L'équilibre neutronique dans un massif ssile est régi par le système d'équations 2.12 et 2.13. Nous allons dans cette section nous intéresser aux conditions nécessaires à l'existence d'une solution indépendante du temps. Le concept de criticité en découlera naturellement, ainsi que les notions de facteur de multiplication eectif et de réactivité statique.
Dans le but de clari er le propos, une notation compacte de l'équation 2.12 sera désormais adoptée :
1 v
∂φ
∂t = Fpφ + Sd+ S − Lφ (2.14)
Les opérateurs introduits sont dé nis comme suit : la production de neutrons prompts par ssion :
Fpφ = 1 4π(1 − β) χp(E) ∞ Z 0 ν(E0) Σf(~r, E0) φ(~r, E0, t) dE0 la production de neutron retardés par décroissance des précurseurs :
Sd(~r, E, t) = 1 4π X i χd,i(E) λici(~r) la source externe S déjà dé nie (2.11),
l'opérateur de perte qui comprend les termes de fuite, de disparition par réaction et duquel est retranché formellement le terme source des réactions de diusions :
Lφ = ~Ω · ~∇φ + Σtφ − ∞ Z 0 Z 4π Σs(~r, E0 → E, ~Ω0→ ~Ω) φ(~r, E0, ~Ω0, t) d~Ω0dE0
Un état stationnaire ne peut exister que si le taux de production neutronique (prompt, retardé et venant de la source externe) compense exactement le taux de perte en tout point du réacteur. Le
ux φ et les concentrations de précurseurs ci sont alors indépendants du temps :
φ(~r, E, ~Ω, t) = φ0(~r, E, ~Ω) ci(~r, t) = ci0(~r)
Dans ces conditions, la source de neutrons retardés peut être exprimée directement à partir du ux neutronique en xant la dérivée à zéro dans l'équation 2.13 :
Sd(~r, E) = Fdφ0= 1 4π X i βiχd,i(E) ∞ Z 0 ν(E0) Σf(~r, E0) φ0(~r, E0) dE0 (2.15) Les opérateurs de productions prompts et retardés peuvent alors être rassemblés en un seul terme F φ0: F φ0= Fpφ0+ Sd= Fpφ0+ Fdφ0= 1 4πχ(E) ∞ Z 0 ν(E0) Σf(~r, E0) φ0(~r, E0) dE0 (2.16) Le spectre total χ étant dé ni par la somme pondérée des spectres prompts et retardés :
χ(E) = (1 − β)χp(E) +
X
i
βiχd,i(E) (2.17)
2.3. LES SOLUTIONS STATIONNAIRES DE L'ÉQUATION DU TRANSPORT
2.3.1 Le problème critique sans source
Considérons dans un premier temps un système sans source externe : S = 0. L'équation du transport stationnaire s'écrit alors :
F φ0= Lφ0 (2.18)
Ainsi, pour qu'une solution stationnaire non nulle puisse exister, il faut que le nombre de neutrons produit soit égal au nombre de neutrons disparaissant en chaque point de l'espace. Un réacteur dans cette con guration est dit critique. L'équation homogène 2.18 fait intervenir des opérateurs linéaires, donc toute combinaison linéaire de solutions est elle même solution de cette équation. Par ailleurs, en l'absence de normalisation, la solution est dé nie à une constante multiplicative près.
En pratique, lorsque l'on recherche une solution de 2.18, rien ne dit que le réacteur est critique. Si tel n'est pas le cas, la seule solution possible sera un ux uniformément nul. A n de pouvoir obtenir une solution non triviale au problème, il est nécessaire d'ajuster arti ciellement le taux de production (ou le taux de disparition) par une constante λ0. Cette constante est choisie de manière
à ce que le taux de production corrigé par λ0 soit égal au taux de disparition, rendant le système
critique. On peut alors, pour n'importe quel réacteur, associer un réacteur critique équivalent qui sera caractérisé par la constante λ0et pour lequel il existe une solution positive non uniformément nulle qui véri e :
Lφ0= λ0F φ0 (2.19)
Il existe un certain nombre de doublets (λk, φk)k solutions de l'équation 2.19, qui peuvent être hiérarchisés de la manière suivante :
λ0< λ1< λ2< · · · (2.20)
La seule solution positive sur tout l'espace est φ0, c'est le mode fondamental qui est le seul mode persistant. Les modes d'ordres supérieurs sont appelés harmoniques.
La valeur propre λ0possède une signi cation physique importante, son inverse est le facteur de
multiplication eectif ke. ke peut être vu comme le ratio entre le nombre de neutrons présents
dans une génération par rapport à celui de la génération précédente, la réaction de ssion marquant le passage d'une génération à une autre. L'équation 2.19 se résoud généralement par itération, la
valeur de la solution λ0caractéristique du système étudié permet de dégager trois cas de gures :
si λ0> 1ou ke< 1, le réacteur est dit sous-critique, si λ0= 1ou ke= 1, le réacteur est dit critique, si λ0< 1ou ke> 1, le réacteur est dit surcritique.
L'écart entre λ0 et 1 correspond à une mesure des ajustements qu'il serait nécessaire d'appliquer
pour rendre un réacteur critique, cet écart est appelé réactivité statique : ρs= 1 − λ0=
ke− 1
ke (2.21)
Au problème direct enoncé ci-dessus nous pouvons associer le problème adjoint, obtenu en
considérant les opérateurs adjoints de production et de disparition F+et L+(cf Annexe A). Cette
équation s'exprime comme suit :
L+φ+0 = λ0F+φ+0 (2.22)
La valeur propre du problème adjoint est égale à celle du problème direct (cf Annexe A). Le ux adjoint φ+
0 dé ni de cette manière est une grandeur fondamentale qui sera largement utilisée dans
les développements ultérieurs. Ce ux peut être interprété comme étant une fonction d'importance, mesurant la contribution d'un neutron situé en un point ~r, avec une énergie E et une direction ~
Ω vis à vis de la réaction en chaîne. En particulier, il sera démontré en Annexe B que le ux
adjoint φ+
0(~r, E, ~Ω) est proportionnel à la puissance asymptotique résultante de l'introduction
d'un neutron en (~r, E, ~Ω) dans le réacteur critique associé. A titre d'illustration, il est évident qu'un neutron placé au centre d'un réacteur a une importance plus grande que s'il était placé à la frontière du domaine avec une direction sortante, sa fuite directe rendant sa contribution nulle.
Ce ux adjoint sera donc naturellement utilisé comme fonction de pondération neutronique, les opérateurs ainsi pondérés tiendront ainsi compte de la liation neutronique en plus du bilan "comptable" des neutrons à l'instant considéré.
2.3.2 Le problème à source xe
Considérons maintenant une situation dans laquelle une source neutronique externe S est présente dans le système. L'équation du transport stationnaire s'écrit dans cette situation :
Lφs= F φs+ S (2.23)
Pour qu'une telle solution puisse exister, il est nécessaire que la diérence Lφs− F φssoit positive, ie que le réacteur soit sous-critique. Contrairement à l'équation critique 2.18, l'équation d'équilibre
avec la source n'est pas homogène. En conséquence, le ux φssolution est xé, son intensité et sa
distribution sont dictés par celles de la source.
Il existe un ux φ0solution du problème critique homogénéisé 2.19 par retrait du terme source :
Lφ0= λ0F φ0 (2.24)
avec
λ0> 1
L'équation adjointe du problème homogène s'écrit de la même manière :
L+φ+0 = λ0F+φ+0 (2.25)
Le ux φ0 est diérent de φs, seul ce dernier a une signi cation pratique concrète. φ0 est le
ux stationnaire que l'on obtiendrait sans la source dans le réacteur critique associé.