Limite lente-rapide du PDMP en dimension infinie

φn(t, .)−φn

L¹ ≤M e^−δt. (4.12)

Ce résultat découle des propriétés du semigroupe associé à l’opérateur linéarisé Oⁿ= ∆·+R_n·et nous reprenons sa preuve dans l’Appendice A.

Remarque. i) La constanteδ(n)obtenue dans cette preuve est de l’ordre du trou spectralλⁿ₁−λⁿ₂ de l’opérateur linéariséOⁿ. Ainsi, les paramètresδ(n)etM(n, η, K) qui interviennent dans (4.12)sont fortement dépendants de n.

ii) Nous nous intéressons ici à la vitesse de convergence en norme k·k

L¹ mais des résultats similaires peuvent être obtenus en particulier pour la norme k·k

L². Dans notre cadre, nous verrons dans la suite qu’il est naturel de considérer la norme k·k

L¹

car le processus Ndépend de la composante déterministe H via la moyenne pondérée R B(y)H(y)dy.

4.4 Limite lente-rapide du PDMP en dimension infinie

Dans cette partie, nous allons considérer un changement d’échelle de la compo-sante rapide du processus déterministe par morceaux qui correspond à l’hypothèse que la masse des prédateurs est infiniment plus faible que celle des proies. En suivant la théorie métabolique [27, 174, 83, 81], nous supposons que lorsque la masse des prédateurs diminue, leurs taux de reproduction et de mort augmentent. Nous suppo-sons de plus que lorsque leur masse diminue, la fréquence des mutations augmente ce qui est une conséquence directe de l’augmentation du nombre de naissances.

4.4. Limite lente-rapide du PDMP en dimension infinie 163

Ainsi, nous introduisons un paramètreεet nous construisons un processus(N^ε, H^ε) à valeurs dans N×H¹(Y) tel que







∂_tH_t^ε(y) = 1 ε h

m∆_yH_t^ε(y) +H_t^ε(y)

R(N_t^ε, y)− Z

Y

C(y⁰)H_t^ε(y⁰)dy⁰i

∂_νH_t^ε(y) = 0, ∀(t, y)∈R+×∂Y

(4.13)

et l’évolution du processus N^ε reste inchangée mais dépend du processusH^ε. Ce changement d’échelle correspond à une accélération de la composante rapide du processus couplé entre les sauts de sa composante lente. En effet, siφ^ε_nest la solution de (4.13) lorsque N_t^ε=n, alors pour tout t≥0

φ^ε_n(t, .) =φ_n(t ε, .).

Dans la suite, nous nous intéressons à la limite lorsqueεtend vers0du processus N^ε. Notre intuition est la suivante : lorsque ε → 0, les dynamiques transitoires de la densité H^ε sont extrêmement rapides car la convergence de la solution de (4.3) vers son équilibre stationnaire est exponentiellement rapide. Ce résultat s’interprète biologiquement de la façon suivante : dans la limite de petite masse des prédateurs, le taux de mort des proies ne doit dépendre que de la population stationnaire de prédateurs. Ainsi, les proies évoluent en présence d’une population de prédateurs idéalement adaptée.

Nous introduisons une hypothèse supplémentaire sur les paramètres du modèle Hypothèses B. On suppose que

y∈Yinf R₁(y) = inf

y∈YrB(y)−D(y)>0.

Ainsi la population de prédateurs est sur-critique. Sous cette hypothèse, nous remarquons facilement que la condition (4.11) est vérifiée et donc pour toutn∈N^∗, λⁿ₁ > 0. De plus, cette hypothèse va nous permettre de minorer la norme L¹ des solutions de (4.3) et (4.13).

Proposition 4.4.1. Nous supposons que les hypothèses (A) et (B) sont vérifiées.

Alors pour tout n ∈N^∗ et toute condition initiale φ0 ∈L²(Y,R+) vérifiant de plus

y∈YinfR₁(y)/C ≤ kφ₀k_L

1 ≤nrB/C, nous obtenons que pour tout t≥0 infR₁(y)

C ≤ kφ_n,φ0(t, .)k

L¹ ≤ nrB C .

Démonstration. Rappelons que ρ_n,φ0(t) = R

Yφ_n,φ0(t, y)dy. En intégrant l’équation (4.3), nous obtenons que

d

dtρ(t) =ρ(t)Z

R_n(y)φn,φ0(t, y)

ρ(t) dy−ρ(t) Z

Y

C(y)φn,φ0(t, y) ρ(t) dy

. Nous en déduisons d’une part que

d

dtρ(t)≤(nrB−Cρ(t))ρ(t).

et donc que∀t≥0

ρ(t)≤ρ(0)∨nrB C . D’autre part, pour la minoration,

d

dtρ(t)≥(infR₁(y)−Cρ(t))ρ(t).

Ainsi, avec l’hypothèse (B),∀t≥0

ρ(t)≥ρ(0)∧infR₁(y)

C ,

avec a∧b= min(a, b).

Nous pouvons maintenant énoncer le théorème.

Théorème 4.4.2. Sous les hypothèses A et B, supposons de plus que la suite des conditions initiales (N₀^ε, H₀^ε)∈N^∗×L²(Y) vérifie les conditions suivantes : la suite (N₀^ε, H₀^ε)converge en loi vers(N0, H0)∈N^∗×L²(Y)et il existe une constanteL0 >0 tel que pour tout ε >0,

N₀^ε≤L0 et infR₁(y)

C ≤

Z

Y

H₀^ε(y)dy≤ rBL0

C p.s. (4.14)

Alors, pour tout T >0, le processusN^ε converge en loi dansD([0, T],N^∗) vers N le processus de naissance et mort sur N^∗ dont le générateur infinitésimal L est défini pour toute fonction f :N^∗ →Rbornée par

Lf(n) = f(n+ 1)−f(n) bn + f(n−1)−f(n)

n d+cn+ Z

Y

B(y)φ_n(y)dy 1n≥2

(4.15)

où φn est l’unique solution stationnaire strictement positive de (4.3).

4.4. Limite lente-rapide du PDMP en dimension infinie 165

Démonstration. Fixons T > 0. La preuve se structure en plusieurs étapes. Nous montrons tout d’abord l’unicité de la solution du problème de martingales associé au générateur (4.15). Puis, à l’aide d’une version tronquée du processus(N^ε, H^ε), nous montrons la convergence du processus N^ε vers le processus moyenné.

Etape 1 : Unicité de la solution du problème de martingales associé à (4.15)

En utilisant un théorème de représentation des martingales associées aux processus de saut (voir par exemple Jacod & Shiryaev [94, Théorème III.2.26 p.157]), il est équi-valent de montrer qu’il existe une unique solution (en loi) de l’équation différentielle stochastique :

N_t=N₀+ Z t

0

Z

R+

1_θ≤bN

s−

−1

bNs−≤ θ ≤N_s¯

b+ d+cNs−+R

YB(y)φ_{N s−}(y)dy

1_{N s−≥2}

Q(ds, dθ), où Qest une mesure ponctuelle de Poisson sur R+×R+ d’intensitéds dθ.

La difficulté consiste à s’assurer que la suite des temps de saut tend vers +∞. Pour cela, remarquons tout d’abord par la Proposition 4.4.1 que ∀n∈N^∗

Z

Y

B(y)φ_n(y)dy≤ rB² C n.

De plus, en suivant Fournier & Méléard [74, Theorème 3.1], nous obtenons que pour tout t≥0 il existe une constante c(t)>0 telle que

E sup

s∈[0,t]

(Ns)²

≤c(t)E((N0)²)<+∞.

Ainsi, la solutionN de cette équation différentielle stochastique est bien définie pour tout t∈R+ et on obtient l’unicité trajectorielle comme dans [74].

Etape 2 : Convergence d’une suite de processus tronqués

Pour montrer la convergence deN^εversN, nous allons utiliser la convergence expo-nentielle donnée par le Théorème 4.3.3. Toutefois, celle-ci n’est valable que pour des conditions initiales bornées dansL¹. C’est pourquoi nous allons définir une suite de processus tronqués (N^ε,L, H^ε,L)_ε, pour chaque L >0de la manière suivante.

Définissons les taux de saut tronqués pour tout n∈N^∗ eth∈L²(Y)

b^L(n) =bn1n≤L, d^L(n, h) =n d+cn+

Z

Y

B(y)h(y)dy

12≤n≤L. (4.16)

Nous construisons pour toutL∈Netε >0, le processus déterministe par morceaux tronqué (N^ε,L, H^ε,L) de condition initiale (N₀^ε, H₀^ε) tel que H^ε,L vérifie (4.13) et le processusN^ε,L saute den→n+ 1à tauxb^L(n)et den→n−1 à tauxd^L(n, H_t^ε,L).

Par l’hypothèse (4.14), pour tout L ≥ L₀ et ε > 0, la condition initiale (N₀^ε, H₀^ε) vérifie N₀^ε≤LetkH₀^εk

L¹ ≤rBL/C presque-sûrement, nous en déduisons à l’aide de la Proposition 4.4.1, que pour toutt≥0 etε >0

N_t^ε,L ≤L+ 1 et kH_t^εk

L¹ ≤ rB(L+ 1)

C p.s. (4.17)

et de plus que

η= infR₁(y)

C ≤ kH_t^εk

L¹ p.s.

• 2A) : Tension des lois des processus tronqués Pour montrer la tension de la suite N^ε,L

εdansD([0, T],N^∗)nous utilisons le critère d’Aldous [8].

Remarquons tout d’abord qu’il découle de (4.17) que pour tout t∈[0, T], sup

ε E( sup

t∈[0,T]

N_t^ε,L)≤L+ 1.

Ainsi, pour tout t≥0 etL≥L₀, la suite N_t^ε,L

ε est tendue dans N^∗.

Nous fixons ensuiteδ >0et des temps d’arrêtsσ ≤τ ≤(σ+δ)∧T pour le processus (N^ε, H^ε). Nous rappelons que l’on déduit du Théorème 4.2.2 (appliqué àf(n, h) =n etf(n, h) =n²) et de la formule d’Itô (cf. [74, Proposition 3.4]) la décomposition en semi-martingale suivante

N_t^ε,L =N₀^ε+ Z t

0

b^L(N_s^ε,L)−d^L(N_s^ε,L, H_s^ε,L)ds+M_t^ε,L, avec M_t^ε,L une martingale de saut pur de variation quadratique

hM^ε,Li_t= Z t

0

b^L(N_s^ε,L) +d^L(N_s^ε,L, H_s^ε,L)ds.

Nous en déduisons donc que

4.4. Limite lente-rapide du PDMP en dimension infinie 167 En utilisant les majorations (4.17), il est facile de voir que le premier terme est borné parCLδ² pourCLune constante strictement positive indépendante deε. Pour le second terme,

où la dernière inégalité est obtenue en utilisant les majorations (4.17).

Ainsi

E

N_τ^ε,L−N_σ^ε,L2

≤(δ+δ²)CL, pour une constanteC_L>0 indépendante deε.

• 2B) : Identification de la limite

Supposons maintenant qu’il existe une sous-suite, toujours notée N^ε,L par commo-dité, qui converge en loi vers N^L. Nous allons montrer que N^L est solution du problème de martingale associé au générateur tronquéL^Ldéfini pour toute fonction f :N→Rbornée par

L^Lf(n) =1n≤LLf(n). (4.18)

En suivant le Théorème 8.10 de Ethier & Kurtz [69, Chapitre 4], il suffit de montrer que pour tout k ∈ N, 0 ≤t1 ≤ · · · ≤tk ≤t ≤t+s≤ T et toutes fonctions f, f1,

Notons A^ε,L le générateur infinitésimal du processus(N^ε,L, H^ε,L) et fˆl’application de N×L²(Y)définie par fˆ(n, h) =f(n). Alors la condition précédente se réécrit :

En utilisant l’expression de A^ε,L donnée par le Théorème 4.2.2, pour tout (n, h) ∈

Il suffit donc de montrer que pour toutt≥0

ε→0limE

Dans la suite, nous notons I_t^ε,L cette espérance.

Pour démontrer cette convergence, nous allons utiliser la convergence exponentielle de la solutionφ_n,hde l’équation aux dérivées partielles (4.3) vers sa solution stationnaire φ_n donnée par le Théorème 4.3.3. Nous appliquons ce Théorème pour η = ^infR1(y)

Pour montrer (4.19), nous allons couper l’intégrale suivant la suite(T_k^ε,L)k∈Ndes temps de saut de N^ε,L. Nous notons φ^ε_k la solution de (4.13) pourn=N^ε,L

T_k^ε,L ayant comme condition initiale H^ε,L

T_k^ε,L. Ainsi sur l’intervalle de temps[T_k^ε,L, T_k+1^ε,L], Finalement en utilisant (4.17), nous en déduisons que

I_t^ε,L≤(L+ 1)E

4.4. Limite lente-rapide du PDMP en dimension infinie 169 En combinant ces deux inégalités nous en déduisons que ∀t≥0

I_t^ε,L≤(L+ 1)M^L E

Notons A^ε,L_t le nombre de sauts du processus des proies avant le tempst, alors pour tout t≥0

I_t^ε,L≤ε(L+ 1)M^L

δ^L E(A^ε,L_t ).

En adaptant àN^ε,Lla construction trajectorielle deNdéfinie en (4.5), nous obtenons que où M etR sont des mesures ponctuelles de Poisson indépendantes d’intensité ds dθ sur R²₊. En utilisant une nouvelle fois les majorations (4.17), nous montrons faci-lement que pour tout t ∈ [0, T] fixé, A^ε,L_t est majoré par une variable aléatoire de

Pour conclure, il suffit de remarquer que la solution du problème de martingales associé à (4.18) est unique. Ceci est une conséquence directe de l’unicité de la solution du problème non tronqué démontrée à la première étape (voir Théorème 6.1 [69, Chapitre 4]).

Remarque. Nous utilisons ici de façon cruciale le fait que le processus tronqué ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs car nous n’avons pas suffisamment d’in-formation sur les comportements des constantesδ,M données par le Théorème 4.3.3.

Etape 3 : Retour au processus non tronqué

Pour revenir au processus non tronqué, nous allons utiliser le résultat suivant qui est une extension directe au cas des processus càdlàg du Lemme 11.1.1 de Stroock &

Varadhan [162].

Lemme 4.4.3 (Lemme 5.3 de Barton et al. [19]). Soit P^(ε) une suite de mesures de probabilités surD(R+,N) et une suite (T^L) strictement croissante de temps d’arrêts (par rapport à la filtration naturelle F) dont la limite est infinie presque-sûrement.

Pour tout L ≥ 1 soit (P^(ε,L))ε une suite relativement compacte de mesures de pro-babilité telle que P^(ε,L) est égale à P^(ε) sur F_TL. Si la mesure P vérifie la condition suivante : pour tout L ≥ 1, toute valeur d’adhérence de (P^(ε,L))ε est égale à P sur F_TL, alors P^(ε) converge vers P lorsque ε→0.

Dans notre cas, le temps d’arrêtτ^Lest défini par τ^L(ξ) = inf{t≥0, ξ_t≥L+ 1}

pour tout ξ∈D(R+,N). Il est clair que la loi du processus limiteN est égale à celle que processus tronquéN^L surF_τL et nous avons montré dans la première étape que P(τ^L(N) ≤t)→_L→∞ 0. Ceci nous permet donc de conclure que N^ε converge en loi vers N.

4.5 Simulations numériques : Applications à l’étude de

Dans le document Modélisation probabiliste et éco-évolutionnaire des communautés proies-prédateurs (Page 171-179)