A priori lissant et a priori structurant

Si l’a priori lissant cherche à faire disparaître les structures là où leurs signatures s’apparentent au bruit, ce n’est pas la vocation de l’a priori structurant, qui cherche à maintenir leur existence au maximum avec une teneur en eau homogène.

Le modèle reprend le modèle intermédiaire dans la partie étudiant la variabilité de reconstruction en fonction de la profondeur (section 4.3.3). Les résultats des deux méthodes sont comparés dans la fig. 4.22.

En premier lieu, la cible étant profonde (-40 à -60 m), elle est oblitérée par l’a priori lissant. La contrainte structurante, qui montre unePdf a priori nettement plus permissive (fig. 3.26), l’existence de la cible est nettement plus probable. Si elle a 40 % de chance d’appartenir à l’arrière plan (entre 0-4 % d’eau), il lui en reste 60 % d’appartenir à tout le reste du spectre.

Sur les trois profils, l’estimation moyenne délimite particulièrement efficacement le cube, même si elle est biaisée vers des valeurs de teneur en eau trop forte. Vue la proximité conceptuelle de l’a prioristructurant avec une minimisation de norme L1 de la dérivée spatiale (Farquharson, 2008), il est probablement plus intéressant de prendre la médiane comme estimateur de la teneur en eau. L’absence de symétrie des Pdf a posteriori encourage cette conclusion. Dans cet exemple, la médiane est beaucoup plus proche du modèle réel. En ce qui concerne la distribution du volume d’eau en profondeur, critère plus intégré, l’estimation moyenne du volume en profondeur est très similaire pour les deux méthodes (ce résultat n’est pas présenté).

4.4 Synthèse partielle

Pour satisfaire l’a priori lissant, l’estimation moyenne de la teneur en eau reproduit toujours une struc-ture ponctuelle sous la forme d’une strucstruc-ture de teneur en eau se diffusant graduellement dans les trois directions de l’espace depuis un point d’estimation maximale (fig. 4.23). La géométrie particulière de la diffusion est aussi anisotrope que l’est la matrice du problème direct RMP.

Dans ce cas d’application, la confrontation entre l’ampleur de la signature RMP d’une structure et l’am-pleur du bruit contrôle la restitution de l’image. Si le bruit est fort comparativement à la signature, l’a priori s’exprime énormément. Dans le cas contraire, la structure arrive à en émerger.

Dans le cadre d’una priori lissant, partant d’une solution globalement sans eau, l’a priori s’exprime par un aplatissement global des Pdf a posteriori vers zéro.

Dans la limite de résolution définie par ³₄ d’une taille de boucle en profondeur, les biais de positionnement du maximum sont faibles : le point où la moyenne est maximale est toujours localisé dans un rayon de plus ou moins 10 m autour d’une cible. L’erreur caractérise surtout l’axe des profondeurs. De par l’indétermination sur la répartition spatiale de l’eau, la délimitation des limites latérales et profondes d’une structure est impossible par le biais lissant. L’a prioristructurant propose une alternative beaucoup plus fiable dans ce sens.

Le biais sur l’estimation de la teneur en eau est par contre beaucoup plus sensible à l’a priori. Appliquée

Figure4.22 – Influence du changement d’a priori sur lesPdf a posteriori pour deuxa priori, le premier lissant (en haut) et l’autre structurant (en bas). Au contraire de l’a priori lissant, l’a priori structurant permet un positionnement précis de la cavité modélisée, même lorsque le signal est insuffisant pour donner une restitution précise. L’estimation moyenne de la teneur en eau est cependant légèrement surestimée et son incertitude est de 50 %.

Figure4.23 – Représentation schématique d’une image d’un cube du point de vue lissant

sur une structure très ponctuelle, la régularisation lissante génère une sous-estimation tandis que la régularisation structurante va plutôt pencher vers la surestimation locale.

En contexte peu bruité et dans la limite de ³₄ d’une taille de boucle en profondeur, le biais moyen sur l’estimation du volume total est très faible. La régularisation lissante y introduit une tendance à la surestimation dans la majorité des cas (compris entre 5 et 10 %). La distribution de ce volume dans la profondeur est affectée d’un décalage fictif des zones d’accumulation d’eau vers les zones de plus basses résolutions. Ce processus ne pouvant avoir lieu dans les cas plus profonds, à proximité de la limite de la zone de calcul, on observera une sous-estimation du volume (-5 %) malgré le filtre lissant.

La quantification de l’incertitude exacte est un sujet qui demeure sensible malgré l’utilisation des méthodes de Monte Carlo jugées robustes à ce sujet. Sa grande sensibilité à l’a priori interdit de lui accorder un quelconque degré de significativité si l’a priorin’est pas dûment justifié par d’autres sources d’information.

Toujours est-il que l’incertitude réelle de la RMP en contexte hétérogène est très importante : elle est en principe infinie sans autre information. Le seul prisme qui permet de s’en approcher est celui de l’a priori structurant. LesPdf montrent des comportements pluri-modaux et une incertitude d’environ 50 % (en absolue), pour un bruit de 10 nV. Elle serait moins importante dans un contexte hydrogéologique plus classique (aquifère sédimentaire), qui concorde mieux avec le caractère spatialement intégrateur des mesures RMP et les a priori lissants.

La stratégie à adopter quand à la prise en compte de l’incertitude dépendra du contexte d’étude et des objectifs scientifiques.

L’a priori lissant a tendance a faire disparaître les hétérogénéités des modèles, là où leur existence est, au sens du signal et de l’incertitude sur la mesure, hautement improbables. L’a priori structurant a tendance à les accentuer au maximum, à mesure que l’incertitude sur la mesure croît.

Ainsi, au travers du prisme de la philosophie du pire, il est possible de proposer une stratégie d’application globale du choix de l’a priori : l’a priori lissant est particulièrement souhaitable dans un contexte où l’eau est recherché au titre de richesse. D’abord, l’estimation y est minimisée car l’eau est diffusée dans l’espace. L’incertitude quant à sa faible teneur en eau est minimale, tandis qu’elle est maximale là où elle semble importante. L’a priori structurant est souhaitable dans un contexte où l’eau est indésirable voire dangereuse. L’estimation moyenne de la teneur en eau y est localement surestimée et l’incertitude y est très importante.