D´efinition et propri´et´es de la cat´egorie F iso

Remarque4.1.3. La terminologie foncteurs isotropes, d´ecoule du fait que, pour l’espace quadratique d´eg´en´er´e (x,0), on a :

Iso(x,0)(V) =F₂[IV]

o`uIV ={v∈V \ {0}|q(v) = 0}est le cˆone isotrope de l’espace quadratique V.

On a vu `a la remarque 4.1.2 que la d´efinition des foncteurs isotropes repose sur le produit fibr´e de diagrammes du type :

W

g

H _h //V _f //X

or, par les propri´et´es g´en´erales du produit fibr´e, ceci revient `a consid´erer successivement les deux produits fibr´esP1et P2 suivants :

P2

Par cons´equent, afin de d´eterminer les facteurs de composition des foncteurs isotropes, nous allons introduire une nouvelle cat´egorie de foncteurs, not´eeFiso, construite `a partir de la cat´egorie de cotripletsSqintroduite `a la section 2.3. D’apr`es ce qui pr´ec`ede, cette cat´egorie est le cadre naturel pour ´etudier les foncteurs isotropes et nous verrons qu’elle a l’avantage d’avoir une structure plus simple que la cat´egorieFquad.

4.2 D´ efinition et propri´ et´ es de la cat´ egorie F

On introduit dans cette section la cat´egorie Fiso, reli´ee `a la cat´egorie Fquad par un foncteur pleinement fid`ele κ : Fiso → Fquad. Les foncteurs isotropes ´etant dans l’image du foncteur κ, la cat´egorieFisoest la structure adapt´ee `a l’´etude de ces foncteurs.

4.2.1 D´ efinition

On rappelle que la cat´egorieSq est la cat´egorie de cotriplets introduite `a la section 2.3.

D´efinition 4.2.1. La cat´egorieFiso est la cat´egorie des foncteurs deSq dansE.

Th´eor`eme 4.2.2. 1. La cat´egorieFisoest ab´elienne, tensorielle et a suffisamment de projectifs.

2. PourV un objet de Sq, le foncteur QV =F₂[HomSq(V,−)]est un objet projectif v´erifiant : HomFiso(QV, F)'F(V)

pour tout foncteurF de Fiso.

3. L’ensemble des foncteurs {QV|V ∈ S} est un ensemble de g´en´erateurs projectifs de Fiso, o`u S est un ensemble de repr´esentants des classes d’isom´etrie des objets de Sq.

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4.2. D´efinition et propri´et´es de la cat´egorie F_iso 63

D´emonstration. Ce th´eor`eme se d´emontre exactement de la mˆeme mani`ere que le th´eor`eme 3.1.3 concernant la cat´egorieFquad.

Remarque 4.2.3. Contrairement `a la cat´egorieFquad, la cat´egorie Fiso ne peut pas ˆetre d´efinie en termes de foncteurs de Janus ´etant donn´e que pour un cotripletC= [V ←D→W] deSq, l’espace Dest d´eg´en´er´e, en g´en´eral.

On construit, dansFiso une famille de foncteurs not´esisoH et d´efinis de mani`ere similaire aux foncteurs isotropesIsoH deFquad. Plus pr´ecis´ement, on a la proposition suivante.

Proposition 4.2.4. Soit H un objet de E_q^deg, le foncteur isoH : Sq → E d´efini de la mani`ere suivante est un objet deFiso.

1. Sur les objets :

isoH(V) =F₂[Hom_E^deg

q (H, V)]

pourV un objet de Sq;

2. sur les morphismes : pour un morphisme [V ←−^f˜ D −→^˜g W]de HomSq(V, W) et un g´en´erateur canonique [h]de isoH(V), on consid`ere le diagramme suivant dans E_q^deg :

D

– si le produit fibr´e dans E_q^deg du diagramme de gauche est H, ceci fournit un unique mor-phisme deH dansD deE_q^deg, not´e h⁰ tel queh= ˜f ◦h⁰.

D´emonstration. La preuve ´etant tr`es similaire `a celle montrant l’appartenance des foncteurs IsoH

`

a la cat´egorieFquad, on laisse le soin au lecteur d’en v´erifier les d´etails.

Remarque 4.2.5. On verra dans la suite que les deux familles de foncteursisoH deFisoet IsoH de Fquad sont fortement reli´ees, ce qui justifiera le choix de notations similaires.

On termine cette section en donnant les propri´et´es de la cat´egorieFisoanalogues aux propri´et´es de la cat´egorieFquaddonn´ees `a la section 3.2.

4.2.2 Dualit´ e

Dans ce paragraphe, les d´emonstrations sont omises dans la mesure o`u elles sont similaires `a celles donn´ees pour la cat´egorieFquad`a la section 3.2.1.

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4.2. D´efinition et propri´et´es de la cat´egorie F_iso 64

D´efinition 4.2.6. Le foncteur dualit´e de Fisoest le foncteurD : Fisoop→ Fisod´efini par : DF =−^∗◦F◦tr

pourF un foncteur deFiso,−^∗le foncteur dualit´e de EdansE^opettr le foncteur transposition de Sq d´efini au 2.3.5.

Proposition 4.2.7. Si F est `a valeurs dans les espaces vectoriels de dimension finie, alors DDF 'F.

Proposition 4.2.8. Pour F et G dans Fiso, on a un isomorphisme naturel : HomFiso(F, DG)'HomFiso(G, DF).

Le r´esultat suivant est une cons´equence importante de la proposition pr´ec´edente.

Th´eor`eme 4.2.9. La cat´egorie Fisoa suffisamment d’injectifs.

4.2.3 Le foncteur κ : F

, → F

La proposition suivante relie la cat´egorieFiso, `a la cat´egorieFquad d´efinie `a la section 3.1. On rappelle queσ:Tq → Sq est le foncteur d´efini au 2.4.3.

Proposition 4.2.10. Le foncteur

κ: Fiso,→ Fquad

d´efini parκ(F) =F◦σ, v´erifie les propri´et´es suivantes : 1. le foncteur κest exact ;

2. le foncteur κest pleinement fid`ele ;

3. si S est un objet simple de Fiso, κ(S)est un objet simple de Fquad. D´emonstration. Le premier point est clair.

D’apr`es la proposition 2.4.7, le foncteurσest plein. Par d´efinition, ce foncteur est essentiellement surjectif, on peut donc appliquer la proposition A.0.4 donn´ee dans l’annexe, pour obtenir les deux derniers points.

Le foncteurκ´etant plein, la proposition suivante justifie la similarit´e entre les notations choisies pour les deux familles de foncteursisoH deFisoet IsoH deFquad.

Proposition 4.2.11. Pour tout objetH de E_q^deg, on a : κ(isoH) = IsoH.

D´emonstration. Le foncteurκ(isoH) =isoH◦σ est d´efini de la mani`ere suivante : Sur les objets

κ(isoH)(V) =F₂[Hom_Eq^deg(H, V)] = IsoH(V).

Sur les morphismes, pour un triplet [V −→^f X ←−^g W] de HomTq(V, W) et un ´el´ement [h] de isoH(V), on consid`ere le produit fibr´eD suivant dansE_q^deg:

D

f˜

//

˜ g

W

g

V _f //X

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