o próprio enfoque como a dissipação artificial é encarada nas duas fajuilias de métodos motivaram os trabalhos do presente capítulo.

Embora a expressão "dissipação artificial" (as vezes substituída por "difusão numérica", "falsa difusão", etc.) Já tenha sido diversas vezes empregada neste trabalho não definimos até o presente momento o que se entende como tal. Essa é uma questão importante haja vista a existência na literatura [1] de pelo menos duas interpretações distintas a esse respeito. As duas próximas sessões são dedicadas a essa questão.