Le foncteur P V (0)

o`uP etP⁰ sont les produits fibr´es et X⊥

WY est la pseudo-somme amalgam´ee, dont on d´eduit que f([V →X ←W]) = [V →X⊥

WY ←Z].

Comme [V →X ←W] est un g´en´erateur deP_V⁽ⁱ⁾(W), on sait queP est de dimension inf´erieure ou

´egale `ai. Par cons´equent,P<sup>0</sup> est de dimension inf´erieure ou ´egale `ai, ce qui fournit le r´esultat.

On a le lemme suivant :

Lemme 5.1.4. Il existe une ´equivalence naturelle entre les deux foncteurs suivants : P_V^(dim(V)) 'PV.

D´emonstration. Le produit fibr´eD d’un triplet [V →X ←W] est un sous-espace quadratique de V; par cons´equent, tout triplet deV dansW est de rang inf´erieur ou ´egal `a dim(V).

On en d´eduit la proposition suivante.

Proposition 5.1.5. Les foncteurs P_V⁽ⁱ⁾ pouri= 0, . . . ,dim(V)d´efinissent une filtration croissante du foncteurPV.

D´emonstration. On a clairement l’inclusion d’espaces vectoriels : P_V⁽ⁱ⁾(W)⊂P_V⁽ⁱ⁺¹⁾(W)

pour W un objet de Tq. Par cons´equent, P_V⁽ⁱ⁾ est un sous-foncteur de P_V⁽ⁱ⁺¹⁾ par la proposition 5.1.3.

Pour un objetV deTq, on obtient la filtration suivante du foncteurPV : 0⊂P_V⁽⁰⁾⊂P_V⁽¹⁾⊂. . .⊂P_V^(dim(V)−1)⊂P_V^(dim(V))=PV.

Le but des deux prochaines sections est d’´etudier les deux extr´emit´es de cette filtration, `a savoir, le foncteurP_V⁽⁰⁾ et le quotientPV/P_V^(dim(V)−1).

Notation 5.1.6. Dans la suite, pour tout g´en´erateur dePV(W), on consid´erera un repr´esentant de la forme [V −→^α W⊥W⁰←−−^iW W], o`uiW est l’inclusion canonique. On rappelle qu’un tel repr´esentant existe, d’apr`es la proposition 2.2.14.

Remarque 5.1.7. On peut raffiner la filtration en utilisant l’ensemble partiellement ordonn´e des classes d’isomorphisme d’objets deE_q^deg.

5.2 Le foncteur P

On rappelle que le foncteur P_(V^F ₎(−) = F₂[Hom_E^f((V),−)], o`u : Tq → E<sup>f</sup> est le foncteur d´efini `a la proposition 2.5.6, est un foncteur projectif deF.

5.2.1 Etude du foncteur P

Le but de cette section est de montrer le r´esultat suivant : Th´eor`eme 5.2.1. SoitV un objet de Tq.

1. On a une ´equivalence naturelle de foncteurs :

P_V⁽⁰⁾'ι(P_(V^F ₎)

o`u,ι:F → Fquadest le foncteur d´efini `a la proposition 3.2.5.

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5.2. Le foncteurP_V⁽⁰⁾ 81

2. Le foncteur P_V⁽⁰⁾ est un facteur direct dePV.

Avant de d´emontrer ce r´esultat, on donne la caract´erisation suivante des triplets de rang nul, qui nous sera utile dans la suite.

Lemme 5.2.2. SoientV un objet deTq de dimension 2net{a1, b1, . . . , an, bn}une base symplec-tique deV. Un tripletT = [V −→^α W⊥W⁰←- W] est de rang nul si et seulement si

{pW⁰(α(a1)), pW⁰(α(b1)), . . . , pW⁰(α(an)), pW⁰(α(bn))}

est une famille libre deW⁰, o`upW<sup>0</sup> d´esigne la projection orthogonale surW<sup>0</sup>. Le foncteur :Tq → E<sup>f</sup> d´efini `a la proposition 2.5.6, fournit une application

HomTq(V, W)→HomE^f((V), (W)) pourV et W deux objets deTq

qui, de plus, est surjective, puisque est plein d’apr`es la proposition 2.5.9. On en d´eduit une application lin´eaire surjective

PV(W) ^gW////P_(V^F ₎((W)) ∀W ∈ Tq. On a le lemme suivant.

Lemme 5.2.3. Les applications gW d´efinissent une transformation naturelle entrePV etι(P_(V^F ₎).

D´emonstration. Soit T = [W1 f1

−→ X ←−^f2 W2] un morphisme de Tq, il s’agit de montrer que le diagramme suivant :

PV(W1) ^gW1 //

PV(T)

ι(P_(V^F ₎)(W1)

ι(P_(V^F ₎)(T)

PV(W2) ^gW2 //ι(P_(V^F ₎)(W2) est commutatif.

SoitT⁰= [V −→^α X⁰←^β−W1] un g´en´erateur de PV(W1).

On a, d’une part :

ι(P_(V^F ₎)(T)◦gW1(T⁰) =ι(P_(V^F ₎)(T)((T⁰)) =(T)◦(T⁰) et, d’autre part,

gW2◦PV(T)(T⁰) =gW2(T◦T⁰) =(T ◦T⁰) Or, par fonctorialit´e de, on a

(T◦T⁰) =(T)◦(T⁰) d’o`u la commutativit´e du diagramme.

Le foncteur P_V⁽⁰⁾ ´etant un sous-foncteur dePV, les applicationsgW induisent des applications P_V⁽⁰⁾(W)−−→^fW P_(V^F ₎((W)).

On d´eduit du lemme 5.2.3 le r´esultat suivant.

Lemme 5.2.4. Les applicationsfW d´efinissent une transformation naturelle entreP_V⁽⁰⁾ etι(P_(V^F ₎).

Pour d´emontrer le th´eor`eme 5.2.1, il suffit donc de montrer la proposition qui suit.

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5.2. Le foncteurP_V⁽⁰⁾ 82

Proposition 5.2.5. L’ application P_V⁽⁰⁾(W)−−→^fW P_(V^F ₎((W))est un isomorphisme pour V etW des objets deTq.

D´emonstration. 1. Surjectivit´e defW

La surjectivit´e defW est donn´ee par la proposition 2.5.10.

2. Injectivit´e defW

La transformation naturellef est induite par la transformation naturelle Hom⁽⁰⁾_Tq(V,−)→HomE^f((V), (−))

en consid´erant les espaces vectoriels librement engendr´es par ces ensembles. Donc,f est injec-tive si et seulement si cette transformation naturelle est injecinjec-tive. Par cons´equent, il suffit de v´erifier que pourT = [V −→^α W⊥W⁰←−−^iW W] etT⁰ = [V ^α puisque les triplets sont de rang nul.

On note W⁰ = Vect(w₁⁰, x⁰₁, . . . , w⁰_n, x⁰_n) (respectivement W⁰⁰ = Vect(w⁰⁰₁, x⁰⁰₁, . . . , w_n⁰⁰, x⁰⁰_n)) le sous-espace quadratique ´eventuellement d´eg´en´er´e, deW⁰ (respectivement W⁰⁰) et on d´efinit l’applicationf :W⁰→W⁰⁰parf(w_i⁰) =w⁰⁰_i etf(x⁰_i) =x⁰⁰_i pour touti∈ {1, . . . , n}.

Etant donn´e queαet α⁰ conservent la forme quadratique, on d´eduit des relations 5.2 et 5.3 que f conserve la forme quadratique. On peut donc appliquer le lemme 1.1.16 `a l’espace non d´eg´en´er´eW<sup>0</sup>⊥W<sup>00</sup> qui fournit un morphisme f : W<sup>0</sup>⊥W<sup>00</sup> →W<sup>0</sup>⊥W<sup>00</sup> de Eq et dont la restriction `aW⁰ co¨ıncide avecf. On en d´eduit la commutativit´e du diagramme suivant :

W _ dont on d´eduit l’´egalit´eT =T⁰ ´etant donn´e que, par inclusion, on a

T = [V −→^α W⊥W⁰ ←−−^iW W] = [V −→^α W⊥W⁰⊥W⁰⁰←−−^iW W] on notera tf le triplet de Hom⁽⁰⁾(V, W) qui lui correspond. Dans la suite, on notera encore tf le g´en´erateur canonique deP_V⁽⁰⁾(W) obtenu `a partir detf.

On d´eduit du point 1 du th´eor`eme 5.2.1 le corollaire suivant.

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5.2. Le foncteurP_V⁽⁰⁾ 83

Corollaire 5.2.7. Pour V, W etX des objets de Eq, f : (W)→ (X) et g :(V) →(W) des morphismes deE^f, on a :

tf◦tg=tf◦g

o`u tf, tg et tf◦g sont les triplets de, respectivement, P_W⁽⁰⁾(X), P_V⁽⁰⁾(W) et P_V⁽⁰⁾(X) associ´es aux applications lin´eaires :f, g etf ◦g.

On peut reformuler ce r´esultat en terme d’idempotent de l’anneau d’endomorphismes End(PV), pour obtenir la proposition suivante.

Proposition 5.2.8. Le triplettIdV est un idempotent deEnd(PV)tel quePV.tIdV =P_V⁽⁰⁾.

D´emonstration. Le triplettIdest un idempotent de End(PV) par le corollaire 5.2.7. On a clairement PV.tId⊂P_V⁽⁰⁾ par d´efinition de la filtration et, pour tout triplet tf deP_V⁽⁰⁾, on atf =tf◦tId, d’o`u l’´egalit´e.

Dans la suite, afin d’all´eger les notations, l’idempotenttIdV sera not´eeV.

5.2.2 Propri´ et´ es de l’idempotent e

L’idempotenteV joue un rˆole fondamental dans la d´emonstration du fait queι(F) est une sous-cat´egorie ´epaisse deFquad, donn´ee `a la section suivante. Pour cela, quelques r´esultats compl´ementaires concernant ces idempotents seront n´ecessaires. Cette section a pour vocation de donner ces pro-pri´et´es.

On rappelle la proposition suivante qui r´esulte de la combinaison des propositions 5.2.5 et 5.2.8.

Proposition 5.2.9. SoitV un objet de Tq, il existe un unique endomorphisme eV deEndTq(V)tel que :

1. l’endomorphisme eV est de rang nul ;

2. (eV) = Id(V) o`u :Tq → E<sup>f</sup> est le foncteur d´efini `a la proposition 2.5.6.

En particulier,eV est un idempotent deEndTq(V).

On d´eduit, de la proposition pr´ec´edente, le corollaire : Corollaire 5.2.10. PourV etW deux objets deTq, on a :

eV⊥W =eV⊥eW

o`u ⊥:Tq× Tq → Tq est le foncteur somme orthogonale d´efini `a la proposition 2.2.22.

D´emonstration. On v´erifie que l’endomorphismeeV⊥eW v´erifie les deux propri´et´es de la proposition 5.2.9.

On a le lemme fondamental suivant, qui nous sera utile par la suite. On rappelle queι(P_(V^F ₎)' P_V⁽⁰⁾ d’apr`es le th´eor`eme 5.2.1.

Lemme 5.2.11. SoientV etW des objets de Tq, le foncteurι induit un isomorphisme : HomF(P_(V^F ₎, P_(W^F ₎)−^'→HomFquad(P_V⁽⁰⁾, P_W⁽⁰⁾),

o`u :Tq → E est le foncteur d´efini `a la proposition 2.5.6.

D´emonstration. On a les suites d’´egalit´es :

HomF_quad(P_V⁽⁰⁾, P_W⁽⁰⁾) =P_W⁽⁰⁾(eV)P_W⁽⁰⁾(V) =P_W⁽⁰⁾(V)

=ι(P_(W^F ₎)(V) =P_(W^F ₎((V)) = HomF(P_(V^F ₎, P_(W^F ₎)

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5.2. Le foncteurP_V⁽⁰⁾ 84

5.2.3 La cat´ egorie ι(F ) est une sous-cat´ egorie ´ epaisse de F

Le but de cette section est de montrer le r´esultat suivant

Th´eor`eme 5.2.12. La cat´egorieι(F) est une sous-cat´egorie ´epaisse de Fquad o`u, ι:F → Fquad

est le foncteur d´efini `a la proposition 3.2.5.

D´emonstration. – SoitF^F un objet deF et

0→G→ι(F^F)→H→0,

une suite exacte courte dans Fquad. En utilisant la cat´egorieF⁰ introduite en 3.2.7 on peut appliquer le deuxi`eme point de la proposition A.0.4, dont on d´eduit que :G'ι(G<sup>F</sup>) par un argument similaire `a celui utilis´e `a la section 3.2.2. De mˆeme, on montre queH'ι(H^F).

– SoientG^FetH^F deux objets deF, on noteG=ι(G^F) etH =ι(H^F). Pour une suite exacte courte

0→G→F →H →0,

on souhaite montrer qu’il existe un foncteurF^F deF v´erifiantF=ι(F^F).

Soient

. . .→P1→P0→G^F →0 et

. . .→Q1→Q0→H^F →0

des r´esolutions projectives deG^F etH^F dansF, on a le diagramme commutatif . . .

dans lequel les colonnes sont des r´esolutions projectives dansFquad, d’apr`es le lemme du “fer

`

a cheval”. Or, d’apr`es le lemme 5.2.11 le morphismeι(P1)⊕ι(Q1)→ι(P0)⊕ι(Q0) est induit par un morphisme deF not´ef. On en d´eduit qu’il existe un diagramme commutatif, dont les lignes sont exactes :

Grˆace `a ce th´eor`eme, on d´eduit de la proposition 5.2.9 et du lemme 5.2.11, la caract´erisation suivante des foncteurs simples deFdansFquadqui nous sera tr`es utile dans le chapitre 8 concernant l’´etude des foncteurs polynomiaux deFquad.

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