Contrôle de la condition cylindrique : consolidation isotrope et

Dans notre simulation, la condition limite utilisée est cylindrique[128]. La variation de la pression latérale exercée par cette condition limite peut donc être obtenue en

Table 3.3: Différentes indice de vides ou compacités dans les trois étapes de préparations

Méthodes Indice de vide e Compacité c

Sédimentation 0,603 0,624

Compression 0,589 0,628

Vibration 0,569 0,637

changeant le diamètre du cylindre. Pour calculer la variation du rayon du cylindre entre deux pas de temps successifs, nous avons appliqué la formule de Lamé. La formule de Lamé est une série d’équations permettant de déterminer la contrainte radiale, la contrainte tangentielle et le déplacement radial en n’importe quel point d’un tube soumis à une différence de pression interne/externe [149].

Figure 3.17: Coupe de la condition limite cylindrique

La Figure 3.17 page 100 montre une vue en coupe du système appliqué dans le cas de contrôle de la variation de pression de confinement. Un tube mince subit une pression extérieure et une pression intérieure. Si la pression extérieure est plus importante que la pression intérieure, le tube se contracte, dans le cas contraire il se dilate. La formule de Lamé permet de calculer la variation de rayon du tube. Dans notre simulation de l’essai triaxial, la forme de l’échantillon reste tout le temps cylindrique. La membrane peut donc être considérée comme un tube mince élastique qui satisfait toutes les exigences de la formule de Lamé. La variation du rayon peut alors être calculée selon l’équation :

∆r = 1 E × (1 − ν)(r2₁P1− r22P2) r2 2− r12 r + (1 + ν)r 2 1r22(P1− P2) r2 2 − r12 1 r (3.23)

où ∆r est la variation de rayon à déterminer ; E et ν sont respectivement le module de Young et le coefficient de Poisson de la condition limite, P1et P2 sont respectivement la

pression latérale actuelle et la pression de confinement cible, r₁et r₂sont respectivement les rayons interne et externe du cylindre.

Il faut remarquer que la pression de confinement dans l’essai triaxial expérimental vient de l’eau de la cellule triaxiale. Mais la pression latérale dans la simulation est exercée par la condition limite cylindrique. Pour éviter une variation de rayon ∆r entre deux pas de temps trop importante, il faut que la rigidité de la membrane soit suffisante selon la formule de Lamé (E plus grand,∆r plus faible). Dans nos simulations, le module du cylindre est fixé à la même valeur que celui des particules.

L’essentiel de la préparation de l’empilement isotrope est de trouver un état où la contrainte latérale est équivalente à la contrainte axiale.

Dans cette étape, on "rallume" tout d’abord le coefficient de frottements inter- particulaires et le frottement entre les particules et la paroi.

Table 3.4: Tableau de paramètres de simulations pour les exemples de la préparation isotrope et phase de cisaillement présenté

Module de Young granin et paroi 65GPa

Coefficient de Poisson 0,25

Coefficient de Frottement grain-grain µ_gg 0,15 Coefficient de Frottement grain-paroi µ_gw 0,05 Coefficient de Frottement grain-pierre poreuse µgp 0,25 Coefficient de Roulement grain-grain µgrr 0,01

Coefficient amortissement 4mm 3, 5 × 10−6

Pression de confinement Pconf(kP a) 50 ;100 ;200 ;300

Pas de temps ∆t(s) 5 × 10−8

Vitesse de cisaillement ν 0,04

3.4.5.1 Chemin de chargement isotrope en contrainte

La Figure 3.18 page 102 montre l’algorithme de la préparation de l’empilement en suivant un chemin isotrope. Au début de la procédure de consolidation isotrope, la pression de confinement et de la pression axiale sont à peu près nulles. Nous avons choisi d’augmenter progressivement la pression axiale puis, pour chaque incrément, de faire varier le rayon du cylindre pour égaliser les pressions axiale et radiale. La pression

P2 (pression cible dans la formule de Lamé) est donc fixée à la valeur de la pression

axiale alors que la pression P₁ correspond à la pression latérale intérieure. Ce processus est répété jusqu’à ce que les pressions axiale et radiale soient toutes deux égales à la pression de confinement désirée.

Figure 3.18: Algorithme d’une préparation en suivant un chemin isotrope

Figure 3.19: Variation des contraintes axiale σ1 et latérale σ3 lors de la préparation

isotrope d’échantillons à 50, 100, 200 et 300 kPa.

La Figure 3.19 page 102 montre les variations des pressions axiale et latérale pour atteindre quatre pressions de confinement de 50 kPa, 100 kPa, 200 kPa et 300 kPa. On remarque d’une part qu’à la fin de cette procédure, la pression latérale et la pression axiale sont toutes deux identiques à la pression de confinement visée. D’autre part, on constate que les pressions axiale et latérale sont identiques à tout moment de la préparation, le chemin suivi est donc bien isotrope.

3.4.5.2 Etape de cisaillement

Dans l’étape de cisaillement, nous avons besoin à la fois de maintenir la contrainte latérale autour de la pression de consigne, et d’augmenter la contrainte axiale pour incrémenter le déviateur. L’algorithme de la Figure 3.20 page 103 montre la procédure de cisaillement. Le plateau descend avec une vitesse constante, la contrainte latérale est

comparée à la consigne à chaque itération. Si la contrainte latérale est mois importante que la consigne, le plateau continue à descendre sans modifier le rayon du cylindre. Dans le cas contraire, le plateau continue aussi à descendre à vitesse constante, mais la formule de Lamé est appliquée afin de modifier le rayon de la condition cylindre pour que la contrainte latérale soit maintenue égale à la consigne. La procédure de cisaillement est systématiquement poursuivie jusqu’à une déformation axiale de 15%.

Figure 3.20: Algorithme de contrôle de la contrainte latérale dans la phase de cisaille- ment

Pression axiale Pression de confinement

Figure 3.21: Variation de la contrainte latérale et de la contrainte axiale

La Figure 3.20 page 103 montre un exemple de variation de la contrainte latérale et de la contrainte axiale au cours de la phase de cisaillement. On voit que la contrainte

latérale σ₃ est maintenue constante tantdis que la contrainte σ₁ augmente lorsque la déformation axiale augmente jusqu’à une valeur pic. Ensuite, elle diminue au cours du temps et à la fin se stabilise vers une contrainte résiduelle. Cette allure de la courbe de la contrainte σ₁ est similaire à une courbe déviatorique type obtenue sur un échantillon dense dans le chapitre 1.