2/01/1996 2/01/1997 2/01/1998 30/12/1998 15
20 25 30 35 40 45 50
30−day ATM options 450−day ATM options
Figure 5.11: Implied volatility of at the money European options on CAC40 index.
datetor stock priceSt. This means that once the smile has been calibrated for a given datet, its shape is fixed for all future dates. Whether or not this is true in real markets can be tested in a model-free way by looking at the implied volatility of at the money options with the same maturity for different dates. Figure 5.11 depicts the behavior of implied volatility of two at the money options on the CAC40 index, expiring in 30 and 450 days.
Since the maturities of available options are different for different dates, to obtain the implied volatility of an option with fixed maturityT for each date, we have taken two maturities, present in the data, closest toT from above and below: T1≤T andT2> T. The implied volatility Σ(T) of the hypothetical option with maturityT was then interpolated using the following formula:
Σ2(T) = Σ2(T1)T2−T
T1−T + Σ2(T2)T−T1
T2−T1
.
As we have seen, in an exponential L´evy model the implied volatility of an option which is at the money and has fixed maturity must not depend on time or stock price. Figure 5.11 shows that in reality this is not so:
both graphs are rapidly varying random functions.
This simple test shows that real markets do not have the “sticky moneyness” property: arrival of new information can alter the form of the smile. The exponential L´evy models are therefore “not random enough”
to account for the time evolution of the smile. Moreover, models based on additive processes, that is, time-inhomogeneous processes with independent increments, although they perform well in calibrating the term structure of implied volatilities for a given date [13], are not likely to describe the time evolution of the smile correctly since in these models the future form of the smile is still a deterministic function of its present shape [13]. To describe the time evolution of the smile in a consistent manner, one may need to introduce additional stochastic factors (e.g. stochastic volatility).
Several models combining jumps and stochastic volatility appeared in the literature. In the Bates [3] model, one of the most popular examples of the class, an independent jump component is added to the Heston stochastic volatility model:
dXt=µdt+p
VtdWtX+dZt, St=S0eXt, (5.34)
dVt=ξ(η−Vt)dt+θp
VtdWtV, dhWV, WXit=ρdt,
where Z is a compound Poisson process with Gaussian jumps. Although Xt is no longer a L´evy process, its characteristic function is known in closed form [13, chapter 15] and the pricing and calibration procedures are similar to those used for L´evy processes.
Outils
91
R´ egularisation des probl` emes mal pos´ es
6.1 Introduction
Ce chapitre commence la deuxi`eme partie de ce polycopi´e, o`u au lieu d’´etudier des mod`eles particuliers, on regarde le probl`eme de calibration en g´en´eral, pour comprendre, dans quelles conditions et avec quelles m´ethodes il peut ˆetre r´esolu. Du point de vue math´ematique, les diff´erents probl`emes de calibration rencontr´es en finance sont souvent des exemples de probl`emes inverses mal pos´es. Dans ce chapitre nous alons ´etudier ces probl`emes dans un cadre abstrait, pour pouvoir traiter les applications en calibration de mod`eles dans les chapitres suivants.
Probl`emes directs et probl`emes inverses La distinction entre un probl`eme direct et un probl`eme inverse n’est pas facile `a d´efinir. On pourrait dire qu’un probl`eme direct consiste `a d´eterminer l’effet `a partir de sa cause:
• En physique: d´eterminer la temp´erature future `a partir de la temp´erature initiale et de conductivit´e thermique
• En finance: calculer les prix des options `a partir du prix initial du sous-jacent et de la loi d’´evolution (e.g.
volatilit´e)
Dans un probl`eme inverse, au contraire, on cherche `a identifier la cause d’un effet observ´e:
• En physique: identifier la conductivit´e thermique `a partir de la temp´erature finale
• En finance: identifier la loi d’´evolution du sous-jacent `a partir des prix d’options
Les probl`emes inverses sont beaucoup plus difficiles `a r´esoudre que les probl`emes directs correspondants car ils sont pour la plupart mal pos´es.
Probl`emes bien pos´es et mal pos´es Un probl`eme bien pos´e peut ˆetre intuitivement d´efini comme un probl`eme ayant les trois propri´et´es suivantes (cette d´efinition est due `a Hadamard):
• Pour toutes donn´ees admissibles, une solution existe.
• Pour toutes donn´ees admissibles, elle est unique.
• La solution d´epend continˆument des donn´ees.
Pour rendre cette d´efinition rigoureuse, on aura besoin de pr´eciser la signification du mot ’admissible’ ainsi que la topologie utilis´ee pour d´efinir la continuit´e. Notons cependant qu’une forme de continuit´e est absolument n´ecessaire car les observations (mesures d’une quantit´e physique ou des observation des prix) contiennent tou-jours un certain niveau de bruit ou d’erreur, et en absence de continuit´e, la solution calcul´ee pour ces donn´ees bruit´ees peut ˆetre tr`es loin de la vraie solution.
L’exemple suivant montre les difficult´es typiques qu’on peut rencontrer quand on cherche `a r´esoudre un probl`eme qui n’est pas bien pos´e.
93
0 1 2 3 4 5 6 7
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
Noisy data True data
0 1 2 3 4 5 6 7
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
Approximate derivative True derivative
Figure 6.1: Gauche: les donn´ees exactes et bruit´ees. Droite: la d´eriv´ee exacte def et la d´eriv´ee approch´ee de fδ avech= 0.03.
Exemple 7(Calcul de la d´eriv´ee). Supposons qu’on cherche `a calculer la d´eriv´eef′(x) d’une fonctionf(x) `a partir d’une observation bruit´ee fδ(x), telle que |f(x)−fδ(x)| < δ pour tout x. La fonction f est suppos´ee diff´erentiable mais sur l’observation bruit´ee aucune hypoth`ese n’est impos´ee. Pour calculer la d´eriv´ee on pourrait utiliser l’approximation suivante:
f′(x)≈fδ(x+h)−fδ(x−h) 2h
Pour approcher la d´eriv´ee avec une grande pr´ecision, on devrait prendreh→0. Cependant, sihest trop petit, les erreurs de donn´ees seront amplifi´ees:
f(x+h)−f(x−h)
2h −fδ(x+h)−fδ(x−h)
2h ∼O
δ h
Ceci est une indication que le probl`eme de diff´erentiation est un probl`eme mal pos´e. Pour diminuer l’erreur due aux donn´ees bruit´ees, on peut augmenterh, mais cela introduit une erreur de discr´etisation. Si on sait que
|f′′′(x)| ≤C alors
f(x+h)−f(x−h)
2h −f′(x)≈ h2C 12 L’erreur totaleε(h) = h122C+δh atteint son minimum pour
hopt= 6δ
C 1/3
, ε(hopt)∼δ2/3
Conclusions:
• Dans un probl`eme mal pos´e les erreurs d’observation sont amplifi´ees dans la solution de fa¸con incontrˆolable.
• Information a priori sur la solution (ici, la borne sur f′′′) et le niveau d’erreur (ici, la valeur deδ) peut ˆetre utilis´ee pour approcher la solution de fa¸con stable.
• Une amplification d’erreurs est in´evitable: la pr´ecision de l’approximation de la solution est toujours moins bonne que la pr´ecision des donn´ees d’entr´ee.
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
h
Total error
0 1 2 3 4 5 6 7
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Approximate derivative True derivative
Figure 6.2: Gauche: Erreur totale (donn´ees + discr´etisation) en fonction de pas de discr´etisationh. Droite: la d´eriv´ee exacte def et la d´eriv´ee approch´ee defδ avechopt= 0.39.