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Un cadre pour les centres des algèbres de groupe

Dans la sous-section 1.3.2, on a montré que le centre d’une algèbre d’un groupe fini G peut être vu comme étant l’algèbre de doubles-classes de diag(G) dans G × Gopp. Cela nous permet de donner la version des centres d’algèbres de groupe des Théorèmes 4.2 et 4.3.

On considère une suite (Gn)noù Gnest un groupe pour tout n. D’après l’étude faite dans la Section 1.3.2, il faut que la suite (Gn× Gopp

n , diag(Gn))nvérifie les hypothèses H.0 à H.6 de la Section 4.1.1 pour pouvoir appliquer les Théorèmes 4.2 et 4.3. Comme on a déjà mentionné, les hypothèses H.1 à H.6 ne dépendent que de la suite (diag(Gn))n–c’est-à-dire de la suite (Gn)n–. Il reste à voir ce que veut dire que H.0 est vérifiée pour (Gn× Gopp

n , diag(Gn))npour la suite (Gn)n. On montre le lemme suivant :

Lemme 4.20. l’hypothèse H.0 est vérifiée pour (Gn× Gopp

n , diag(Gn))n si et seulement si la suite(Gn)nvérifie l’hypothèse H0.0 suivante :

H0.0 Cg(n + 1) ∩ Gn = Cg(n) pour tout g ∈ Gn, où Cg(n)1est la classe de conjugaison deg dansGn.

1. On a utilisé jusqu’ici Cgpour désigner la classe de conjugaison de g. On préfère la notation Cg(n) dans ce chapitre pour éviter la confusion puisqu’on travaille avec une suite de groupe.

Démonstration. En effet, si (Gn× Gopp

n , diag(Gn))nvérifie H.0 et si y = xgx−1est un élément de Cg(n + 1) ∩ Gnavec g ∈ Gnet x ∈ Gn+1alors

(1, y) = (x−1, x)(1, g)(x, x−1) ∈ diag(Gn+1)(1, g) diag(Gn+1) ∩ Gn× Gopp n . Mais diag(Gn+1)(1, g) diag(Gn+1)∩Gn×Gopp

n n’est autre que diag(Gn)(1, g) diag(Gn) d’après H.0. Cela veut dire qu’il existe x0 ∈ Gn tel que y = x0gx0−1 et donc y ∈ Cg(n). Donc si H.0 est vérifiée pour (Gn× Gopp

n , diag(Gn))nalors H0.0 est vérifiée pour (Gn)n. Réciproquement, si (Gn)nvérifie H0.0 et si (x, y) ∈ diag(Gn+1)(g, f ) diag(Gn+1) avec (x, y), (g, f ) dans Gn×Gopp n

alors il existe t ∈ Gn+1et r ∈ Gn+1tel que :

(x, y) = (t, t−1)(g, f )(r, r−1) = (tgr, r−1f t−1).

Donc xy = tgf t−1 ∈ Cgf(n + 1) ∩ Gn ce qui est Cgf(n) d’après H0.0 (car gf ∈ Gn) donc (x, y) ∈ diag(Gn)(g, f ) diag(Gn) ce qui termine la preuve de ce lemme.

Théorème 4.21. Soit (Gn)n une suite de groupes finis vérifiant l’hypothèse H0.0 et les hypo-thèses H.1 à H.6 de la Section 4.1.1. Soientf, h et g trois éléments de Gn0 pour un entier n0

fixé et soientk1 = k(Cf(n0)), k2 = k(Ch(n0)) et k3 = k(Cg(n0)). Le coefficient de structure cgf,h(n0) de Cg(n0) dans le produit Cf(n0)Ch(n0) est donné par la formule suivante :

cgf,h(n0) = |Cf(n0)||Ch(n0)||Gn0−k1||Gn0−k2| |Gn0||Cg(n0)| X max(k1,k2,k3)≤k≤min(k1+k2,n0),x∈Gk, f−1xh−1∈ Gket est(k1, k2)-minimal xhx−1f ∈Cg (n0) 1 |Gn0−k||Gk1 n0f−1xh−1Gk2 n0 ∩ Gmk1,k2(f−1xh−1)|.

Démonstration. La formule de cgf,h(n0) s’obtient à partir du résultat du Théorème 4.2 dans le cas particulier de la suite (Gn × Gopp

n , diag(Gn))n en utilisant les Propositions 1.10 et 1.11. Comme on suppose que les hypothèses H0.0 et H.1 à H.6 sont vérifiées pour la suite (Gn)nalors la suite (Gn× Gopp

n , diag(Gn))nvérifie les hypothèses H.0 à H.6. Pour retrouver le résultat de ce théorème, on applique le Théorème 4.2 à cette suite pour les éléments (f, 1), (h, 1) et (g, 1). On obtient : c(g,1)(f,1),(h,1)(n0) = |DC(f,1)(n0)||DC(h,1)(n0)|| diag(G)n0−k1|| diag(G)n0−k2| | diag(G)n0||DC(g,1)(n0)| X max(k1,k2,k3)≤k≤min(k1+k2,n0),(x,y)∈Gk×Gk, (f −1 xh−1 , y) ∈ diag(Gk) et est (k1, k2) − minimal

DC(x,y)(n0)=DC(g,1)(n0)

1 | diag(G)n0−k|| diag(G)k1n0(f−1xh−1, y) diag(G)k2

n0∩ diag(G)mk

1 ,k2(f −1 xh−1 ,y)

| .

La condition (f−1xh−1, y) ∈ diag(Gk) équivaut à y = hx−1f et nous permet donc de ramener cette somme sur les éléments de Gk. De plus, la condition DC(x,y)(n0) = DC(g,1)(n0) sera équivaut à xhx−1f ∈ Cg(n0). D’après la Proposition 1.11, on a :

cgf,h(n0) = c

(g,1)

(f,1),(h,1)(n0) |Gn0| .

COEFFICIENTS DE STRUCTURE DES ALGÈBRES DE DOUBLES-CLASSES

En utilisant la Proposition 1.10 et après simplification, on obtient :

cgf,h(n0) = |Cf(n0)||Ch(n0)||Gn0−k1||Gn0−k2| |Gn0||Cg(n0)| X max(k1,k2,k3)≤k≤min(k1+k2,n0),x∈Gk, f−1xh−1∈ Gket est (k1, k2)-minimal xhx−1f ∈Cg (n0) 1 |Gn0−k||Gk1 n0f−1xh−1Gk2 n0 ∩ Gm k1,k2(f−1xh−1)|.

Cela termine la preuve de ce théorème.

Théorème 4.22. Soit (Gn)n une suite de groupes finis vérifiant l’hypothèse H0.0 et les hypo-thèses H.1 à H.6 de la Section 4.1.1. Soientf, h et g trois éléments de Gn0 pour un entiern0fixé et soientk1 = k(Cf(n0)), k2 = k(Ch(n0)) et k3 = k(Cg(n0)). Pour tout n ≥ n0, le coefficient de structurecgf,h(n) de Cg(n) dans le produit Cf(n)Ch(n) du centre de l’algèbre de groupe Gn s’écrit sous la forme suivante :

cgf,h(n) = |Cf(n)||Ch(n)||Gn−k1||Gn−k2| |Gn||Cg(n)| X k3≤k≤max(k1+k2,n) agf,h(k) |Gn−k|, (4.9) où les nombresagf,h(k) sont des rationnels positifs indépendants de n.

Démonstration. C’est une conséquence du Théorème 4.21.

4.5.1 Le centre de l’algèbre du groupe symétrique

On commence par rappeler que les hypothèses H.1 à H.6 sont vérifiées pour les groupes symétriques. Pour appliquer notre résultat il faut vérifier aussi l’hypothèse H0.0 pour la suite (Z(C[Sn]))n. Soit ω une permutation de n, la classe de conjugaison Cω(n) de ω dans Sn cor-respond à l’ensemble des permutations de n ayant le même type-cyclique que ω. De même, en regardant ω comme permutation de n + 1, la classe la classe de conjugaison Cω(n + 1) de ω est l’ensemble des permutations de n + 1 ayant le type-cyclique type-cyclique(ω) ∪ (1) ce qui correspond à Cω(n) quand on prend l’intersection avec Sn. Donc la suite (Z(C[Sn]))nvérifie bien H0.0 et le Théorème 4.22 peut être appliqué dans ce cas.

On rappelle que la famille (Cλ

n)λ∈PP≤n, où Cλ

n = {ω ∈ Sntel que type − cyclique(ω) = λ ∪ (1n−|λ|)}, est une base du centre de l’algèbre du groupe symétrique.

D’après le Corollaire 2.4, la taille de Cλn est ainsi :

|Cλn| = n! zλ· (n − |λ|)!.

Soient λ et δ deux partitions propres. Soit n un entier suffisamment grand, on va appliquer le Théorème 4.22 dans le cas du groupe symétrique. Pour une partition propre ρ fixée, le coefficient de Cρ

n dans le produit CλnCδ

n! zλ(n−|λ|)! n! zδ(n−|δ|)!(n − |λ|)!(n − |δ|)! n!z n! ρ(n−|ρ|)! X |ρ|≤k≤|λ|+|δ| aρλδ(k) 1 (n − k)!, (4.10) ce qui est égal à :

zρ zλzδ X |ρ|≤k≤|λ|+|δ| aρλδ(k)(n − |ρ|)! (n − k)! . (4.11)

Pour tout |ρ| ≤ k, le quotient (n−|ρ|)!(n−k)! est un polynôme en n avec un degré égal à k − |ρ|. Corollaire 4.23. Soient λ et δ deux partitions propres. Soit n un entier suffisamment grand et considérons l’équation : Cλ nCδ n = X ρ partition propre cρλδ(n)Cρ n.

Les coefficients de structure cρλδ(n) sont des polynômes en n avec des coefficients rationnels positifs.

Le résultat de polynomialité de Farahat et Higman, présenté dans le Théorème 2.20, est donc une conséquence directe du Théorème 4.22.

On montre dans l’exemple suivant qu’il est possible, pour certaines partitions, d’obtenir les valeurs exactes des coefficients de structure du centre de l’algèbre du groupe symétrique en appliquant le Théorème 4.21.

Exemple 4.24. Supposons que f et h sont la permutation (1 2) de 2 alors dans ce cas k1 = k2 = 2. Pour n suffisamment grand, la classe de conjugaison dans Sn associée à f et h est C(2,1n−2). Supposons qu’on cherche le coefficient de C(22,1n−4)dans le produitC(2,1n−2)·C(2,1n−2). Dans le Théorème 4.21, la valeur de l’indice de sommation k peut être 2, 3 ou bien 4. Pour trouver le coefficient deC(22,1n−4)dans le produitC(2,1n−2)·C(2,1n−2), il faut chercher d’abord les permutations deS4 qui sont(2, 2)-minimal. Elles sont celles qui envoient {3, 4} à {1, 2}. Il y a 4 telles permutations : (1 3)(2 4), (1 4 2 3), (1 3 2 4) et (1 4)(2 3). L’ensemble de sommation du Théorème 4.21 dans ce cas est formé des permutations suivantes : (1 4)(2 3), (1 4 2 3), (1 3 2 4) et (1 3)(2 4). Pour chaque permutation x d’entre elles, xhx−1f est la permutation (1 2)(3 4) qui est de type-cyclique (22) et |S2

4f−1xh−1S2

4∩ S4| = 4. D’après le Théorème 4.21, le coefficient qu’on cherche est égal à :

n! 2(n−2)! n! 2(n−2)!(n − 2)!(n − 2)! n!22·2·(n−4)!n! · 4 · 1 (n − 4)!4 = 2.

En suivant le même raisonnement de l’Exemple 4.24, on peut retrouver l’équation suivante de l’Exemple 2.9.

C2(1n−2,2) = n(n − 1)

2 C(1n)+ 3C(1n−3,3)+ 2C(1n−4,22).

Cette équation peut être obtenue directement de l’équation du produit A(2) · A(2) donnée dans [IK99] en appliquant le morphisme ψ du Théorème 7.1 du même papier.

COEFFICIENTS DE STRUCTURE DES ALGÈBRES DE DOUBLES-CLASSES

4.5.2 Le centre de l’algèbre du groupe hyperoctaédral

Les classes de conjugaisons du groupe hyperoctaédral Bn sont indexées par des paires de partitions (λ, δ) tels que |λ| + |δ| = n, voir [GK78] ou bien [Ste92]. On commence cette sous-section par détailler ce fait et décrire les classes de conjugaison du groupe hyperoctaédral afin de définir les coefficients de structure de l’algèbre de ce groupe.

Il nous est utile dans cette sous-section d’utiliser la notation suivante :

x(p(i)) := {x(2i − 1), x(2i)},

pour tout x ∈ S2n et tout 1 ≤ i ≤ n. En utilisant cette notation, on a :

Bn= {x ∈ S2ntel que pour tout 1 ≤ i ≤ n, il existe 1 ≤ j ≤ n : x(p(i)) = p(j)}.

Si a ∈ p(i), on désigne par a l’élément de l’ensemble p(i) \ {a}. Donc on a, a = a pour tout a = 1, · · · 2n.

La décomposition d’une permutation de Bn en cycles disjoints possède une forme remar-quable. Elle contient deux sortes de cycle. Supposons que ω est une permutation de Bn et pre-nons un cycle C de cette décomposition, C peut s’écrire ainsi :

C = (a1, · · · , al(C)),

où l(C) est la longueur du cycle C. On peut distinguer deux cas :

1. premier cas : a1 apparaît dans le cycle C, par exemple aj = a1. Comme ω ∈ Bn et ω(a1) = a2, on a ω(a1) = a2 = ω(aj). De même comme ω(aj−1) = a1, on a ω(aj−1) = a1 ce qui veut dire que al(C)= aj−1. Donc,

C = (a1, · · · aj−1, a1, · · · , aj−1)

et l(C) = 2(j − 1) est paire. On va noter un tel cycle par (O, O).

2. deuxième cas : a1 n’apparaît pas dans le cycle C. Alors prenons le cycle C0 qui contient a1. Comme ω(a1) = a2 et ω ∈ Bn, on a ω(a1) = a2 et ainsi de suite. Cela veut dire que le cycle C0 est de la forme suivante,

C0 = (a1, a2, · · · , al(C))

et que C et C0apparaissent dans la décomposition de ω. On va maintenant noter C au lieu de C0.

Supposons maintenant que la décomposition d’une permutation ω de Bnest ainsi, ω = C1C1C2C2· · · CkCk(O1, O1)(O2, O2) · · · (Ol, Ol).

Soit λ la partition dont les parts sont les longueurs des cycles Ci, i = 1, · · · , k et δ la partition dont les parts sont les longueurs des Oj, j = 1, · · · , l. On a, |λ| + |δ| = n. Le type de ω est défini comme étant la paire des partitions (λ, δ).

Proposition 4.25. Deux permutations de Bn sont dans la même classe de conjugaison si et seulement si elles possèdent le même type.

Démonstration. Voir la section 2 dans [Ste92].

Remarque. Deux permutations de Bn peuvent avoir le même type-cyclique – c’est à dire être dans la même classe de conjugaison dans S2n – sans être dans la même classe de conjugaison dans Bn. Par exemple, les permutations ω = (12)(34)(56) et ψ = (13)(24)(56) de B3possèdent le même type-cyclique (23) mais elles ne sont pas dans la même classe de conjugaison dans B3 car ω est de type (∅, (13)) tandis que le type de ψ est ((2), 1).

Corollaire 4.26. Soit ω ∈ Bnet supposons quetype(ω) = (λ, δ), |λ| + |δ| = n. Alors, Cω = {θ ∈ Bntel quetype(θ) = (λ, δ)}.

Cela montre que les classes de conjugaison du groupe hyperoctaédral sont indexées par des paires de partition (λ, δ) tel que |λ|+|δ| = n et que pour une telle paire, sa classe de conjugaison associée est :

H(λ,δ) = {θ ∈ Bntel que type(θ) = (λ, δ)}. Soit ω une permutation de Bnde type (λ, δ), la taille de H(λ,δ)est :

|H(λ,δ)| = |Bn| |Sω|, où Sω = {θ ∈ Bntel que θωθ−1 = ω}. la taille de Sω est :

|Sω| =Y

i≥1

(2i)mi(λ)mi(λ)!Y

j≥1

(2i)mj(δ)mj(δ)! = 2l(λ)zλ2l(δ)zδ.

Proposition 4.27. Soit (λ, δ) une paire de partition tel que |λ| + |δ| = n, alors :

|H(λ,δ)| = 2

nn! 2l(λ)+l(δ)zλzδ.

On dit qu’une paire de partitions (λ, δ) est propre si et seulement si la partition λ est propre. Pour une paire propre de partitions (λ, δ) et pour tout entier n ≥ |λ| + |δ|, on définit (λ, δ)n comme la paire de partitions suivante dont la somme des tailles est n :

(λ, δ)n := (λ ∪ (1n−|λ|−|δ|), δ).

Cela définit une bijection entre l’ensemble des paires propres de partition de taille inférieure ou égale à n et l’ensemble des paires de partition de taille n.

Il n’est pas difficile de vérifier que :

|H(λ,δ)↑n| = 2

nn!

2l(λ)+n−|λ|−|δ|+l(δ)zλ(n − |λ| − |δ|)!zδ = |H(λ,δ)| n!

(n − |λ| − |δ|)!(|λ| + |δ|)!.

COEFFICIENTS DE STRUCTURE DES ALGÈBRES DE DOUBLES-CLASSES

Soient (λ, δ) et (β, γ) deux paires propres de partition. Pour tout entier n ≥ |λ|+|δ|, |β|+|γ|, il existe des constantes c(ρ,ν)(λ,δ)(β,γ)(n) telles que :

H(λ,δ)↑nH(β,γ)↑n = X

(ρ,ν)proper |ρ|+|ν|≤n

c(ρ,ν)(λ,δ)(β,γ)(n)H(ρ,ν)↑n.

On a déjà montré que les groupes hyperoctaédraux vérifient les hypothèses H.1 à H.6. Pour appliquer le Théorème 4.22 dans le cas du centre de l’algèbre du groupe hyperoctaédral, il nous reste à vérifier l’hypothèse H0.0 pour la suite (Z(C[Bn]))n. Cela se fait d’une façon si-milaire à la preuve de cette hypothèse dans le cas de la suite (Z(C[Sn]))n. Considérons une permutation ω de Bn. La classe de conjugaison de ω dans Bn est l’ensemble des permutations de Bn ayant le même type, disons (λ(ω), δ(ω)), que ω. De même, la classe de conjugaison de ω, vue comme une permutation de Bn+1, dans Bn+1 est l’ensemble des permutations de Bn+1 ayant (λ(ω) ∪ (1), δ(ω)) comme type, ce qui est la classe de conjugaison de ω dans Bnquand on l’intersecte avec Bn+1. Donc, d’après le Théorème 4.22, il existe des nombres rationnels a(ρ,ν)(λ,δ)(β,γ)(k) indépendants de n tel que :

c(ρ,ν)(λ,δ)(β,γ)(n) = n!|H(λ,δ)|2n−|λ|−|δ| (n−|λ|−|δ|)!(|λ|+|δ|)! n!|H(β,γ)|2n−|β|−|γ| (n−|β|−|γ|)!(|β|+|γ|)!(n − |λ| − |δ|)!(n − |β| − |γ|)! 2nn!|H(ρ,ν)| n! (n−|ρ|−|ν|)!(|ρ|+|ν|)! X |ρ|+|ν|≤k≤min(|λ|+|δ|+|β|+|γ|,n) a(ρ,ν)(λ,δ)(β,γ)(k) 1 2n−k(n − k)!,

pour des paires propres (λ, δ), (β, γ), (ρ, ν) et pour tout entier n ≥ |λ| + |δ|, |β| + |γ|, |ρ| + |ν|. Après simplification, cela peut s’écrire ainsi,

c(ρ,ν)(λ,δ)(β,γ)(n) = |H(λ,δ)||H(β,γ)|(|ρ| + |ν|)! |H(ρ,ν)|(|λ| + |δ|)!(|β| + |γ|)! X |ρ|+|ν|≤k≤min(|λ|+|δ|+|β|+|γ|,n) a(ρ,ν)(λ,δ)(β,γ)(k)(n − k + 1) · · · (n − |ρ| − |ν|) 2|λ|+|δ|+|β|+|γ|−k .

Corollaire 4.28. Soient (λ, δ), (β, γ) et (ρ, ν) trois paires propres de partitions, alors pour tout n ≥ |λ| + |δ|, |β| + |γ|, |ρ| + |ν|, le coefficient de structure c(ρ,ν)(λ,δ)(β,γ)(n) du centre de l’algèbre du groupe hyperoctaédral est un polynôme enn avec des coefficients positifs et on a :

deg(c(ρ,ν)(λ,δ)(β,γ)(n)) ≤ |λ| + |δ| + |β| + |γ| − |ρ| − |ν|.