Loi de parois modifiée dans le cas des parois rugueuses

La section précédente décrit les profils de vitesse qui se développent sur des surfaces lisses. Cependant, la plupart des écoulements réels se développent sur des surfaces rugueuses. La rugosité augmente le frottement à la paroi et joue un rôle prédominant dans le transport de quantité de mouvement, de masse et de chaleur. On comprend dès lors que la bonne compréhen-sion des phénomènes, qui régissent les écoulements se développant sur des surfaces rugueuses constitue souvent un préalable de grande importance. Les travaux expérimentaux de Nikuradse en 1933 [48] sont parmi les plus importants dans l’étude de l’influence des rugosités des surfaces. La rugosité d’une paroi est déterminée selon plusieurs critères. Ainsi, la distribution, la forme géométrique, la densité et la hauteur des irrégularités de la surface peuvent servir à dé-finir la rugosité. En ce qui concerne le développement de la couche limite turbulente sur une telle surface, les expériences de Cebeci et Bradshaw (1977) [9] montrent que, si les rugosités ont une hauteur plus petite que l’épaisseur de la sous-couche visqueuse, il n’y’a pas d’influence des rugosités ni sur le profil des vitesses ni sur le frottement à la paroi. Il s’agit des surfaces lisses du point de vue aérodynamique. Il s’ensuit que le caractère aérodynamique d’une surface rugueuse donnée peut varier, puisque l’épaisseur de la couche limite et le nombre de Reynolds

Re_x changent le long de cette même surface. Ainsi une surface qui appararaît rugueuse en début du développement de la couche limite peut devenir aérodynamiquement lisse.

Les expériences montrent que la distribution des vitesses reste valable indépendamment de la rugosité de la paroi. Selon l’analyse dimensionelle, la loi de paroi pour une surface présentant des irrégularités uniformes s’écrit sous la forme :

u⁺ =φ(y⁺, k_r⁺) (II.5) où k+

r est la hauteur adimensionnelle des rugosités qui exprime le nombre de Reynolds en fonction de la hauteur des rugosités k_r et de la vitesse de frottement u_τ, soit :

k⁺_r = ^kru_τ

ν_f (II.6)

Dans la région complètement turbulente de la zone interne (il est accepté que l’influence directe de la rugosité se fait sentir seulement très près de la paroi, et qu’un peu plus loin, dans la région développée, l’écoulement est indépendant de la rugosité), la loi de paroi pour une surface ayant des irrégularités uniformes est similaire à celle des surfaces lisses sauf que la constante c

dans l’équation II.3devient une fonction de k_r⁺ et du type des rugosités. Dans cette région, la loi de paroi est déplacée de ∆u⁺ et peut être écrite comme :

u⁺= ¹

κlny⁺+c−∆u⁺ (II.7) Cela implique que dans la zone logarithmique, la ligne droite représentée sur la figure II.16

est déplacée dans le diagramme parallèlement à elle même vers le bas. L’importance du dépla-cement dépend de la hauteur des rugosités ainsi que du type des rugosités. Pour les valeurs de

k⁺_r inférieures approximativement à 5, le déplacement vertical ∆u⁺ se rapproche de zéro , sauf pour les grandes rugosités qui dépassent l’épaisseur de la sous-couche visqueuse. Il est donc nécessaire, de considérer trois régimes en fonction de la taille k_r des éléments rugueux :

– Une zone lisse (k+

r < 5), où les irrégularités sont limitées à l’intérieur de la sous-couche visqueuse. La viscosité est dominante et aucun effet de la rugosité n’est observé. Le régime peut être considéré comme lisse ;

– Une région transitoire (5< k+

r <90), où les irrégularités sont suffisamment hautes pour s’étendre en partie à l’extérieur de la sous-couche laminaire,

– Une région complètement rugueuse (k+

r > 90), le long de laquelle toutes les irrégularités de surface sont hors de la sous-couche laminaire.

La condition du régime lisse du point de vue hydrodynamique est vérifiée quand la hauteur des rugosités est faible et ne dépasse pas l’épaisseur de la sous-couche visqueuse. Par contre, le régime est considéré complètement rugueux quand la hauteur des rugosités est si large que la sous-couche visqueuse est complètement éliminée, ainsi l’écoulement sera indépendant de la viscosité moléculaire. Du fait que les contraintes visqueuses continuent à influencer en régime transitoire, le type des rugosités a un effet relativement important sur le déplacement du profil de vitesse.

Dans Fluent, le régime rugueux est divisé en trois régimes et les formules proposées par Cebeci et Bradshaw basées sur les données de Nikuradse [9] sont adoptées pour calculer le déplacement ∆u+ propre à chaque régime :

– Régime lisse : ∆u⁺ = 0 (II.8) – Régime transitoire : ∆u⁺ = ¹ κ^ln " k+ r −2.25 87.75 ^+Crk_r⁺ # ×sinⁿ0.4258 ln(k⁺_r)−0.811o (II.9) oùC_r est la constante de rugosité qui dépend du type de rugosité.

– Régime pleinement rugueux :

∆u⁺ = ¹

κ^ln

1 +Crk⁺_r (II.10) En conclusion, l’état de surface constitu un élément important dans la compréhension des phénomènes turbulents et de transfert et a été relevé par beaucoup de chercheurs comme Antonia, Choi ou Jimenez. Des travaux récents de Gioia et al. (2006) [17], [18] et Goldendeld (2006) [19] montrent encore que l’étude de la rugosité est un élément clef dans la recherche d’une description théorique propre de la turbulence. Cependant, bien que la couche limite rugueuse ait été très étudiée, en particulier ce qui concerne la communication entre la région interne et externe, il existe un point très important qui n’a pas été suffisamment relevé, au moins à

notre connaissance. Comme on l’a expliqué précédemment, le régime est considéré comme lisse quand la taille des éléments rugueux est plus petite que 5 unités de paroi, c’est-à-dire, quand la rugosité est complètement immergée dans la sous-couche visqueuse. Ce principe n’a pas fait l’objet d’études intensives, sans doute à cause des difficultés à mesurer les rugosités très près de la paroi.