La g´eom´etrie r´eelle des bifurcations acinaires est asym´etrique, cette asym´etrie ´etant due d’une part `a la variabilit´e des caract´eristiques g´eom´etriques propres des branches et d’autre part `a la variation de la profondeur des diff´erentes arborescences. Cependant,
2.1 L’acinus pulmonaire et son fonctionnement 49
un grand nombre des propri´et´es de transport peuvent se comprendre et se calculer dans des g´eom´etries simplifi´ees. C’est pourquoi nous avons ´etudi´e trois grandes classes de g´eom´etrie : l’une sym´etrique uniforme, pour laquelle toutes les branches ont les mˆemes caract´eristiques g´eom´etriques et toutes les terminaisons sont `a la mˆeme g´en´eration, une autre sym´etrique non uniforme, pour laquelle toutes les branches d’une mˆeme g´en´eration ont la mˆeme g´eom´etrie et toutes les terminaisons atteignent toujours la mˆeme g´en´eration et une derni`ere, asym´etrique plus proche de l’anatomie pulmonaire.
G´eom´etrie sym´etrique moyenne
Pour mettre en place puis tester le mod`ele, nous sommes donc partis d’une g´eom´etrie mod`ele simplifi´ee de l’arbre acinaire. Cette g´eom´etrie suppose que toutes les branches ont les mˆemes caract´eristiques g´eom´etriques soit les mˆemes diam`etres et les mˆemes longueurs. Nous pouvons nous permettre de faire cette approximation puisqu’il a ´et´e r´ecemment montr´e qu’en condition de diffusion stationnaire, l’utilisation d’un arbre sym´etrique uniforme permet d’obtenir des r´esultats relativement proches de ceux d’un arbre asym´etrique r´eel [6]. Nous verifierons que cette approximation reste acceptable en dynamique.
Nous avons ´etudi´e six acini sym´etriques de r´ef´erence pour lesquels les volumes sont tir´es des donn´ees d’Haefeli-Bleuer et Weibel [7]. Ces acini peuvent contenir entre 7 et 9 g´en´erations soit 7 `a 9 niveaux de bifurcations. A chacun des acini sont associ´es les caract´eristiques g´eom´etriques propres des branches : le diam`etre avec alv´eoles dout, le diam`etre sans alv´eoles din et la longueur l de branche d´efinis pr´ec´edemment (voir figure (1.6)).
Les volumes ´etudi´es ont ´et´e ´enum´er´es au premier paragraphe. Le tableau (2.1) regroupe les donn´ees g´eom´etriques de chaque acinus sym´etrique uniforme.
Ces caract´eristiques g´eom´etriques correspondent `a un ´etat de gonflement maximal du poumon. On voit donc qu’il existe une grande variabilit´e de la g´eom´etrie acinaire, le
50 Chapitre 2 : Le mod`ele : la physique du transport des gaz
Nombre de g´en´eration z Vout l dout din
z=7 88 mm3 0,90 mm 0,70 mm 0,26 z=8 128 mm3 0,69 mm 0,68 mm 0,24 z=8 161 mm3 0,82 mm 0,70 mm 0,26 z=8 187 mm3 0,85 mm 0,74 mm 0,30 z=8 237 mm3 1,08 mm 0,74 mm 0,30 z=9 306 mm3 0,78 mm 0,70 mm 0,26
Table 2.1 – Caract´eristiques g´eom´etriques des six acini mod`eles ´etudi´es
rapport entre le plus petit et le plus grand acinus ´etant presque d’un facteur 4. Ceci nous permettra ult´erieurement d’´etudier l’influence du volume sur le transport ou l’´echange gazeux.
G´eom´etrie sym´etrique non uniforme
La g´eom´etrie sym´etrique non uniforme consid`ere que toutes les branches d’une mˆeme g´en´eration ont les mˆemes caract´eristiques g´eom´etriques, chacunes d’elles ´etant issues des donn´ees d’Haefeli-Bleuer et Weibel [7]. Cependant d’une g´en´eration sur l’autre, les branches peuvent avoir des caract´eristiques diff´erentes. La g´eom´etrie prend en compte le fait que sur les deux premi`eres g´en´erations (soit g´en´eration 0, 1 et 2), les alv´eoles ne recouvrent que partiellement les conduits acinaires. Cette distribution h´et´erog`ene des alv´eoles sur la paroi du conduit est caract´eris´ee par un diam`etre int´erieur plus ´elev´e sur les deux premi`eres g´en´erations (de l’ordre de 0,5 mm) que sur les autres (de l’ordre de 0,3 mm). Le volume ´etudi´e est le volume moyen de 187 mm3 pour un acinus `a 8 g´en´erations. Les diam`etres et les longueurs des branches pour chaque g´en´eration sont report´es dans le tableau (2.2). Pr´ecisons qu’au niveau des sacs alv´eolaires (sur la derni`ere g´en´eration), la longueur donn´ee comprend les alv´eoles.
2.1 L’acinus pulmonaire et son fonctionnement 51
G´en´eration Longueur (mm) Diam`etre int´erieur (mm) Diam`etre ext´erieur (mm)
0 0,8 0,498 0,736 1 1,330 0,497 0,694 2 1,118 0,492 0,686 3 0,930 0,397 0,700 4 0,832 0,382 0,711 5 0,671 0,356 0,684 6 0,692 0,335 0,694 7 0,716 0,311 0,708 8 1,167 0,258 0,701
Table 2.2 – Caract´eristiques g´eom´etriques des six acini mod`eles ´etudi´es (d’apr`es Haefeli- Bleuer et Weibel, 1984 [7])
G´eom´etrie asym´etrique r´ealiste
La g´eom´etrie r´eelle des acini est ´evidemment plus complexe. Leur topologie est celle d’un arbre asym´etrique `a profondeur non uniforme. Afin d’´evaluer l’impact de cette non uniformit´e, nous avons ´elabor´e un mod`ele permettant de d´ecrire des structures plus proches de l’anatomie pulmonaire. Pour les g´eom´etries retenues, toutes les terminaisons ne se situent donc pas n´ecessairement `a la derni`ere g´en´eration et chaque branche pos- s`ede ses caract´eristiques g´eom´etriques propres dout, din et l. Pour construire de mani`ere syst´ematique ce type de g´eom´etrie irr´eguli`ere, nous introduisons deux param`etres de description : l’un, σ, caract´erise la variabilit´e des tailles de branche (l’´ecart-type de la distribution des tailles) tandis que l’autre, p, caract´erise la probabilit´e d’interrompre une arborescence `a chaque bifurcation de l’arbre acinaire. La figure (2.2) montre une repr´esentation sch´ematique de la topologie d’un acinus complet r´eel et les figures (2.3) et (2.4) montrent des repr´esentations d’acini respectivement sym´etrique et asym´etrique construits num´eriquement. Ces deux derniers acini ont exactement le mˆeme volume.
52 Chapitre 2 : Le mod`ele : la physique du transport des gaz
Figure 2.2 – Repr´esentation sch´ematis´ee de la topologie d’un acinus pulmonaire r´eel (d’apr`es Haefeli-Bleuer et Weibel, 1984 [7])
Figure 2.3 – Repr´esentation d’une portion d’acinus `a g´eom´etrie r´eguli`ere `a 8 g´en´erations construit num´eriquement
2.1 L’acinus pulmonaire et son fonctionnement 53
Figure 2.4 – Repr´esentation d’une portion d’acinus `a g´eom´etrie irr´eguli`ere `a 10 g´en´e- rations construit num´eriquement
issues des donn´ees d’Haefeli-Bleuer et Weibel [7]. Nous donnerons une description d´e- taill´ee du fonctionnement des param`etres σ et p dans le chapitre 3. L’´etude du mod`ele sur cette g´eom´etrie plus complexe et surtout plus r´ealiste nous permettra alors d’´eva- luer l’influence de l’asym´etrie g´eom´etrique de l’acinus sur le transport et sur l’´echange gazeux, ainsi que la robustesse de la performance ventilatoire de l’acinus en fonction de sa g´eom´etrie.
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