2.5 Mesures images, lois
2.5.2 Lois discr` etes classiques
Nous revoyons ici les principales lois discr`etes classiques, d´ej`a ´etudi´ees en DEUG.
Pour les d´etails, voir [ICP]. La notion d’ind´ependance des ´ev`enements ou des variables al´eatoires utilis´ee dans cette pr´esentation a ´et´e d´efinie en DEUG. Elle sera g´en´eralis´ee et
´
etudi´ee syst´ematiquement au chapitre sur les mesures produits. Lorsque la loi de X est une mesure connue µ, ce qui est le cas pour tous les exemples qui suivent, il est d’usage de dire que X «suit»la loi µ ou encore queX «ob´eit» `a la loiµ.
Lois de Bernoulli
D´efinition 2.28. La variable al´eatoire X suit la loi de Bernoulli de param`etre p (p ∈ [0,1]) si X(Ω) ={0,1} et
P(X = 1) =p, P(X = 0) = 1−p=q.
On notera X ∼Bern(p).
SiA est un ´ev´enement de probabilit´e p, son indicatrice1A est une variable al´eatoire suivant la loi de Bernoulli de param`etrep. R´eciproquement, siXest une v.a. de Bernoulli, on peut toujours ´ecrire X =1A en d´efinissantA:={ω∈Ω, X(ω) = 1}.
Loi uniforme sur un ensemble fini de r´eels
D´efinition 2.29. La variable al´eatoireX suit la loi uniforme sur l’ensemble finide r´eels A={x1, . . . , xn} siX(Ω) =A et si PX est l’´equiprobabilit´e sur cet ensemble :
∀k = 1, . . . , n, P(X =xk) = 1 n.
Par exemple le nombre de points obtenus lors du jet d’un d´e ´equilibr´e suit la loi uniforme sur {1,2,3,4,5,6}. Dire que PX est la loi uniforme sur A := {x1, . . . , xn}
´equivaut `a
∀B ∈P(R), P(X ∈B) = card(A∩B)
card(A) . (2.11)
La loiPX apparaˆıt ainsi comme le conditionnement5 par A de lamesure de comptage ν sur R d´efinie par :ν(B) = cardB siB est une partie finie de R et ν(B) = +∞si B est une partie infinie de R.
Lois binomiales
D´efinition 2.30. La variable al´eatoire X suit la loi binomiale de param`etres n et p (n∈N∗ et p∈[0,1]) si l’ensemble des valeurs possibles est X(Ω) ={0,1, . . . , n} et
∀k= 0,1, . . . , n, P(X =k) =Cnkpk(1−p)n−k. Notation : X ∼Bin(n, p).
La loi binomiale Bin(n, p) est la loi du nombre de succ`es obtenus en une suite de n
´epreuves r´ep´et´ees ind´ependantes avec pour chaque ´epreuve une probabilit´e de succ`es p.
Plus g´en´eralement, soitA1, . . . , An une famille den ´ev´enements mutuellement ind´ e-pendants ayant tous mˆeme probabilit´e pet notons Xi =1Ai. Alors la variable al´eatoire Sn=
n
X
i=1
Xi suit la loi binomiale Bin(n, p).
Lois hyperg´eom´etriques
Alors que la loi binomiale intervient dans les tirages avec remise, la loi hyperg´eom´ e-trique correspond aux tirages sans remise.
Exemple 2.1. Dans une production totale de N objets dont M sont d´efectueux, on pr´el`eve au hasard un ´echantillon de n objets (tirage sans remise). Soit X le nombre al´eatoire d’objets d´efectueux dans l’´echantillon. Quelle est sa loi ?
En consid´erant tous les ´echantillons possibles comme ´equiprobables, un peu de d´ e-nombrement m`ene `a la formule suivante :
P(X =k) = CMk ×CN−Mn−k CNn si
0≤k ≤M,
0≤n−k ≤N −M. (2.12)
5. Au sens de l’exemple1.4du chapitre pr´ec´edent.
D´efinition 2.31. La loi d´efinie par (2.12) s’appelle loi hyperg´eom´etrique de param`etres N, M etn. Notation :X ∼Hypg(N, M, n). Le param`etreN est l’effectif de la population totale,M celui de la sous-population `a laquelle on s’int´eresse etnla taille de l’´echantillon observ´e.
Pour une taille d’´echantillon n fix´ee, plus N et M sont grands, moins les tirages sans remise diff`erent des tirages avec remise. Plus pr´ecis´ement, la loi hyperg´eom´etrique converge vers la loi binomiale au sens suivant.
Th´eor`eme 2.32. On suppose que quand N tend vers +∞, M =M(N) tend vers +∞
en v´erifiant la condition :
Nlim→+∞
M
N =p avec 0< p <1. (2.13) Alors, n restant fix´e, la loi hyperg´eom´etrique Hypg(N, M, n) converge vers la loi bino-miale Bin(n, p), ce qui signifie ici que si (XN)N≥1 est une suite de v.a. avec XN ∼ Hypg(N, M, n) et Y est une v.a. de loi Bin(n, p),alors :
∀k = 0,1, . . . , n, lim
N→+∞P(XN =k) = P(Y =k), (2.14) autrement dit :
∀k= 0,1, . . . , n, lim
N→+∞
CMk ×CN−Mn−k
CNn =Cnkpk(1−p)n−k. (2.15) Pour la preuve, voir [ICP].
Lois multinomiales
D´efinition 2.33. Le vecteur al´eatoireX : Ω→Rdsuit la loi multinomiale de param`etres n et (p1, . . . , pd) o`u n ∈N∗ et lespi sont strictement positifs et de somme 1 si X(Ω) est l’ensemble des d-uples (j1, j2, . . . , jd) d’entiers tels que j1+j2+· · ·+jd=n et si
∀(j1, j2, . . . , jd)∈X(Ω), P
X = (j1, j2, . . . , jd) = n!
j1!j2!. . . jd!pj11pj22. . . pjdd. Notation : X ∼Mult(n;p1, . . . , pd)
Rappelons que la loi multinomiale sert `a mod´eliser le total des r´esultats de chaque type observ´es dans une suite d’´epreuves r´ep´et´ees ind´ependantes ayant chacune d types de r´esultats possibles. Par exemple si on lance 200 fois un d´e, on obtient un vecteur de dimension 6 dont la i-`eme composante est le nombre total d’apparitions de la face num´ero i au cours des 200 lancers. Ce vecteur suit la loi multinomiale de param`etres 200 et (p1, p2, p3, p4, p5, p6), o`u pi est la probabilit´e d’apparition de la face noi lors d’un lancer.
Lois g´eom´etriques
D´efinition 2.34. Une variable al´eatoireXsuit la loi g´eom´etrique de param`etrep∈]0,1[, si X(Ω) =N∗ et :
∀k ∈N∗, P(X =k) = (1−p)k−1p.
Notation : X ∼Geom(p).
La situation typique o`u intervient la loi g´eom´etrique est celle du «temps d’attente du premier succ`es»dans une suite infinie d’´epreuves r´ep´et´ees ind´ependantes avec mˆeme probabilit´e de succ`esp∈]0,1[. SiX d´esigne le num´ero (al´eatoire) de la premi`ere ´epreuve o`u l’on obtient un succ`es, on v´erifie facilement que P(X = k) = (1−p)k−1p pour tout k ∈ N∗. En toute rigueur X est `a valeurs dans N∗ en attribuant `a X la valeur +∞
lorsqu’aucune ´epreuve de la suite ne donne un succ`es. On voit facilement que P(X = +∞) = 0, ce qui permet de consid´erer X comme une variable `a valeurs dans N∗ (en modifiant Ω etF, voir `a ce sujet le corrig´e du Probl`eme de l’examen de septembre 2003).
Lorsque X suit une loi g´eom´etrique, les probabilit´es P(X > n) ont une expression particuli`erement simple en fonction de q= 1−p.
P(X > n) =qn.
Cette formule permet de v´erifier facilement la propri´et´e d’«absence de m´emoire en temps discret» :
Proposition 2.35. Si X suit la loi g´eom´etrique de param`etre p,
∀n, k ∈N∗, P(X > n+k |X > n) = P(X > k). (2.16) La preuve est laiss´ee en exercice, de mˆeme que la r´eciproque : si une variable al´eatoire X `a valeurs dansN∗ v´erifie (2.16), elle suit une loi g´eom´etrique.
Lois de Poisson
D´efinition 2.36. On dit que la variable al´eatoire discr`ete X suit la loi de Poisson de param`etre α >0 si X(Ω) =N et
∀k ∈N, P(X =k) = e−ααk k! . Notation : X ∼Pois(α).
Une des raisons de l’importance de cette loi est le th´eor`eme de convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson.
Th´eor`eme 2.37. Si (pn)n≥1 est une suite de r´eels de [0,1]v´erifiant
npn →α ∈]0,+∞[, quand n→+∞, (2.17)
alors :
∀k∈N, Cnkpkn(1−pn)n−k −→ e−ααk
k! , quand n→+∞.