I.3 La modélisation macroscopique du comportement plastique
I.3.3 Loi d’écrouissage isotrope
L’écrouissage isotrope permet la modélisation du durcissement mécanique lors d’une transformation plastique. L’effet de ce phénomène est une dilatation de la surface de plasticité au cours de la déformation plastique.
Plusieurs lois de comportement existent pour la modélisation de l’écrouissage iso- trope, notamment des approches très macroscopiques avec des lois phénoménologiques et des approches plus microstructurales, avec l’intégration de variables internes, repré- sentatives de l’évolution microstructurale.
I.3.3.a Les approches macroscopiques
Ces lois d’écrouissage isotrope permettent la modélisation du durcissement méca- nique par des fonctions tenant compte de variables macroscopiques telles que la défor- mation plastique équivalente ¯p et la vitesse de déformation plastique équivalente ˙¯p.
On peut citer les lois simples permettant la modélisation du durcissement mécanique uniquement, telles que la loi de Voce (équationI.41) et la loi de Swift (équationI.42) :
σy = K(1 − exp(−b¯p)) (I.41)
σy = K(0+ ¯p)n (I.42)
De nombreuses autres lois permettent la modélisation du durcissement mécanique, ce- pendant, l’écrouissage isotrope est composé à la fois d’une phase de durcissement, puis une phase d’adoucissement. Ces lois permettent uniquement la modélisation de la pre- mière d’entre elles. Des lois plus riches [Gavrus96] peuvent prendre en compte toutes ces phases par l’intermédiaire de trois fonctions permettant la modélisation du durcis- sement mécanique Kecr, de l’adoucissement W et de la saturation Ksat :
σy = Kecr(1 − W ) + W Ksat (I.43)
La courbe représentative de cette fonction peut donc être décomposée en trois parties (Fig. I.34), plus ou moins importantes selon le matériau et les paramètres tels que la température ou la vitesse de déformation :
– partie 1 : écrouissage mécanique où la contrainte équivalente augmente fortement – partie 2 : adoucissement où la contrainte équivalente diminue legérement
– partie 3 : saturation, où la contrainte équivalente stagne pour atteindre un palier avant la rupture, modélisée par une constante Ksat
De nombreuses fonctions existent pour modéliser chaque partie de ces lois, avec des degrés de précision différents. Le nombre de paramètres peut varier de trois à quinze.
i) Modélisation du durcissement mécanique. La fonction d’écrouissage modélise le durcissement mécanique de la surface de plasticité. Plusieurs lois permettant la re- présentation de cette partie du comportement. On peut citer les lois de Voce (équation
Figure I.34 – Modélisation du comportement plastique par une loi adoucissante donc dépendante de la vitesse de déformation plastique équivalente et à la température T : Kecr = K (0+ ¯p)nexp β T ! ˙¯p (I.44)
Avec K, 0, n et β, quatre paramètres à identifier. On peut raffiner la description de
l’écrouissage en ajoutant des dépendances à la température et à la déformation plastique pour les paramètres n et m :
n = n0+ n1¯p ; m = m0+ m1¯p (I.45)
La loi de Nemat-Nasser [Nemat-Nasser99] permet la modélisation d’un alliage de titane commercialement pur, en tenant compte des mécanismes microstructuraux et de la température : Kecr = D1 1 − −D2T ln ˙¯p D3 ! + ln (f (¯p, T )) !!1/D5 1/D6 f (¯p, T ) + D7¯pD8 (I.46) où la fonction f est la suivante :
f (¯, T ) = 1 + D4 1 − T Tm 2!√ ¯ p (I.47)
Il y a donc huit paramètres Di à identifier pour pouvoir utiliser cette loi. La constante
Tm est la température de fusion de l’alliage.
Et enfin, les lois multiplicatives permettent une modélisation de la phase d’écrouis- sage par la multiplication de lois de comportement simples, toutes dépendantes d’une
variable différente : Kecr = σ0+ Q (1 − exp(−b¯p)) + K0 T ¯ pexp(α/T ) 1 + a vln 1 + ˙¯p ˙0 !! (I.48)
De nombreuses possibilités existent pour modéliser le durcissement mécanique d’un métal lors de sa déformation plastique. Quelques-unes ont été décrites ci-dessus. Dans les codes de calcul, les lois de Norton-Hoff (équation I.44) ou équivalentes sont les plus utilisées, notamment dans le logiciel Forge R et Abaqus R.
ii) Modélisation de l’adoucissement Durant la déformation d’un métal, trois phé- nomènes sont en concurrence, et leur rôle est plus ou moins important selon la défor- mation plastique atteinte et la microstructure du matériau. On peut distinguer deux phénomènes responsables de l’adoucissement activé à partir d’un certain niveau de dé- formation plastique. Ceux ci sont la restauration dynamique et la recristallisation dy- namique. La figureI.35montre l’importance de chaque phénomène lors du chargement plastique d’un matériau. Cette importance est soumise à l’environnement (température) et à la vitesse de la sollicitation mécanique. Cependant, l’adoucissement W, utilisé dans l’équationI.43, doit modéliser la recristallisation dynamique. Il s’agit du principal phé- nomène responsable de la chute du niveau de contrainte, par la création d’une nouvelle structure de grains dans un matériau déformé, pour réduire la densité de dislocations.
Figure I.35 – Illustration schématique de la concurrence entre les phénomènes de durcissement mécanique, de restauration dynamique et de recristallisation dynamique pendant la déformation plastique [Lissel06]
Pour caractériser la cinétique de la recristallisation dynamique, on définit W comme la fraction de grains recristallisés, donc évoluant entre 0 et 1. Avrami propose un modèle mathématique pour la modélisation de la croissance d’une phase [Touache06] :
Xd= 1 − exp(−r(T, ˙¯)(
¯
− ¯p
˙¯p
Il faut donc déterminer les deux paramètres du matériau r et n, permettant la modé- lisation de la recristallisation dynamique lors de la déformation plastique des alliages de titane. Les lois de comportement étant destinées à une utilisation macroscopique pour la simulation du formage de pièces industrielles, une version simplifiée de la loi d’Avrami avec un seul paramètre r peut être utilisée [Gavrus96] :
Xd= 1 − exp(−r¯p) (I.50)
Cependant cette modélisation peut être affinée avec trois constantes r0, r1 et r2 pour
prendre en compte la sensibilité à la vitesse de déformation et à la température en posant
r = (r0 + rT1) ˙¯pr
2
. La fonction d’adoucissement est donc modélisée par des fonctions simples, dont le caractère est fortement macroscopique. D’autres modèles existent, mais des variables microstructurales interviennent dans la définition de la phase recristallisée. On préférera, dans ce cas, utiliser une loi de comportement à variable interne pour modéliser l’écrouissage isotrope.