Lois de contact

Les lois de contact utilisées dans le cadre de cette thèse ont été implémentées dans le code demGCE et validées sur des tests d’écoulement de billes dans les configurations de décharge de silo et formation d’empilement[125]. La force de contact se décompose en une composante normale ~Fn(portée par la normale au contactnij et une composante tangentielle ~Ft comme dans la Figure 3.4 page 85. Un repère local au niveau du grain est introduit pour calculer le moment appliqué autour du point de contact. Le détail des forces prises en compte est présenté dans les paragraphes suivants.

3.2.4.1 Force normale

Deux types de lois de contact sont souvent utilisées dans les simulations pour le calcul de la force normale : le modèle ressort amortisseur, ou le modèle de Hertz-Mindlin. C’est ce dernier qui a été utilisé dans notre travail, Figure 3.4 page 85 (a).

M

Ft

Fn

n

t

Figure 3.4: Schéma de l’interaction entre deux particules en 3D et une coupe en 2D

Dans le modèle utilisé ici, la force normale est composée par une partie élastique (Hertz modèle) et une partie visqueuse (Poschel et Schwager model) [129].

Fn,ij = −( 4 3E p ¯ Rξn 3 2 + γ_nE p ¯ Rpξnξ˙n)nij (3.2) 1 E = 1 − ν_i2 Ei + 1 − ν 2 j Ej (3.3) Où ξn est le recouvrement entre deux particules en contact ; γn est le coefficient d’amortissement (section 3.3.2, section 4.1) ;

√ ¯

R = RiRj/(Ri + Rj) , le rayon effectif

de la particule ; E est le module de Young effectif, E_i et E_j sont les modules de Young des particules en contact et nij est le vecteur normal unitaire.

Figure 3.5: Schéma d’illustration des lois de contact : (a) Force normale ; (b) Force tangentielle [21]

3.2.4.2 Force tangentiel

La force tangentielle est composée ici de deux parties permettant de prendre en compte au niveau du contact le collage (sticking) qui précède le glissement total (gross sliding).

Ainsi, au début du mouvement tangentiel relatif entre deux particules, le modèle de Mindlin est utilisé afin de prendre en compte les micro-glissements. La force tangentielle est alors calculée de façon incrémentale, Figure 3.4 page 85(b) :

∆ ~Ft,stick = −8G q

Rijξnv~trel∆t (3.4)

Le module de cisaillement est calculé par la formule suivante :

G = 4((2 − νi)(1 + νi) Ei

+ (2 − νj)(1 + νj)

Ej

)−1 (3.5)

Où ν_i,ν_j et E_i,E_j sont respectivement coefficient de poisson et module de Young de la particule. Rij est le rayon effective de la particule. ~vtrel est le déplacement tangentiel relatif entre les deux particules en contact au pas de temps courant.

La force tangentielle est limitée par la loi de Coulomb (glissement totale), valeur qui dépend aussi de l’effort normal suivant la formule :

Ft6 µsFn (3.6)

Où µs est le coefficient de frottement, Fn est la force normale.

Notre modèle nous permet de prendre en compte l’éventuel pivotement des particules au point de contact. En cas de rotation des particules entre un pas de temps, une opération de rotation correspondante est aussi appliquée à ~Ft,stick(t − ∆t) [54][58]

Enfin, cette force tangentielle ~Ft,stick [54] est utilisée pour calculer les moments exercés autour du point de contact intervenant ainsi dans les équations du moment.

3.2.4.3 Résistance au roulement

De nombreux travaux basés sur les simulations DEM sont développés à base de disques en 2D ou de sphères en 3D en vue en particulier de faciliter la détection des contacts. Par conséquent, les contacts entre nos grains sont ponctuels, et les surfaces n’induisent pas de résistances au roulement. En revanche, les grains dans la réalité ont des formes plus complexes. Les surfaces angulaires et rugueuses des grains peuvent entrainer les blocages en fonction des réarrangements des particules entre elles. Pour modéliser ce phénomène, le calcul de la résistance au roulement est introduit dans le code par l’utilisation d’un modèle de moment résistant directionnel s’opposant au mouvement de rotation classiquement utilisée de Zhou et al. [134] en 2D ou en 3D[135], adapté de celui de Beer et Johnson [136]. Le moment résistant Tij est calculé par la formule suivante .

Tij = −µrol× Fn,ij× Rij × (

wi− wj

|w_i− w_j|) (3.7)

Où µrol est le coefficient de résistance de «roulement», Fn,ij est la force normale,

Rij est le rayon effectif, wi et wj sont les vitesses angulaires des particules, i et j sont les deux dénominations des grains en contact.

3.2.4.4 Intégration du mouvement des particules

Une fois tous les contacts passés en revue, les sommes des forces F i et des mo- ments M i extérieurs exercés sur chacune des particules sont calculées, ce qui permet d’appliquer le principe fondamental de la dynamique :

¨ xt= Fi mi (3.8) ¨ wt= Mi I (3.9)

où la masse mi et le moment d’inertie I_i sont respectivement liés aux accélérations de translation ¨xt et de vitesse de rotation ¨wt du centre de gravité de la particule i. Après le calcul de la force, on a besoin de suivre un schéma d’intégration semi-implicite d’Euler (ou Euler-Cromer) [21] pour déterminer la position des particules :

La position des particules est déterminée à l’intervalle de temps ∆t par :

˙

xi,t+∆t = ˙xi,t+ ¨xi,t× ∆t (3.10) ˙

wi,t+∆t= ˙wi,t+ ¨wi,t× ∆t (3.11) Puis les nouvelles positions à t + ∆t

xi,t+∆t = xi,t+ ˙xi,t× ∆t (3.12)

wi,t+∆t= wi,t+ ˙wi,t× ∆t (3.13) Pour la stabilité des calculs, le pas de temps doit être choisi suffisamment petit de façon à ce que le mouvement d’une particule à un pas de temps donné n’influence que les particules immédiatement voisines. Le pas de temps critique peut être donné normalement par la formule suivant :

∆t = Kstab

r_m

kn

(3.14) Où m est la masse de la particule,Kstab est un coefficient de stabilité (ordre de grandeur de 0.01), k_n est la raideur au contact. Cette formule provient de la détermination du pas de temps critique. Selon Thornton[137] [138], si le pas de temps est trop grand, le calcul de la simulation n’est pas stable, en revanche, si le pas de

temps est très petit, les calculs seront trop long. Dans le cas d’une loi de contact de type Hertz-mindlin, les raideurs K_n ne sont pas les mêmes pour chacun des contacts. Il faudrait en toute rigueur calculer régulièrement lors du calcul la plus petite raideur afin d’optimiser la valeur du pas de temps. Cette raideur est déduite via la loi de contact en dérivant la relation qui lie la force normale à l’interpénétration [40][139]. Dans notre cas, nous avons un pas de temps fixe tout le long de la simulation. Par contre, on s’assure de la stabilité du calcul en comparant une même simulation réalisée pour plusieurs valeurs du pas de temps.