Convergence des diagrammes de Young

Soit λ = (λ1, · · · , λ_r) une partition. Le diagramme de Young associé à λ est formé de r lignes de cellule tel que la première ligne possède λ₁ cellules, deuxième ligne possède λ₂ cel-lules et ainsi de suite. Par exemple le diagramme de Young associé à (4, 2, 1) avec la convention française est donné par la Figure 2.3.

FIGURE2.3 – Le diagramme de Young associé à (4, 2, 1).

On associe à un diagramme de Young d’une partition λ une fonction lipschitzienne qu’on note λ de la façon suivante. On tourne le diagramme de Young d’une angle de π/2 à gauche, puis on applique une homothétie de rapport√

2, la fonction λ est alors la frontière du diagramme dans les nouvelles coordonnées étendue par la fonction |x|. Par exemple, la fonction associée au diagramme de la partition (4, 2, 1) est présentée dans la figure 2.4 suivante.

x λ(x)

FIGURE2.4 – La fonction associée au diagramme de Young de la partition (4, 2, 1).

Dans [IO02], Ivanov et Olshanski montrent que la fonction normalisée,

λⁿ(x) := √¹ n^λ(

√ nx)

converge en norme k · k∞en probabilité vers la fonction Ω définie ci-dessous, Ω(x) =  2 π(x arcsin(^x₂) +√ 4 − x2) si |x| ≤ 2, |x| si |x| > 2.

Cela veut dire que

kλⁿ− Ωk∞:= sup

x∈R

|λⁿ(x) − Ω(x)|

tend vers 0 en probabilité quand n tend vers l’infini. La convergence en probabilité de la variable aléatoire Fω donnée dans le Corollaire 2.45 est une étape intermédiaire qu’Ivanov et Olshanski ont utilisée pour arriver à leur résultat. En fait, ce résultat a été trouvé pour la première fois, en 1977, par Logan et Shepp, voir [LS77]. Dans la même année, Vershik et Kerov ont donné une preuve indépendante de celle de Logan et Shepp, voir [VK77]. La preuve d’Ivanov et Olshanski passant par les Fg a l’avantage de permettre de décrire aussi les fluctuations de λⁿautour de la forme limite Ω, voir [IO02, Section 7].

L’algèbre de Hecke de la paire (S

_2n

, B

_n

)

Dans le deuxième chapitre on a étudié le centre de l’algèbre d’un groupe particulier, celui du groupe symétrique. Dans ce chapitre on va étudier une algèbre particulière de doubles-classes, celle des doubles-classes de B_n dans S_2n, où B_n est le groupe hyperoctaédral. Cette algèbre est appelée algèbre de Hecke de la paire (S2n, Bn) et a été introduite pour la première fois par James en 1961, voir [Jam61].

Le choix d’étudier cette algèbre est motivé par une longue liste de propriétés similaires à celles du centre de l’algèbre du groupe symétrique. D’abord on va montrer que les doubles-classes de B_ndans S_2n, peuvent être indexées, comme les classes de conjugaison de S_n, par les partitions de n ce qui veut dire que l’algèbre de Hecke de la paire (S2n, Bn) possède une base indexée par les éléments de PP≤n.

D’autre part, les coefficients de structure associés à cette base comptent les graphes dessi-nés sur des surfaces non orientées avec certaines contraintes, comme on va le montrer dans la Section 3.1.2, alors que les coefficients de structure de Z(C[Sn]) comptent les graphes dessinés sur des surfaces orientées avec des contraintes similaires. Ce fait a été prouvé par Goulden et Jackson, voir [GJ96] pour plus de détails.

Un des résultats principaux de cette thèse est une propriété de polynomialité pour les co-efficients de structure de l’algèbre de Hecke de la paire (S2n, B_n) similaire à celle donnée par Farahat et Higman (Théorème 2.20) dans le cas du centre de l’algèbre du groupe symétrique. On va démontrer cette propriété d’une façon combinatoire dans la Section 3.5. Notre démonstra-tion est inspirée de celle d’Ivanov et Kerov [IK99] dans le cas du centre de l’algèbre du groupe symétrique.

Comme dans le cas de Z(C[Sn]), on indexe les coefficients de structure de l’algèbre de Hecke de la paire (S_2n, B_n) par les partitions propres pour faire apparaître naturellement la dépendance en n. Cela nous aide à présenter d’une manière claire notre résultat.

Cette propriété de polynomialité a été présentée par Aker et Can dans [AC12]. Les auteurs de cet article ont suivi l’approche de Farahat et Higman dans leur preuve. Leur théorème de polynomialité tel qu’il apparaît dans [AC12] contient des erreurs. Récemment, après la publi-cation du contenu de ce chapitre Can et Özden ont proposé dans [CÖ14] une correction de la preuve. Le résultat de polynomialité a aussi été trouvé, d’une manière indirecte en utilisant les polynômes de Jack, par Dołe¸ga et Féray, voir [DF14, Proposition 5.3]. Le résultat présenté ici

est plus fort que celui de Dołe¸ga et Féray car nous montrons aussi que les polynômes obtenus ont des coefficients positifs dans une certaine base.

On définit des nouveaux objets combinatoires pour prouver notre résultat. On les appelle les bijections partielles. Elles sont des analogues des permutations partielles, introduites dans [IK99], dans le cas de l’algèbre de Hecke de la paire (S2n, B_n). Dans la Section 3.5, on montre l’existence d’une algèbre universelle qui se projette sur l’algèbre de Hecke de la paire (S_2n, B_n) pour tout n. Cette algèbre est isomorphe à l’algèbre des fonctions symétriques décalées d’ordre 2. Un isomorphisme est explicitement construit à la Section 3.7.

On donne dans la Section 3.6 plusieurs filtrations sur cette algèbre universelle. Cela va nous permettre de majorer le degré des polynômes décrivant les coefficients de structure de l’algèbre de Hecke de la paire (S2n, B_n).

Le résultat principal de ce chapitre a été publié par l’auteur dans [Tou13]. Une version plus détaillée, voir [Tou12], a été soumise à un journal.

3.1 Une algèbre de doubles-classes

Soit n un entier strictement positif. Pour tout entier k ≥ 1, on note par p(k) la paire {2k − 1, 2k}. Le groupe hyperoctaédral B_n est le sous-groupe de S2n formé des permutations qui envoient chaque paire de la forme p(k) sur une autre paire de la même forme :

B_n= {ω ∈ S_2ntel que pour tout 1 ≤ k ≤ n on a ω(p(k)) = p(k⁰) où 1 ≤ k⁰ ≤ n}. Par exemple, la permutation 4 3 1 2 6 5 8 7 de 8 appartient à B4.

L’algèbre de Hecke de la paire (S_2n, B_n) est l’algèbre des doubles-classes de B_ndans S_2n. D’après les notations du premier chapitre, cette algèbre s’écrit C[Bn\ S2n/Bn]. Le Chapitre VII du livre de [Mac95] contient une section dont le but est de montrer que la paire (S2n, B_n) est une paire de Gelfand et d’étudier cette paire.