Les nanovecteurs en développement clinique

Uma das maneiras mais precisas para a determina¸c˜ao de parˆametros cr´ıticos ´e atrav´es da observa¸c˜ao de como as quantidades relacionadas com o parˆametros variam com o tamanho linear L do sistema. Esta t´ecnica ´e conhecida por escalonamento de sistemas de tamanho finito [39].

Sejam duas leis de potˆencia associadas com a percola¸c˜ao na vizinhan¸ca do ponto cr´ıtico

P_∞(p)∝ (p − pc)β p > pc (4.1)

e

ξ(p)_{∝ |p − p}c|−ν. (4.2)

P_∞(p) representa a probabilidade de que um s´ıtio qualquer da rede perten¸ca ao aglom- erado percolante que surge quando a probabilidade de ocupa¸c˜ao ´e p. ξ(p) representa o comprimento de correla¸c˜ao, que corresponde aproximadamente ao tamanho m´edio dos aglomerados de tamanho finito. O m´etodo convencional de obten¸c˜ao de β, por exemplo, consiste no tra¸cado de um gr´afico log-log de P_∞(p)_{× (p − p}c). O coeficiente angular da

reta que melhor se ajusta aos pontos corresponde ao valor β. No m´etodo que ser´a exposto a seguir obtˆem-se simultaneamente dois parˆametros cr´ıticos e mais ainda pc. Todos com

O m´etodo

Inicialmente definimos a probabilidade reduzida q q_≡ p− pc

pc

. (4.3)

Com esta defini¸c˜ao, as leis de potˆencia expressas nas Eq.(4.1) e Eq.(4.2) s˜ao reescritas, respectivamente, como

P_∞(q)∝ |q|β _(4.4)

ξ(q)_{∝ |q|}−ν_{. (4.5)}

Note que, ao inv´es de q, utilizamos seu m´odulo na Eq. (4.4). Isto pode ser feito sem problemas, j´a que a express˜ao ´e v´alida apenas para p > pc, isto ´e, q > 0. Unindo as Eq.

(4.4) e Eq. (4.5) n´os chegamos a

P_∞∝ ξ−β/ν_{. (4.6)}

Vamos agora considerar o que acontece em um sistema de tamanho finito L. Nesta situa¸c˜ao o comprimento de correla¸c˜ao ξ sofre uma limita¸c˜ao sempre que se aproxima do tamanho L do sistema. Assim sendo P_∞(p) tamb´em ser´a afetado pelo tamanho finito do sistema. Isto significa que para sistemas finitos P_∞(p) nunca ser´a uma fun¸c˜ao escada de Heavyside, o que acontece quando L _{→ ∞. A limita¸c˜ao descrita acima pode ser} matematicamente expressa como se segue. Se continuarmos a expressar por ξ o valor que o comprimento de correla¸c˜ao deveria ter em um sistema de tamanho infinito ocupado com probabilidade reduzida q, ent˜ao o corte passa a existir sempre que ξ > L. Quando ξ_{≪ L,} o valor de P_∞ deveria ser o mesmo que para sistemas infinitos. N´os podemos expressar isto escrevendo

P_∞ = ξ−β/ν_P

0(L/ξ) , (4.7)

onde P0 ´e uma fun¸c˜ao adimensional de uma ´unica vari´avel que tem as seguintes pro-

priedades

P0(x) = constante para x 1 (4.8)

A maneira precisa como o P_∞ ´e modificado pr´oximo a pc est´a contido na forma funcional

de_P0. ´E esta fun¸c˜ao que ser´a calculada atrav´es das simula¸c˜oes e cuja obten¸c˜ao dar´a como

resultado os parˆametros cr´ıticos desejados. Vejamos como isto ´e feito. A Eq. (4.7) cont´em todas as informa¸c˜oes que n´os precisaremos sobre o comportamento de como o sistema em quest˜ao varia com seu tamanho. Todavia, ela cont´em a vari´avel ξ, que representa o comprimento m´edio dos aglomerados no sistema. Como geralmente n˜ao se disp˜oe deste valor, ent˜ao, reorganiza-se a equa¸c˜ao. Para isso uma nova fun¸c˜ao ´e definida

P(x) = xβP0(xν), (4.10)

da qual se obt´em

P0(xν) = P(x)x−β. (4.11)

Observando a Eq. (4.7) vemos que xν _{= L/ξ, o que implica em x = (L/ξ)}1/ν_{. Substituindo}

estas duas express˜oes na Eq. (4.11) n´os obtemos P0(L/ξ) = P



(L/ξ)1/ν(L/ξ)−β/ν_{. (4.12)}

Substituindo a Eq. (4.5) no lado direito da Eq. (4.12) n´os obtemos

P0(L/ξ) = PL1/ν|q|L−β/ν|q|−β. (4.13)

Substituindo a Eq. (4.13) na Eq. (4.7) e novamente fazendo o uso da Eq. (4.5) n´os obtemos a seguinte express˜ao.

P_∞ = L−β/ν_P_L1/ν_|q|_{. (4.14)}

Rigorosamente falando P deve ser uma combina¸c˜ao de duas fun¸c˜oes, uma para valores positivos de q e outra para valores negativos de q. Isto porque _{P n˜ao ´e sim´etrico dos} dois lados da transi¸c˜ao de fase. Se estendermos a defini¸c˜ao na Eq. (4.10) para valores negativos de x podemos escrever

P_∞= L−β/ν_P_L1/ν_q_{. (4.15)}

A express˜ao acima nos diz como P_∞ deveria variar com o tamanho L do sistema finito para valores de p pr´oximos `a concentra¸c˜ao cr´ıtica pc. Nela est´a inserida uma fun¸c˜ao

desconhecida P a qual denominamos fun¸c˜ao de escala para P∞. ´E a tentativa de obten¸c˜ao

desta fun¸c˜ao que fornece simultaneamente v´arios parˆametros cr´ıticos. Vejamos como isto ´e feito.

Considere que dispomos de v´arios dados sobre P_∞ como fun¸c˜ao de p, obtidos de simula¸c˜oes num´ericas para sistemas de diferentes tamanhos L. Os dados dever˜ao ter sido obtidos numa faixa de valores que incluem pc. O valor exato de pc n˜ao necessita ser

precisamente conhecido, ele ser´a estimado durante a aplica¸c˜ao da t´ecnica. A estimativa dos parˆametros cr´ıticos ´e realizada atrav´es da busca dos parˆametros que dever˜ao ser utilizados na mudan¸ca de escala das diversas curvas de P_∞ para que elas se sobreponham numa s´o curva. A curva formada pela sobreposi¸c˜ao de todas as curvas ap´os sofrerem mudan¸cas de escalas ´e a que representa _{P. A express˜ao que diz como devemos alterar as} escalas das diversas curvas de P_∞ ´e obtida da Eq. (4.15) e ´e

PL1/νq= P_∞Lβ/ν (4.16)

Procurando os Parˆametros Cr´ıticos

A realiza¸c˜ao do colapso das curvas atrav´es da Eq. (4.16) ´e feito da seguinte maneira. Sejam N tabelas com duas colunas. Cada tabela contendo os dados P_∞(p) para um de- terminado tamanho L do sistema, isto ´e, a primeira coluna cont´em os valores de p e a segunda coluna cont´em os valores P_∞ associados com os correspondentes p. Inicialmente escolhe-se valores para pc, β e ν. Com o pc escolhido faz-se a transforma¸c˜ao das probabil-

idades absolutas em probabilidades reduzidas. Isto ´e feito subtituindo-se todos os valores de p das primeiras colunas das tabelas por (p_−pc)/pc. Em seguida estes valores devem ser

multiplicados por L1/ν_{, sendo L o tamanho do sistema associado com os dados da tabela}

em quest˜ao. Em seguida multiplica-se o conte´udo das segundas colunas, P_∞, por Lβ/ν_.

Agora que as curvas sofreram mudan¸cas de escalas, devemos tra¸c´a-las todas em um ´unico gr´afico e observar se o colapso aconteceu. Caso ele tenha sido insatisfat´orio, e certamente o ser´a para os primeiros valores dos parˆametros cr´ıtricos escolhidos ao acaso, devemos escolher outros valores e repetir o processo com os dados das tabelas originais at´e que se obtenha um colapso considerado satisfat´orio. Ent˜ao os parˆametros cr´ıticos associados

com este colapso ser˜ao considerados os parˆametros cr´ıticos do sistema. O erro ´e estimado variando o parˆametro obtido e observando at´e que limite o colapso ainda ´e aceit´avel.

Fun¸c˜ao de Escala para RL

RL´e a probabilidade de que o sistema percole em uma determinada dire¸c˜ao (RHL para

dire¸c˜ao horizontal e RV

L) para dire¸c˜ao vertical, como este detalhe n˜ao far´a diferen¸ca neste

momento, iremos nos referir a esta grandeza apenas como RL). RL n˜ao obedece a uma

lei de escala. Na verdade quando o sistema tem tamanho infinito ele ´e dado por

RL = ⎧ ⎨ ⎩ 1 se p > pc 0 se p < pc . (4.17)

Assim sendo podemos escrever a rela¸c˜ao de corre¸c˜ao para sistemas finitos que ser´a v´alida para p > pc. Ela ´e

RL= R0(L/ξ). (4.18)

Realizando o mesmo procedimento descrito um pouco mais acima, n´os obtemos a fun¸c˜ao de escala para RL.

RL(L1/νq) = RL. (4.19)

Na Fig. (4.3) vemos uma faixa (em torno de pc) das curvas da Fig. (3.4) colapsadas.