Convergence/exploration et a priori

Les deux desseins d’une méthode de Monte Carlo sont de converger rapidement vers des solutions d’intérêt (capacité de convergence), tout en permettant à ces solutions d’être significativement différentes (qualité de l’exploration). Ces deux caractéristiques sont opposées et vont nécessiter un compromis dans l’ajustement des paramètres du problème.

L’efficience se joue dans un rapport entre l’ampleur des modifications (contrôlé par Ndisturbances, dw et dV) et la capacité d’acceptation. L’ampleur des modifications, c’est la quantité d’évolution introduite dans un modèle (section 3.5.2). La capacité d’acceptation est l’aisance avec laquelle l’algorithme accepte les modifications(section 3.5.3). Les deux doivent être réglées au diapason en fonction de l’objectif désiré.

Quatre cas extrêmes se distinguent :

1. Si l’ampleur des modifications (multi-factorielle) est importante et que l’acceptation (T_Φ) est trop faible, l’algorithme explore peu et convergence rapidement.

2. Au contraire si la modification est faible, et l’acceptation forte, il est impossible de converger, tous les modèles bons ou mauvais se valent plus ou moins. L’exploration est lente mais en principe étendue.

3. Si l’acceptation est faible, et que la modification est faible : la convergence va être possible mais lente. L’exploration sera limitée.

4. Si l’acceptation est forte et que la modification est forte : la convergence sera possible, l’exploration sera de qualité, mais l’ajustement sera complexe.

Paramètre influençant la forme des solutions

La forme des solutions est majoritairement contrôlée par les a priori suggérés dans la fonction de per-turbation (Ndisturbances et dw), lequel s’exprime dans un maillage fixé au départ (dV). L’ajustement de ces trois variables de façon différentes peut conduire à des résultats équivalents peu importe le maillage.

Pour étudier la dépendance de la simulation à ces paramètres, des simulations ont été réalisées avec des paramétrage différents. Pour chaque figure de cette section, tous les paramètres sont fixé à l’exception du paramètre dont l’influence est étudiée.

La discrétisation dV du sol est un paramètre qui va permettre d’exprimer facilement et rapidement des teneur en eau sur tout le spectre possible dans des structures de tailles importantes, si elle est grossière.

Le contraire sera vrai si elle est plus fine : plus d’itérations seront nécessaires pour faire apparaître des teneurs en eau éloignées du modèle de départ (fig. 3.16). L’a priori montre que toute la gamme des teneurs en eau est explorée bien que le résultat final en soit exempt : la grossièreté du maillage n’est pas à même de reconstruire la complexité du milieu. Un maillage très fin peut au contraire faire apparaître des valeurs de teneur en eau très fortes dans des volumes réduits alors que l’a priori au départ ne s’y prête pas forcément.

Le choix d’une évolution de teneur en eau faible dw va favoriser l’amortissement des solutions vers des gammes de valeurs peu éloignées du modèle initial (ici un modèle nul). On retrouve cette capacité dans les Pdf a priori et a posteriori (fig. 3.17). Le nombre de perturbations Ndisturbances ne change pas la forme desPdf a priori de manière significative mais il accroît la rapidité avec laquelle la teneur en eau se disperse (ou est éliminée) dans l’espace de calcul et influence grandement la rapidité de la convergence.

Un dernier paramètre, dont le rôle peut paraître négligeable dans la forme des solutions en sorties est le paramètre t_restart, temps que dure une convergence avant le démarrage d’une nouvelle. Au vu de la manière dont la fonction de perturbation "construit" ses solutions de façon progressive, le temps entre deux redémarrages trestart permet à cette dernière d’exprimer sa spécificité de manière plus complexe ce qui à une influence sur les Pdf a priori, et par conséquent a posteriori.

Le temps entre deux redémarrages successifs de la simulation trestart laisse le temps à la fonction de perturbation de construire des solutions plus éloignées du modèle de départ. Ceci est, en soi, extrêmement positif puisque les modèlestotal échantillonnés seront plus complexes. Néanmoins, à nombre total de solution constant, un temps trop long entre deux redémarrages implique un nombre de convergence faibles. Les conséquences en sont que les résultats a posteriori peuvent hériter de biais issus du faible espace d’a priori exploré et non de l’incertitude réelle (voir fig. 3.18).

Influences sur la convergence

Tous les paramètres influencent à leur manière la facilité avec laquelle une méthode de MH est susceptible d’aller reproduire la donnée et avec quelle capacité d’exploration. Beaucoup de combinaisons sont possibles et viables, et il est difficile d’analyser leur spectre.

Normalement le maître-mot dans un algorithme de MH est de créer les perturbations les plus grandes possibles, tout en minimisant le plus possible la variation de Φ : c’est-à-dire en permettant à l’algorithme de suivre les contours équivalents dans l’espace des modèles au moyen de modifications parfaitement équivalentes en terme de signal. C’est proprement impossible d’où l’intérêt du paramètre de température T_Φ.

Figure 3.16 – Influence du maillage dV sur les Pdf a priori eta posteriori extraites au droit du cube contenant 50 % de teneur en eau.

Figure 3.17 – Influence de la quantité d’eau ajoutée ou retirée par itérationdw sur les Pdf a priori eta posteriori extraites au droit du cube contenant 50 % de teneur en eau.

Figure 3.18 – Influence du temps de redémarrage entre deux convergences trestart sur les Pdf a priori eta posteriori extraites au droits du cube contenant 50 % de teneur en eau.

Quand T_Φ → ∞, on réalise une exploration aléatoire sans inférence de la donnée (donc une exploration de l’a priori). Quand T_Φ →σ²/2 on réalise une exploration de l’espace des solutions équilibrée autour de la sphère d’incertitudes générées par le bruit sur la mesure. La fig. 3.19 illustre ces deux cas pour trois différents maillages.

La température du système TΦ permet une convergence rapide et précise si elle se rapproche de 0. Elle permet une exploration étendue si sa valeur est plus importante mais la qualité de l’ajustement des données est moindre. On peut observer ce comportement sur la fig. 3.20.b pour trois valeurs différentes.

TΦ est une grandeur souvent choisie en relation à l’incertitude moyenne sur la mesure σ :

T_Φ =σ²/2 (3.30)

Malgré cette estimation de départ TΦ est la variable d’ajustement privilégiée dans une méthode de MH.

Elle est à minimiser ou à maximiser en fonction de la qualité de la relation entre l’a priori et le modèle à reproduire. Elle se doit d’assurer un taux d’acceptation des modèles compris entre 25 % et 50 %.

Les autres paramètres ont une influence moindre sur la convergence, encore faut-il générer des perturba-tions dont l’importance soit adaptée au modèle que l’on cherche à reconstruire. Dans ce cas-ci, le nombre de perturbation Ndisturbances importe peu (fig. 3.20.c). Il faut en général l’adapter au nombre de para-mètres dont on cherche à obtenir les Pdf, pour que ces dernières soient densément cartographiées. Par contre, La quantité d’eau modifiéedw si elle est trop infime ne permet pas d’explorer rapidement l’espace des paramètres et oblige à réaliser des convergences plus longues, pour une exploration plus minutieuse (fig. 3.20.d).

Dans une optique d’efficacité globale, il est utile de chercher un maillage suffisamment représentatif pour obtenir un ajustement de qualité tout en ayant une convergence rapide. Cela s’obtient prioritairement par le choix d’un maillage le plus grossier possible, mais suffisamment détaillé pour obtenir un ajustement de la donnée satisfaisant. Autre avantage ; qualitatif cette fois : pour un même nombre d’itération, la qualité desPdf en sortie sera supérieure si le nombre de paramètres à estimer est inférieur, les tirages aléatoires

Figure3.19 – Dépendance de la convergence à la discrétisation :a priori(gauche) eta posteriori(droite).

La zone grisée correspond à la zone d’enregistrement des modèles.

Figure3.20 – Dépendances de la convergence aux paramètres contrôlant l’expression de l’a priori : a)dV b)TΦ c)Ndist d)dw. La zone d’enregistrement des solutions est grisée.

se concentrant davantage sur moins de cellules. Dans notre cas d’étude présent (fig. 3.21) on voit que le résultat de l’ajustement des données est maximal avec une convergence rapide pour dV = 20x20x5 m³.