L’objectivité de la formulation

L’objectivité est la propriété fondamentale, qui exprime l’invariance des tenseurs par rapport à certaines transformations. Dans notre cas, on se limitera à des mouvement de corps rigide, et notamment des rotations rigides. Ce principe impose l’indépendance des grandeurs tensorielles, par rapport à l’observateur qui les évalue. On peut citer, par exemple, le tenseur des déformations, qui ne serait être nul pour un observateur, et non nul pour un autre. Par contre les notions de vitesse, d’accélération d’une particule sont liées à un référentiel, et ces variables ne sont pas objectives. En effet, ces variables sont dépendantes de l’observateur et leur valeur varie suivant le référentiel. L’invariance par rapport à une rotation rigide est le paramètre qui permet de déterminer l’objectivité des grandeurs tensorielles. On peut citer comme tenseur objectif le tenseur des contraintes de Cauchy [σ], le tenseur des taux de déformation [D]. Par contre, tout ce qui a attrait à la notion de vitesse, tel le gradient des vitesses [L], ou le vecteur vitesse ~v n’est pas objectif, car la dépendance au référentiel observateur est prépondérante.

Les lois de comportements sont exprimées dans un repère mobile, réactualisé par le gradient de la transformation [F], tandis que les équations d’équilibre sont résolues dans le repère de référence. Pour pouvoir établir l’équilibre du milieu continu discrétisé, toutes les contraintes doivent être exprimées dans le même repère et non dans des bases différentes d’un éléments finis à l’autre. Les calculs élasto-plastiques doivent donc intégrer l’orientation des axes d’anisotropie. Deux possibilités existent (Fig. II.10) :

1. Transporter les grandeurs tensorielles dans le repère matériau pour calculer les incréments de contraintes et ensuite revenir dans (Méthode 1) le repère référence. 2. Transporter les lois de comportement dans un repère de référence et effectuer les

calculs dans ce repère. (Méthode 2)

Nous allons essayer d’évaluer la pertinence de méthodes sur un test de cisaillement simple.

Figure II.10 – Possibilités de calcul de l’incrément de contrainte en tenant compte de la formulation anisotrope

Afin de simplifier les calculs, on considèrera uniquement un comportement élas- tique anisotrope en contraintes planes. Cette loi de comportement permettra de vérifier grâce à des calculs analytiques, l’objectivité de la formulation. On considère donc un comportement élastique anisotrope, défini par la matrice [Ca] telle que :

[ ˙S]mat= [Ca] [ ˙]mat, [Ca] =     C11 C12 0 C21 C22 0 0 0 C33     (II.42)

Le test analytique du cisaillement simple va permettre de faire un choix parmi ces deux possibilités en comparant les résultats analytiques à ceux obtenus avec Abaqus R où deux routines utilisateurs "Vumat" représentant les deux choix possibles ont été implémentées. Le logiciel permet de travailler sur un seul élément quadrangle pour se rapprocher au maximum du cas analytique. Le repère de référence du logiciel Abaqus R est le repère de Green-Naghdi, réactualisé par la rotation moyenne [R].

Les calculs analytiques sont détaillées dans l’annexe A, seules les courbes seront présentées dans cette partie. On considère un comportement élastique anisotrope simple, tel que C11= 6 106Mpa, C22= 3 106Mpa et C12= 0.8 106 Mpa. Les autres termes de la

tensorielles du repère de référence au repère matériau. On applique ensuite directement la loi de comportement élastique anisotrope avec les composantes embarquées (équation

II.42) pour déterminer l’incrément de contrainte dans la base locale. Les contraintes calculées seront de nouveau transportées dans le repère de référence pour la résolution des équations d’équilibre. Dans le second modèle, la loi de comportement est transportée de la base locale à la base de référence où tous les calculs seront effectués. A chaque instant de la transformation, on applique donc la relation suivante (équation II.35 et

II.39:

[ ˙S]ref = [Tc] [Ca] [T d] [ ˙]ref (II.43)

La figure II.11 représente l’évolution des contraintes en fonction du paramètre de cisaillement γ pour une orientation initiale des axes d’anisotropie à 0/90˚. On observe donc des différences entre les calculs analytiques et les résultats numériques issus du modèle 2, dans lequel la loi de comportement est transportée dans le repère de référence. En revanche le modèle transportant les grandeurs tensorielles dans le repère local et calculant l’incrément de contrainte dans ce repère donne exactement les mêmes résultats que le calcul analytique. Les mêmes tests ont été développés pour une orientation initiale des axes d’anisotropie à 45/135˚(Fig.II.12). Les calculs analytiques sont aussi explicités dans l’annexe A par souci de lisibilité. On retrouve les mêmes conclusions que pour l’exemple précédent, à savoir une bonne corrélation entre analytique et numérique pour le modèle 1, et une erreur importante avec le second modèle.

La même analyse a été effectuée pour les tests de traction biaxiale suivi d’une rota- tion rigide, et de cisaillement pur. Les résultats ne sont pas présentés dans ce manuscrit, car il n’apporte aucune information permettant de choisir une formulation, donnant exactement les mêmes résultats. Seul l’introduction d’une rotation rigide [R] permet de différencier les deux méthodes. La comparaison des courbes analytiques et numériques permet de discrimer la méthode 2. On peut donc en conclure que lorsque les axes d’ani- sotropie ne sont plus orthogonaux, ce qui est le cas lorsqu’ils sont réactualisés par [F], une attention particulière doit être portée à la construction du modèle. A la vue des résultats issus du test de cisaillement simple, la formulation reste objective uniquement si on transporte les grandeurs tensorielles, et non la loi de comportement. Dans l’im- plémentation du modèle, le repère de travail pour le calcul de l’incrément de contrainte sera donc le repère local. Les grandeurs seront transportées, pour les déformations de la base de référence à la base locale, et inversement pour les contraintes.

Figure II.11 – Evolution des contraintes, exprimées dans le repère de Green-Naghdi en fonction du cisaillement γ pour une orientation initiale à 0/90˚