Les super-classes des matrices uni-triangulaires

La théorie des super-caractères et des super-classes de l’algèbre du groupe des matrices uni-triangulaires est en relation avec la théorie des fonctions symétriques sur des variables non-commutatives, voir [And13]. On commence cette section par la définition des super-classes du groupe uni-triangulaire et on expliquera cette relation à la fin de cette section après avoir donné tout ce qu’il nous faut pour la présenter.

Soit K un corps fini d’ordre q. Pour tout n ∈ N, on note par Un le groupe des matrices uni-triangulaires supérieures à coefficients dans K. Si on note par unla K-algèbre des matrices triangulaires strictement supérieures à coefficients dans K, alors on a, Un = In+ un, où Inest la matrice identité de taille n.

Soit n un entier positif, on définit [[n]] := {(i, j) : 1 ≤ i < j ≤ n}. Une partition d’ensemble π de n, écrite π = B1/B₂/ · · · /B_l, est une famille d’ensembles non-vides Bi tel que B₁t B₂t · · · t B_l = [n]. Les B_isont appelés blocs de π et l(π) est le nombre l de ces blocs. Il faut noter qu’on ne s’intéresse pas à l’ordre des blocs définissant une partition d’ensemble. Par exemple :

σ = 1 2 5/3/4 8 9 10/6 7,

est une partition d’ensemble de 10 et l(σ) = 4. On note par SPn l’ensemble des partitions d’ensemble de n.

Par convention, on met toujours les éléments d’un bloc B en ordre croissant, et pour un bloc B = b₁b₂· · · b_k on associe un ensemble d’arcs, noté D(B),

D(B) := {(b1, b2), (b2, b3), · · · , (bk−1, bk)}.

L’ensemble des arcs d’une partition d’ensemble π, noté D(π) est l’union disjointe des en-sembles des arcs des blocs de π. Par exemple :

D(σ) = {(1 2), (2 5), (4 8), (8 9), (9 10), (6 7)}.

Il est clair que pour une partition d’ensemble π de n, D(π) ⊂ [[n]]. L’inverse n’est pas vrai. Cela veut dire qu’il existe des sous-ensembles de [[n]] qui ne correspondent à aucune partition d’ensemble de n. Par exemple, D = {(1, 2), (1, 3)} ⊂ [[3]] ne peut pas être l’ensemble des arcs d’aucune partition d’ensemble de 3.

Pour une partition d’ensemble π de n, on peut associer une n × n-matrice, noté M (π), triangulaire supérieure dont les entrées sont les entiers 0 et 1. La matrice M (π) est codée par les éléments de D(π). L’entrée mij est 1 si l’arc (i, j) est un élément de D(π) et 0 sinon.

Soit K^∗ = K \ {0}, une partition d’ensemble de n K^∗-colorée est une paire (π, φ), où π est une partition de n et φ : D(π) → K^∗ est une application. On va écrire (π, φ) = ((a₁, α₁), (a₂, α₂), · · · , (a_r, α_r)), où D(π) = {a₁, a₂, · · · , a_r} et α_i = φ(a_i), 1 ≤ i ≤ r. Pour une partition d’ensemble de n K^∗-colorée on peut associer une n × n-matrice triangulaire su-périeure, noté M (π, φ), avec des entrées dans K^∗. La matrice M (π, φ) possède la même forme que M (π) avec l’entrée α(i, j) (au lieu de 1) si l’arc (i, j) est dans l’ensemble D(π).

Soit π une partition d’ensemble de k et soit n un entier plus grand que k. On peut obtenir d’une façon naturelle une partition d’ensemble de n à partir de π en ajoutant les n − k blocs k + 1/k + 2/ · · · /n à π. On note cette partition par π^↑n :

π^↑n:= π/k + 1/k + 2/ · · · /n.

En terme de matrices, M (π^↑n) est la n × n-matrice triangulaire supérieure obtenue de M (π) en ajoutant n − k 0-colonnes et 0-lignes à M (π).

On dit qu’une partition d’ensemble π de n est propre si n n’est pas seul dans son bloc de π. Par exemple, la partition d’ensemble 156/237/4 de 7 est propre mais pas 156/7/234. On note par PSP_n l’ensemble des partitions d’ensembles propres de n. Il y a une bijection naturelle entre SPnet l’ensemble PSP≤n,

PSP≤n:= ^G

1≤k≤n

PSP_k.

COEFFICIENTS DE STRUCTURE DES ALGÈBRES DE DOUBLES-CLASSES

Les super-classes du groupe uni-triangulaire sont indexées par les partitions d’ensemble, K^∗-colorées ,voir [And13] pour plus de détails sur la théorie des caractères et super-classes du groupe uni-triangulaire. Pour tout élément (π, φ) de SP_n(K), l’ensemble des parti-tions d’ensemble K^∗-colorées de n, on note par O_π,φ la U_n-double classe U_nM (π, φ)U_net par K_π,φ= I_n+ O_π,φla super-classe de Unassociée à (π, φ).

Soient (π, φ) et (σ, ψ) deux partitions d’ensembles de k₁ et k₂ respectivement, K-colorées et propres et soit n un entier plus grand que k₁ et k₂. Alors on a :

K_π,φ(n)K_σ,ψ(n) = ^X

(ρ,θ)∈PSP≤n

d^(ρ,θ)_{(π,φ),(σ,ψ)}(n)K_ρ,θ(n). (4.15)

Question 4.35. Est-il possible de donner une propriété de polynomialité en qⁿpour les coeffi-cientsd^(ρ,θ)_{(π,φ),(σ,ψ)}(n) ?

Comme dans le cas de GLn(Fq), H.5 n’est pas vérifiée pour U_n et donc probablement non plus3pour U_n× U_n(car k((U_n× U_n)k1(x, y)(U_n× U_n)k2) = max(k(Uk1

n xUk2

n ), k(Uk1

n yUk2

n )). Il serait donc intéressant de reposer la Question 4.33 afin d’inclure ce nouveau cas dans notre cadre général.

L’étude des super-classes du groupe des matrices uni-triangulaires est en relation avec celle des fonctions symétriques sur des variables non-commutatives. En effet, l’espace vectoriel

SC :=^M

n

SC_n,

où SC_n est l’espace vectoriel engendré par les super-caractères du groupe uni-triangulaire U_n, est isomorphe en tant qu’algèbre de Hopf à l’algèbre des fonctions symétriques en des variables non-commutatives notée NCSym, voir [And13, Section 4.4]. Les fonctions symétriques sur des variables non-commutatives ont été étudiées par Wolf dans [Wol36].

L’algèbre NCSym introduite par Rosas et Sagan dans [RS06] peut être vue comme une extension de l’algèbre des fonctions symétriques Λ définie dans le deuxième chapitre. Elle possède plusieurs familles de base indexées par les partitions d’ensemble similaires à celles des fonctions puissances, monomiales, élémentaires, etc. Pour illustrer, on prend par exemple les fonctions monomiales. Si π ∈ SPn, un monôme de forme π en des variables non-commutatives est un produit x_i1x_i2· · · x_in où i_r = i_s si et seulement si r et s sont dans un même bloc de π. Par exemple x₁x₂x₁x₂ est un monôme de forme 1 3/2 4 en des variables non-commutatives. Si π est une partition d’ensemble, la fonction symétrique monomiale sur des variables non-commutatives m_π est définie comme étant la somme de tous les monômes de forme π en des variables non-commutatives. Par exemple,

m_{1 3/2 4} = x₁x₂x₁x₂+ x₂x₁x₂x₁+ x₁x₃x₁x₃ + x₃x₁x₃x₁ + x₂x₃x₂x₃+ · · · .

La famille (m_π) indexée par les partitions d’ensemble forme une base pour NCSym . Pour plus de détails sur cette algèbre, le lecteur peut voir [Wol36], [RS06], [GS01] et [And13].

3. On suppose, pour arriver à cette conclusion, que les sous-groupes (Un × Un)^k qu’on cherche s’écrivent (U_n)k × (Un)k, ce qui nous paraît raisonnable dans ce cas. Mais rien ne prouve qu’on ne peut pas trouver de sous-groupes de Un× Unqui ne soient pas des produits cartésiens de sous-groupe de Unavec eux-même et pour laquelle l’hypothèse H.5 marche