Lois de frottement

Nous onsidérons à présent les onditions portant sur la frontière de ontat

Γ 3

(respetivement

Γ ₃ × [0, T ]

^dans ûn âs ^évolutif) ^mettant ên ^relation ^la ôntrainte

tangentielle

σ τ

^, ^d'une ^part, ^et ^la ^ontrainte ^normale

σ ν

^, ^la ^vitesse tangentielle

u ˙ τ

^et

ledéplaement tangentiel

u τ

^,^d'autre ^part,^selon ^le âs. Îl ^s'agit ⁱⁱ^de âratériserûn

seuil de ontraintes en dessousduquel auun glissement n'est possible.

1.4.1 Absene de frottement

C'est la ondition la plus simple qui soit dans laquelle on onsidère une surfae

idéaliséene présentant pas de frottement, 'est à dire

σ τ =

⁰

.

(1.32)

Notons malgré tout qu'une telle approximation de la réalité reste raisonnable dans

quelques situations, rendant ainsi tout à fait liite son utilisationdans de nombreux

problèmes.

1.4.2 Frottement de Tresa

Nommée ainsi par analogie ave le ritère de Tresa en plastiité[140℄, nous

sup-posons ii quele seuil de ontrainte

F tres > 0

^est ^xe. ^Si ^la^ontraintetangentielle est inférieureen normeauseuil,alorsilyaadhéreneentre leorpsetlafondation.Sipar

ontree seuilest atteint,alors leorps glissesurlafondationtandisquelaontrainte

tangentielle s'oppose aumouvement.

Il en existe deux versions, selon le type de proessusonsidéré.

Cas statique

( k σ _τ k ≤ F _tres , (adh´ erence)

− σ _τ = F tres u τ

k u τ k si u _τ 6 =

⁰

(glissement).

(1.33)

Cas évolutif

( k σ _τ k ≤ F tres , (adh´ erence)

− σ _τ = F tres

u ˙ τ

k u ˙ τ k si u ˙ _τ 6 =

⁰

(glissement).

(1.34)

1.4.3 Frottement de Coulomb

Ils'agitsans auundoutede laloidefrottementlaplusonnueetdel'une desplus

utiliséesdanslalittérature.FormuléepourlapremièrefoisparAmontonsen1699dans

sonmémoire,Charles-Augustin Coulombaété en mesurede laonrmer etd'étendre

son domainede validitéau as des très fortes harges en 1785.

Ledispositif de Coulombpeut-être déritde la manièresuivante: ononsidère un

plateauhorizontalterminépardeuxbutéessurlequelpeutglisseruntraineau,quel'on

peutharger,tiré par uneorde,dontlatensionest réglable.L'objetifest d'établirla

valeur de latension de la orde susante pour l'emporter sur lafore de frottement;

le traineause met alors à glisser. Parmi les onlusions de Coulomb, onpeut retenir

que:

-Leseuil de frottement est proportionnelau poids du solide posé sur laplateau

hori-zontal.

-Pourunhargementdonné,eseuilnedépendquedelanaturedessurfaesenontat.

Il est iifait référene auoeient de frottement,noté

µ

Dansleas de laloi de frottementde Coulomb,àla diérenede la loide frottement

deTresa,leseuillimiten'estplusxéetdépendàprésentduoeientdefrottement

µ

êt^de ^laôntrainte^normale^de ôntat

σ ν

^.^La^loi^de ^frottement^de ^Coulomb^va^alors

mettreen onurrene, viale oeient de frottement

µ

^, ^la^ontrainte tangentielle de frottement

σ _τ

êt ^la ôntrainte ^normale ^de ôntat

σ ν

^. ^De ^fait, ^omme ^pour ^la ^loi ^de

Tresa, ilen existe deux versions selon letype de proessus onsidéré.

Cas statique

( k σ τ k ≤ µ | σ ν | , (adh´ erence)

− σ _τ = µ | σ _ν | u τ

k u τ k si u _τ 6 =

⁰

(glissement) ·

(1.35)

Cas évolutif

( k σ τ k ≤ µ | σ ν | , (adh´ erence)

− σ τ = µ | σ ν | u ^˙ τ

k u ˙ τ k si u ˙ τ 6 =

⁰

(glissement) ·

(1.36)

Il est également possible d'érire la loi évolutive sous la forme d'une inlusion sous

diérentielle :

(1.37)

− σ τ ∈ ∂Ψ _C(µ|σ ^∗ _ν _|) ( ˙ u τ ),

où

C(µ | σ _ν | )

^désigne ^le ^disque ^de ^Coulomb ^de ^rayon

µ | σ _ν |

^et

Ψ _C(µ|σ ^∗ _ν _|)

^le ^onjugué ^au

sens de Fenhel de lafontion indiatrie

Ψ

^de

C(µ | σ ν | )

^. ^Une^autre ^formeéquivalente peut également être employée

(1.38)

− σ _τ ∈ µ | σ ν | ∂ k u ˙ _τ k .

Elleest représentée par la Figure1.10 .

u _τ σ _τ

−µ |σ | _ν

µ |σ | _ν

Figure1.10 : Loi de Coulomb.

1.4.4 Frottement non monotone

Des versions généraliséesde laloide Coulombfurentintroduites ande dérireles

phénomènesd'instabilitéliésaufrottement.Enpartiulier,ilestpossiblede onsidérer

un oeient de frottement

µ

^variable. Îl â ^été ^d'abord ^proposé ^de ônsidérer ûn

oeient

µ s

^(oeient ^de ^frottement ^statique) représentant le rapport entre

k σ _τ k

| σ ν |

ên ^dessous ^duquel îl ^n'y â ^pas ^de glissement, et un oeient

µ d

^(oeient

de frottement dynamique) représentant la valeur de e rapport lorsque le glissement

alieuauours du mouvement. Engénéral,le oeientde frottementdynamique est

plusfaibleque leoeient de frottementstatique, reétantainsi l'idée selonlaquelle

il est plus simple de maintenir un objet en statut de glissement en mouvement que

de faire glisserun objet au repos. Puisque

µ d

^est ^supposé ^être ^inférieur^à

µ s

^, ^la^loi ^de

frottementprésentealorsune nonmonotonie.On sepropose deonsidérer parlasuite

un oeient de frottement qui peut dépendre du déplaement tangentiel

k u τ k

^,^dans

leas statique, oudu modulede lavitesse de glissement

k u ˙ _τ k

^, ^dans ^le^as ^évolutif,^et

permettant de passer de

µ s

^à

µ d

^au^ours ^du glissement. Voii les exemples auxquels nous sommesonfrontés dans les Chapitres suivants.Premier exemple

σ _τ

u _τ

Figure 1.11 :frottementnon monotone

Ave un ontat de typeomplianenormale(1.24),nouspouvonsonsidérer laloi

de frottement suivante

( k σ τ k ≤ µ( k u τ k ) p(u ν )

− σ _τ = µ( k u _τ k ) p(u _ν ) u τ

k u τ k si u _τ 6 = 0.

(1.39)

Cette loi de frottement est aratérisée par un seuil de glissement

µ( k u τ k ) p(u ν )

^qui

dépend àprésentdu oeientde frottement

µ

êt^de ^laôntrainte^normale^de ôntat

dénie par la fontion de ompliane normale introduite dans la sous-setion 1.3.2.

Dansun as statique,la non monotoniedu oeientde frottement

µ

^peut ^alors ^être

aratérisée par une dépendane en fontion de la norme du déplaement tangentiel

k u τ k

^qui^peut ^prendre ^la ^forme^suivante

µ(r) = (a − b) · e ^−αr + b,

ave

a, b, α > 0

a ≥ b

^. ^Cette ^loi ^dérit ^le ^phénomène ^de ^déroissane ^du ^seuil ^de

glissement quiest onstaté dans l'étudedes problèmes géologiques[114,129℄.Notons

que,pour

a = b

^,êtte ^fontionêst ônstanteêt^pour

a 6 = b

^elle^est déroissante. Ainsi, d'après la terminologieintroduite dans [20℄, dans le as

a = b

^nous désignerons la loi de frottement (1.39) ommemonotone et, dans leas

a 6 = b

^, ^nous ^parlerons ^d'une ^loi

de frottementnon-monotone. Une telle loisera utilisée dans leChapitre 4.

De manière analogue, il est possible de onsidérer la loi de Coulomb non monotone

pour un proessus évolutif dans lequel le ontat est dérit par une loide ompliane

normalede lamanièresuivante

Dansleasoùnousonsidéronsunontatdetypeomplianenormaleaveontraintes

unilatérales (1.26), nous pouvons proposer pour un proessus d'évolution une loi de

frottement légèrement diérente de la préédente sous la forme

( k σ _τ k ≤ − µ(u _ν )σ _ν si u ˙ _τ = 0,

− σ _τ = − µ(u _ν )σ _ν u ^˙ τ

k u ˙ τ k si u ˙ _τ 6 = 0,

(1.41)

pour laquelle leoeient de frottement

µ

^est ^à ^présent ^une ^fontion^du ^déplaement

normal

u _ν

^. ^Nous^pouvons âlors ônsidérer ^les êxemples^suivants ^:

µ 1 (η) =

µ 0 = µ(g)

^désigneûn ôeient ^de ^frottement ^donné âssoiéâu ôntat ûnilatéral

après ompression des aspérités de taille

g

⁽

u _ν = g

^). ^Notons ^que, ^dans ^le ^as ^de ^la

fontion

µ 1

^, ^le ^seuil ^de ^frottement ^est ^fontion ^roissante ^de ^la pénétration. A l'in-verse, dans leas de lafontion

µ 2

^, ^le^seuil ^de ^frottement^est ^fontion déroissantede l'érasementdes aspérités.A e titreonpeut iter, entre autres, [74,94,95℄.Une telle

loisera utilisée dans le Chapitre 8.

Dans le document Modélisation, analyse et simulations numériques de quelques problèmes de contact (Page 48-53)

Γ 3

Γ 3 × [0, T ]

σ τ

σ ν

u ˙ τ

u τ

σ τ =

.

F tres > 0

( k σ τ k ≤ F tres , (adh´ erence)

− σ τ = F tres u τ

k u τ k si u τ 6 =

(glissement).

( k σ τ k ≤ F tres , (adh´ erence)

− σ τ = F tres

u ˙ τ

k u ˙ τ k si u ˙ τ 6 =

(glissement).

µ

µ

σ ν

µ

σ τ

σ ν

( k σ τ k ≤ µ | σ ν | , (adh´ erence)

− σ τ = µ | σ ν | u τ

k u τ k si u τ 6 =

(glissement) ·

( k σ τ k ≤ µ | σ ν | , (adh´ erence)

− σ τ = µ | σ ν | u ˙ τ

k u ˙ τ k si u ˙ τ 6 =

(glissement) ·

− σ τ ∈ ∂Ψ C(µ|σ ∗ ν |) ( ˙ u τ ),

C(µ | σ ν | )

µ | σ ν |

Ψ C(µ|σ ∗ ν |)

Ψ

C(µ | σ ν | )

− σ τ ∈ µ | σ ν | ∂ k u ˙ τ k .

u τ σ τ

−µ |σ | ν

µ |σ | ν

µ

µ s

k σ τ k

| σ ν |

µ d

µ d

µ s

k u τ k

k u ˙ τ k

µ s

µ d

σ τ

u τ

( k σ τ k ≤ µ( k u τ k ) p(u ν )

− σ τ = µ( k u τ k ) p(u ν ) u τ

k u τ k si u τ 6 = 0.

µ( k u τ k ) p(u ν )

µ

µ

k u τ k

µ(r) = (a − b) · e −αr + b,

a, b, α > 0

a ≥ b

a = b

a 6 = b

a = b

a 6 = b

( k σ τ k ≤ − µ(u ν )σ ν si u ˙ τ = 0,

− σ τ = − µ(u ν )σ ν u ˙ τ

k u ˙ τ k si u ˙ τ 6 = 0,

µ

u ν

µ 1 (η) =

µ 0 = µ(g)

g

u ν = g

µ 1

Γ ₃ × [0, T ]

( k σ _τ k ≤ F _tres , (adh´ erence)

− σ _τ = F tres u τ

k u τ k si u _τ 6 =

( k σ _τ k ≤ F tres , (adh´ erence)

− σ _τ = F tres

k u ˙ τ k si u ˙ _τ 6 =

σ _τ

− σ _τ = µ | σ _ν | u τ

k u τ k si u _τ 6 =

− σ τ = µ | σ ν | u ^˙ τ

− σ τ ∈ ∂Ψ _C(µ|σ ^∗ _ν _|) ( ˙ u τ ),

C(µ | σ _ν | )

µ | σ _ν |

Ψ _C(µ|σ ^∗ _ν _|)

− σ _τ ∈ µ | σ ν | ∂ k u ˙ _τ k .

u _τ σ _τ

−µ |σ | _ν

µ |σ | _ν

k σ _τ k

k u ˙ _τ k

σ _τ

u _τ

− σ _τ = µ( k u _τ k ) p(u _ν ) u τ

k u τ k si u _τ 6 = 0.

µ(r) = (a − b) · e ^−αr + b,

( k σ _τ k ≤ − µ(u _ν )σ _ν si u ˙ _τ = 0,

− σ _τ = − µ(u _ν )σ _ν u ^˙ τ

k u ˙ τ k si u ˙ _τ 6 = 0,

u _ν

u _ν = g