Ind´ ependance de variables al´ eatoires

Nous d´efinissons maintenant l’ind´ependance d’une famille quelconque (X_i)i∈I de va-riables ou vecteurs al´eatoires. Cette ind´ependance est celle de la famille de sous-tribus deF engendr´ees par les X_i. Rapplons que si X est une application (Ω,F)→ (E,B), la tribu engendr´ee par X est

σ(X) :=X⁻¹(B) = {X⁻¹(B); B ∈B}.

Si de plus,X estF-Bmesurable, alorsσ(X) est une sous-tribu deF. On peut dire alors queX est une variable al´eatoire `a valeurs dans l’espace mesurable (E,B). En pratique, E peut ˆetre R+,R, C, N, R^d, . . .et la tribu Best la tribu bor´elienne correspondante ou la tribu P(E) lorsque E est d´enombrable.

D´efinition 5.38. Soit I une famille quelconque d’indices et pour tout i ∈ I, X_i une variable al´eatoire `a valeurs dans l’espace mesurable (Ei,Bi). On dit que (Xi)i∈I est une famille de variables al´eatoires ind´ependantes si la famille de tribus (σ(X_i))i∈I est ind´ e-pendante, autrement dit si

∀J fini ⊂I, ∀j ∈J,∀B_j ∈Bj, P(∀j ∈J, X_j ∈B_j) = Y

j∈J

P(X_j ∈B_j).

Notons que cette d´efinition est assez souple pour englober l’ind´ependance d’une col-lection compl`etement h´et´eroclite de «variables al´eatoires», certaines pouvant ˆetre des variables al´eatoires r´eelles, d’autres des vecteurs al´eatoires (de dimensions diverses), d’autres des variables al´eatoires discr`etes, . . .

Proposition 5.39. Un vecteur al´eatoire (X₁, . . . , X_d) `a valeurs dans R<sup>d</sup> est `a com-posantes ind´ependantes si et seulement si sa loi est le produit de ses lois marginales, i.e.

P_(X1,...,Xd) =PX1 ⊗ · · · ⊗PX_d.

D´emonstration. Supposons d’abord que les variables al´eatoires r´eelles X₁, . . . , X_d soient ind´ependantes et soit B un pav´e mesurable pour la tribu produit Bor(R¹)^⊗d, B s’´ecrit

donc B =B₁× · · · ×B_d, avec pour chaque i= 1, . . . d, B_i ∈Bor(R¹). On a alors P_(X1,...,Xd)(B) = P (X₁, . . . , X_d)∈B₁× · · · ×B_d

(5.50)

= P ∀i∈ {1, . . . , d}, X_i ∈B_i

(5.51)

= P

d

i=1∩ X_i⁻¹(Bi)

(5.52)

= P X₁⁻¹(B₁)

. . .P X_d⁻¹(B_d)

(5.53)

= P_X1(B₁). . . P_Xd(B_d) (5.54)

= P_X1 ⊗ · · · ⊗P_Xd

(B). (5.55)

Justifications : (5.50) vient de la d´efinition de la loi du vecteur al´eatoire ; (5.51) et (5.52) utilisent la d´efinition d’un produit cart´esien et celle d’une intersection. Le passage de (5.52) `a (5.53) repose sur l’hypoth`ese d’ind´ependance des Xi. La d´efinition de la loi de X_i nous fait passer de (5.53) `a (5.54). De l`a on arrive `a (5.55) par la d´efinition de la mesure produit sur la classe des pav´es mesurables.

Nous venons ainsi de v´erifier que les deux mesures P_(X1,...,Xd) et PX1 ⊗ · · · ⊗PX_d

co¨ıncident sur la classe des pav´es mesurables de la tribu produit Bor(R¹)^⊗d. Par unicit´e de la mesure produit, ces deux mesures co¨ıncident sur toute la tribu Bor(R¹)^⊗d. Rappelons que cette tribu n’est autre que Bor(R^d), d’apr`es (5.20) et la proposition 5.16.

R´eciproquement, supposons l’´egalit´e des deux mesuresP_(X1,...,Xd) etP_X1 ⊗ · · · ⊗P_Xd sur la tribu bor´elienne de R^d. Elles co¨ıncident en particulier sur la classe des pav´es mesurables de Bor(R¹)^⊗d. On a donc pour toutB =B1× · · · ×Bd avecBi ∈Bor(R),

P_(X1,...,Xd)(B) = P_X1 ⊗ · · · ⊗P_Xd

(B). (5.56)

La justification d´etaill´ee ci-dessus des ´egalit´es (5.50) `a (5.55) montre que seul le passage de (5.52) `a (5.53) utilisait l’ind´ependance desXi. Nous pouvons donc recycler toutes les autres ´egalit´es de la mani`ere suivante. On a ´egalit´e des seconds membres de (5.52), (5.51) et (5.50). Les ´egalit´es (5.50) et (5.56) nous conduisent au second membre de (5.55) d’o`u l’on peut remonter jusqu’`a celui de (5.53). Ainsi

∀i∈ {1, . . . , d}, ∀B_i ∈Bor(R), P d

i=1∩ X_i⁻¹(B_i)

=P X₁⁻¹(B₁)

. . .P X_d⁻¹(B_d) . SoitJ une partie quelconque de{1, . . . , d}(automatiquement finie) et choisissonsBi =R lorsque i /∈ J dans l’´egalit´e ci-dessus. Pour ces indices, X_i⁻¹(B_i) = X_i⁻¹(R) = Ω et P X_i⁻¹(B_i)

= 1. On peut donc effacer sans inconv´enient les ´ev`enements correspondants et leurs probabilit´es dans l’´egalit´e ci-dessus. On obtient alors, avec des bor´eliens Bj, (j ∈J) quelconques :

P

j∈J∩ X_j⁻¹(B_j)

=Y

j∈J

P X_j⁻¹(B_j) ,

ce qui prouve l’ind´ependance des variables al´eatoires r´eelles X₁, . . . , X_d.

Corollaire 5.40. Soit X₁, . . . , X_n une suite finie de variables al´eatoires r´eelles ind´ e-pendantes. Alors les vecteurs al´eatoires obtenus en d´ecoupant dans cette suite des blocs cons´ecutifs disjoints sont ind´ependants.

Corollaire 5.41. Soit X₁, . . . , X_n une suite finie de variables al´eatoires r´eelles ind´ e-pendantes. Pour tout d´ecoupage n0 = 0, 1 ≤ n1 < n2 < · · · < nk = n en blocs Yj = (X_1+nj−1, . . . , X_nj) (1≤j ≤k) et toutes fonctions mesurablesh_j =R^nj−nj−1 →(E_j,Bj), les variables al´eatoires h₁(Y₁), . . . , h_k(Y_k) sont ind´ependantes.

Preuve des corollaires 5.40 et 5.41. Le corollaire5.40 est `a l’´evidence un cas particulier du corollaire 5.41 en prenant pour h<sub>j</sub> l’identit´e sur R<sup>nj−nj−1</sup>. Notons `a ce propos que la collection de «variables al´eatoires» Z_j := h_j(Y_j) peut ˆetre h´et´eroclite : vecteurs al´eatoires dans R^dj, variables al´eatoires r´eelles, complexes ou discr`etes. L’ind´ependance des Y<sub>j</sub>, (1 ≤ j ≤ k) r´esulte facilement de la proposition 5.39 grˆace `a l’associativit´e du produit des tribus et des mesures. Pour le corollaire 5.41, il s’agit de v´erifier l’ind´ epen-dance des tribus σ(Zj) (1 ≤j ≤ k). Or ces tribus s’´ecriventσ(Zj) =Y_j⁻¹ h⁻¹_j (Bj)

. La mesurabilit´e de h_j se traduit par l’inclusion de tribus h⁻¹_j (Bj) ⊂ Bor(R^nj−nj−1). On a ainsi

σ(Z_j) = Y_j⁻¹ h⁻¹_j (Bj)

⊂Y_j⁻¹ Bor(R^nj−nj−1)

=σ(Y_j).

L’ind´ependance des tribus σ(Yj) r´esulte du corollaire 5.40 et passe ´evidemment `a leurs sous-tribus σ(Z_j).

Proposition 5.42.

a) Les variables al´eatoires r´eelles X₁, . . . , X_d sont ind´ependantes si et seulement si

∀(x₁, . . . , x_d)∈R^d, P(X₁ ≤x₁, . . . , X_d ≤x_d) =P(X₁ ≤x₁). . .P(X_d≤x_d).

(5.57) b) Soit (X₁, . . . , X_d) un vecteur al´eatoire dans R^d, de densit´e f. Ses composantes X_i sont ind´ependantes si et seulement s’il existef₁, . . . , f_d, R→R+, mesurables telles que

f =f₁⊗ · · · ⊗f_d.

Dans ce cas les densit´es marginales f_Xi sont de la forme c_if_i o`u les constantes c_i >0 sont li´ees par c₁. . . c_d= 1.

c) Soient(X₁, . . . , X_d)un vecteur al´eatoire discret `a valeurs dansN^d. Ses composantes X_i sont ind´ependantes si et seulement si

∀(k₁, . . . , k_d)∈N^d, P(X₁ =k₁, . . . , X_d=k_d) =P(X₁ =k₁). . .P(X_d=k_d).

(5.58) Preuve du a). Il suffit de remarquer que (5.57) exprime l’´egalit´e des deux mesures finies P_(X1,...,Xd) etP_X1 ⊗ · · · ⊗P_Xd sur la π-classe C des pav´es mesurables de la forme

B =]− ∞, x₁]× · · · ×]− ∞, x_d], (x₁, . . . , x_d)∈R^d.

Comme σ(C) = Bor(R^d), le th´eor`eme d’unicit´e des mesures implique l’´egalit´e de ces mesures sur toute la tribu bor´elienne de R^d. L’ind´ependance des Xi en d´ecoule par la proposition 5.39. R´eciproquement cette ind´ependance implique imm´ediatement (5.57).

Notons que le membre de gauche dans (5.57) d´efinit la fonction de r´epartitionF_X1,...,Xd du vecteur (X1, . . . , Xd) et que le membre de droite est le produit (tensoriel) des fonctions de r´epartition des X_i. On a ainsi une caract´erisation de l’ind´ependance :

X₁, . . . , X_d ind´ependantes ⇔ F_X1,...,Xd =F_X1 ⊗ · · · ⊗F_Xd. (5.59) exprim´ee en termes de fonctions de r´epartition.

Preuve du b).

Supposons d’abord que la densit´ef du vecteur al´eatoire (X₁, . . . , X_d) soit de la forme f =f1⊗ · · · ⊗fd o`u lesfi sont des fonctions d’une variables r´eelle, mesurables positives.

Par la proposition 5.21, la loi de chaque composante X_i a aussi une densit´e f_Xi, qui s’obtient en int´egrant f par rapport `a tous les x_j pour j 6=i:

f_Xi(t) = Z

R^d−1

f₁(x₁). . . fi−1(xi−1)f_i(t)f_i+1(x_i+1). . . f_d(x_d)dλd−1(x₁, . . . , xi−1, x_i+1, . . . , x_d)

= f_i(t) Z

R^d−1

f₁(x₁). . . f_i−1(x_i−1)f_i+1(x_i+1). . . f_d(x_d)dλ_d−1(x₁, . . . , x_i−1, x_i+1, . . . , x_d)

= c_if_i(t).

Comme f_Xi est une densit´e de probabilit´e, il est clair que la constante positive c_i ne peut pas ˆetre nulle. Calculons P_(X1,...,Xd)(B) pour B = B₁ × · · · ×B_d, pav´e mesurable quelconque de Bor(R)^⊗d. En utilisant le corollaire 5.20, on obtient :

P(X1,...,X_d)(B) = Z

B

fdλd = Z

B1×···×B_d

(f1⊗ · · · ⊗fd) d(λ^⊗d₁ )

=

d

Y

i=1

Z

Bi

f_idλ₁

=

d

Y

i=1

1 c_i

Z

Bi

f_Xidλ₁

=

d

Y

i=1

1

c_iP_Xi(B_i).

Ainsi

P_(X1,...,Xd)(B₁× · · · ×B_d) =aP_X1(B₁). . . P_Xd(B_d), (5.60) o`u la constante a vaut (c₁. . . c_d)⁻¹. En particulier en choisissant dans (5.60) tous les B_i

´

egaux `a R, on obtient 1 =a×1 d’o`ua= 1 etc₁. . . c_d= 1. En reportant cette valeur de a dans (5.60), on voit alors que (5.60) exprime l’ind´ependance des X_i.

R´eciproquement, supposons les X_i ind´ependantes. Par la proposition 5.21, chaque X_i a une densit´e f_Xi. ´Evaluons P_(X1,...,Xd)(B) pour B = B₁× · · · ×B_d pav´e mesurable

quelconque de Bor(R)^⊗d. En utilisant l’ind´ependance des X_i, la d´efinition des f_Xi et le corollaire 5.20, on obtient :

P_(X1,...,Xd)(B) =

d

Y

i=1

P_Xi(B_i) =

d

Y

i=1

Z

Bi

f_Xidλ₁.

En appliquant le corollaire5.20, on en d´eduit

P_(X1,...,Xd)(B₁ × · · · ×B_d) = Z

B1×···×B_d

(f_X1 ⊗ · · · ⊗f_Xd) dλ_d. (5.61)

En particulier en prenant dans (5.61) tous les B_i ´egaux `aR, on voit que

Z

R^d

(f_X1 ⊗ · · · ⊗f_Xd) dλ_d= 1,

ce qui montre que la fonction mesurable positive g := f_X1 ⊗ · · · ⊗f_Xd est une densit´e de probabilit´e. En notant provisoirement µ la mesure de densit´e g par rapport `a λ<sub>d</sub>, l’´egalit´e (5.61) s’interpr`ete alors comme l’´egalit´e de µ et de P_(X1,...,Xd) sur la classe Rd

des pav´es mesurables de Bor(R)^⊗d, donc sur toute la tribu Bor(R)^⊗d par unicit´e de la mesure produit. Ainsi f et g sont deux densit´es par rapport `a λ_d de la mˆeme mesure.

Elles sont donc ´egalesλd presque partout¹⁵.

Preuve du c). La tribu concern´ee par la mesurabilit´e du vecteur al´eatoire (X₁, . . . , X_d) est ici P(N^d). On voit que cette tribu co¨ıncide avec P(N)^⊗d car tout ´el´ement de P(N^d) est une partie de N^d, donc est au plus d´enombrable et r´eunion au plus d´enombrable de singletons {k} = {(k₁, . . . , k_d)}. La condition (5.58) traduit l’´egalit´e des mesures P(X1,...,X_d) et PX1 ⊗ · · · ⊗PX_d sur la classe des singletons de N^d. L’ind´ependance des Xi

se traduit elle, par l’´egalit´e de ces mesures sur la classe des pav´esA=A₁× · · · ×A_d o`u chaque A<sub>i</sub> peut ˆetre une partie quelconque de N. Elle implique donc (5.58) en prenant pour chaque Ai un singleton {ki} de N. Pour la r´eciproque, on remarque que A et les A<sub>i</sub> sont au plus d´enombrables et on utilise les propri´et´es des s´eries multiples `a termes

15. Exercice : si f et g sont deux densit´es de la mˆeme mesure µ par rapport `a une mesure ν, alors f = g ν-presque partout. Indication : soit A := {f < g}, montrer que ν(A) = 0 en raisonnant par l’absurde en remarquant queAest l’union croissante des An:={f+ 1/n < g}.

positifs :

Proposition 5.43. Soit (X_i)i∈I une famille quelconque de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes. Alors pour toute partie finieJ de I et toute famille {h_j, j ∈J} de fonc-tions bor´eliennes R→C telles que les h_j(X_j) soient P-int´egrables, la variable al´eatoire produit Q fonctions mesurables h_j ◦X_j. Par le th´eor`eme de transfert et la proposition 5.39, on a

E

Par le corollaire 5.20, cette derni`ere int´egrale est finie d`es que chacune des int´egrales R

R|h_j|dP_Xj est finie, autrement dit (par transfert) d`es queE|h_j(X_j)|<+∞. Ayant ainsi r´egl´e la question de l’int´egrabilit´e de la variable al´eatoireQ

j∈Jh_j(X_j), on peut ´ecrire en utilisant successivement le transfert Ω→Rⁿ, la proposition5.39, le corollaire5.20 et les

transfertsK

Xj

−→ Ω : E

n

Y

j=1

h_j(X_j)

!

= Z

Rⁿ

h₁(x₁). . . h_n(x_n) dP_(X1,...,Xn)(x₁, . . . , x_n)

= Z

Rⁿ

(h₁⊗ · · · ⊗h_n) d(P_X1 ⊗ · · · ⊗P_Xn)

=

n

Y

j=1

Z

R

h_jdP_Xj

=

n

Y

j=1

Eh_j(X_j).

Corollaire 5.44. Si les variables al´eatoires r´eelles (ou complexes) X₁, . . . , X_n sont in-d´ependantes et int´egrables, leur produit est aussi int´egrable et

E(X₁. . . X_n) = (EX₁). . .(EX_n).

Il est facile de voir que la r´eciproque du corollaire 5.44 est fausse en construisant un couple (X₁, X₂) de variables al´eatoires r´eelles non ind´ependantes telles queE(X₁X₂) = EX1EX2. Prenons par exempleX1 de loi uniforme sur [−1,+1] etX2 :=X₁². On a alors

EX₁X₂ =EX₁³ = Z

[−1,+1]

x³dλ(x) = 0.

D’autre part EX₁ = 0 donc EX₁EX₂ = 0. Il est clair intuitivement que X₁ et X₂ ne sont pas ind´ependantes puisque X2 est une fonction d´eterministe de X1. Pour v´erifier cette non-ind´ependance par le calcul, on peut remarquer que d’une part

P X₁ ∈[0,1/2] et X₂ ∈[0,1/4]

= P X₁ ∈[0,1/2] et X₁ ∈[−1/2,1/2]

= P X₁ ∈[0,1/2]

= 1 4 et d’autre part

P X₁ ∈[0,1/2])P X₂ ∈[0,1/4]

= 1

4P X₁ ∈[−1/2,1/2]

= 1 8.

Dans le document CharlesSUQUET Int´egrationAnalysedeFourierProbabilit´es (Page 172-178)