Les foncteurs simples de F iso

λ(F)(C) : λ(F)(D1) → λ(F)(D2) par λ(F)(C) = F(Cα1,α2). On d´eduit de la commutativit´e du diagramme de la proposition 4.3.6 que ceci est coh´erent.

Il nous reste `a v´erifier que λest bien un foncteur.

SoientF un objet deFisoet 1F :F →F la transformation naturelle identit´e. Pour un objetD deSp(E_q^deg), on choisit un espace non d´eg´en´er´eV et un morphismeα:D →V. Par naturalit´e de 1F, on a le diagramme commutatif suivant :

F(V) ^F(eα)//

On laisse le soin au lecteur de v´erifier, `a partir des d´efinitions, que les foncteurs λ:Fiso→Mack(E_q^deg,E)

et

λ⁰: Mack(E_q^deg,E)→ Fiso

induisent une ´equivalence de cat´egories.

4.4 Les foncteurs simples de F

Le but de cette section est de donner une classification des foncteurs simples de la cat´egorieFiso, en utilisant l’´equivalence de cat´egories obtenue `a la section pr´ec´edente. On introduit la notation suivante :

Notation 4.4.1. PourV un objet deE_q^deg, le foncteur projectif de la cat´egorie Mack(E_q^deg,E), d´efini parF₂[Hom_Sp(E^deg

q )(V,−)], sera not´eQV.

L’int´erˆet de la cat´egorie Mack(E_q^deg,E), par rapport `a la cat´egorieFiso, r´eside dans l’existence de la notion d’espace minimal d´efinie ci-apr`es et, surtout, `a l’unicit´e de cet espace pour les foncteurs simples de Mack(E_q^deg,E) donn´ee par la proposition 4.4.3.

D´efinition 4.4.2. Un espace minimal d’un objet F de Mack(E_q^deg,E) est un objetV deE_q^deg, tel queF(V)6= 0 et pour tout objet W deE_q^deg non isomorphe `aV et v´erifiant Hom_E^deg

q (W, V)6=∅, on aF(W) = 0.

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4.4. Les foncteurs simples deF_iso 69

L’existence d’un espace minimal est claire. Il suffit de consid´erer un espace V de dimension minimale v´erifiantF(V)6= 0. Les morphismes de E_q^deg ´etant des monomorphismes la condition de la d´efinition ci-dessus est v´erifi´ee pour l’espaceV.

Pour les foncteurs simples, on montre le r´esultat d’unicit´e important suivant :

Proposition 4.4.3. Un foncteur simple deMack(E_q^deg,E) admet un unique espace minimal.

D´emonstration. Soient V1 et V2 deux espaces minimaux non isom´etriques du foncteur S, comme S(V1)6= 0 etS(V2)6= 0, on a le diagramme suivant : Mack(E_q^deg,E) et o`u les fl`eches sont surjectives par simplicit´e du foncteurS.

Le foncteurQV1 ´etant projectif, on en d´eduit l’existence d’une applicationφ:QV1 →QV2 non nulle, rendant le diagramme suivant commutatif :

QV2

Commeφest un ´el´ement non nul de Hom_Mack(E^deg Comme la compos´eeQV1

−→φ QV2→Sest non nulle, au moins un des morphismes [V2 fi

←−Wi gi

−→V1] induit un morphisme non nul de S(V2) dans S(V1). Or, d’apr`es la proposition de d´ecomposition des morphismes 2.1.8, on a [V2

fi minimalit´e deV2, puisqu’on a suppos´eV1 etV2non isom´etriques.

Remarque 4.4.4. La proposition pr´ec´edente justifie le fait qu’on parlera dans la suite de l’espace minimal d’un foncteur simple de Mack(E_q^deg,E) et deFiso, car cet espace est unique `a isom´etrie pr`es.

On a la proposition importante suivante :

Proposition 4.4.5.Le foncteurisoV deFisoest quotient du foncteurQV =F₂[Hom_Sp(E^deg

q )(V,−)].

D´emonstration. Par le lemme de Yoneda, on a Hom(QV, isoV) =isoV(V) =F₂[O(V)].

Pour un g´en´erateur canonique [V −→^f V] deisoV(V) la transformation naturelleQV σf

−→isoV est surjective. En effet, on v´erifie ais´ement qu’un g´en´erateur [V −→^g W] deisoV(W) a pour ant´ec´edent, dansQV(W) parσf, le cotriplet [V ←−^f V −→^g W], pourW un objet deE_q^deg.

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4.4. Les foncteurs simples deF_iso 70

On a le lemme ´evident suivant :

Lemme 4.4.7. Pour W un objet de Sq, KV(W)est le sous-espace vectoriel de QV(W) engendr´e par les cotriplets de la forme[V ←H →W] avecH 6'V.

Remarque 4.4.8. Pour un objetF deFiso, on a l’existence d’un morphisme injectif : HomFiso(isoV, F)→HomFiso(QV, F).

La proposition suivante affirme que, dans le cas o`u F est un foncteur simple d’espace minimal V, l’application pr´ec´edente est un isomorphisme.

Proposition 4.4.9. SiS est un objet simple deFiso, d’espace minimalV, alorsS est quotient du foncteur isotropeisoV de Fiso. De plus, on a : HomFiso(isoV, S) =S(V).

D´emonstration. Soit S un objet simple de Fiso, d’espace minimal V. On a HomFiso(QV, S) = S(V) 6= 0 donc, par simplicit´e deS, ce foncteur est un quotient de QV. Par la proposition 4.4.5, pour un ´el´ementf fix´e dans Hom(QV, S), on a le diagramme :

Par cons´equent on a l’existence d’un morphisme deFiso,τf :isoV →S, surjectif par surjectivit´e def.

En faisant varierf, on obtient :

HomFiso(isoV, S) = HomFiso(QV, S) =S(V).

Pour obtenir l’ensemble des objets simples deFiso, il suffit donc d’obtenir les facteurs de com-position des foncteurs isotropes. Avant d’´enoncer le th´eor`eme fondamental permettant d’obtenir ces facteurs de composition, on fait la remarque suivante :

Remarque 4.4.10. PourW un objet deSq,isoV(W) est unF₂[O(V)]-module `a droite, l’action ´etant obtenue par composition `a la source.

Th´eor`eme 4.4.11. PourV un objet de E_q^deg, le foncteur FV :F₂[O(V)]−mod→ Fiso d´efini par FV(M) =isoV ⊗

F2[O(V)]

M, pour M unF₂[O(V)]-module `a gauche, v´erifie les propri´et´es suivantes.

1. Le foncteur FV est exact.

2. SiM est unF₂[O(V)]-module simple, alorsFV(M)est un objet simple deFiso.

D´emonstration de l’exactitude deFV. Les morphismes de E_q^deg ´etant les monomorphismes conser-vant la forme quadratique, on peut identifier leO(V)-ensemble `a droite Hom_E^deg

q (V, W) auO(V )-ensemble libreGrV(W)×O(V) o`uGrV(W) d´esigne la grassmanienne dansE<sub>q</sub><sup>deg</sup>, c’est `a dire l’en-semble des sous-espaces de W isom´etriques `a V. Par cons´equent, isoV(W) est un O(V)-module libre, `a savoir :

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4.4. Les foncteurs simples deF_iso 71

en tant qu’espace vectoriel. Comme le foncteur F₂[GrV(W)]⊗

F2

− : O(V)−mod→ E est exact pour toutW, on en d´eduit que le foncteur FV est exact.

La d´emonstration du deuxi`eme point du th´eor`eme, repose sur les deux lemmes suivants.

Lemme 4.4.12. Si L est un sous-foncteur non nul de FV(M) pour M unO(V)-module simple, alorsL(V) =M.

o`u on peut supposer que, pouridiff´erent dej, Im(αi)6= Im(αj) ´etant donn´e que le produit tensoriel est pris au dessus du groupe orthogonalO(V). L’´el´ementiW(w) ´etant non nul, un des termes de la combinaison lin´eaire pr´ec´edente est non nul ; on notera

[V −→^α W] ⊗

O(V)m un de ces termes.

En consid´erant le morphismeR(α) = [W ←^α−V −→^Id V] de Hom_Sp(Eq^deg₎(W, V) obtenu `a partir du foncteurR d´efini `a la section 2.1.2, on obtient le diagramme commutatif suivant :

L(W)

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4.4. Les foncteurs simples deF_iso 72

o`uP 6=V puisque Im(αi)6= Im(α),dont on d´eduit : FV(M)(L(R(α)))([V −→^αi W] ⊗

O(V)m) = 0 pourαi6=α.

Par cons´equent,

FV(M)(L(R(α)))◦iW(w) = [V −→^Id V] ⊗

O(V)m⁰6= 0 et donc, par commutativit´e du diagramme on aL(V)6= 0, d’o`uL(V) =M.

Lemme 4.4.13. Si L est un sous-foncteur de FV(M) pour M un O(V)-module simple, tel que L(V) =M, alorsL=FV(M).

D´emonstration. On a le morphisme d’´evaluation

σ:QV ⊗L(V)→L d´efini par :

σW([T]⊗y) =L(T)(y) pourW un objet deSp(E_q^deg) etT un morphisme de Hom_Sp(E^deg

q )(V, W) et, on d´eduit de la propo-sition 4.4.5 queFV(M) est quotient de QV ⊗M, ce qui fournit le diagramme commutatif suivant :

QV ⊗L(V)

//L _

QV ⊗M ////FV(M)

CommeL(V) = M, on en d´eduit que QV ⊗L(V) ////FV(M) , d’o`u L ////FV(M) et donc L=FV(M).

D´emonstration du point2du th´eor`eme. SoitM unO(V)-module simple etLun sous-foncteur non nul deFV(M). D’apr`es le lemme 4.4.12 on aL(V) =M et donc par le lemme 4.4.13L=FV(M).

D’o`u la simplicit´e deFV(M).

Remarque 4.4.14. Le deuxi`eme point du th´eor`eme pr´ec´edent est fondamental et est tr`es particulier

`

a la cat´egorieFiso. En effet, comparons cette situation avec ce qui se passe dans la cat´egorie F.

Dans l’article [Pow98b], Powell s’int´eresse `a l’adjoint `a gauche, not´eLn, du foncteur d’´evaluation En:F → Mn(F 7→F(F₂ⁿ)) o`uMnest la cat´egorie des End(F<sub>2</sub><sup>n</sup>)-modules `a gauche . Ce foncteur Ln, d´efini par :

LnM :=F₂[Hom(F₂ⁿ,−)] ⊗

EndF2nM

pr´esente de nombreuses similarit´es avec notre foncteur FV, lorsqu’on se restreint aux modulesM qui proviennent de repr´esentations de GLn(F₂) ; on notera entre entres, les similitudes existant entre la preuve du premier point du th´eor`eme et celle de la proposition 2.2.1 de [Pow98b] donnant l’exactitude deLn. Dans cette d´emonstration, l’auteur fait apparaˆıtre l’ensemble des injections `a la place de l’ensemble des morphismes, ce qui est `a rapprocher du fait que nos cat´egories n’ont pour morphismes que des monomorphismes.

Cependant, les foncteurs de Weyl :

DJλ=LnSλ,

pourSλ unGLn-module simple, ne sont pas simples. Les foncteursJλ, duaux de ces foncteurs, sont le sujet central de l’article sus-cit´e.

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