2.5 Les effets d’optique non lin´eaire
2.5.2 Les effets induits par effet Kerr optique
La plupart des effets d’optique non lin´eaire trouvent leur origine dans la r´efraction non lin´eaire. Il s’agit l`a d’un ph´enom`ene qui traduit la d´ependance de l’indice de r´efraction `a l’intensit´e lumineuse au travers de la susceptibilit´e d’ordre 3 χ(3). Cette d´ependance de l’indice de r´efraction `a l’intensit´e se retrouve simplement dans la relation 2.32 dans laquelle on a n2 = 8n3 <(χ(3)). Dans cette relation, < d´esigne la partie r´eelle.
˜
n(ω, | E |2) = n(ω) + n2 | E |2 (2.32)
La phase du champ se propageant dans le milieu non lin´eaire est alors φ = ˜nk0L = n(ω)k0L + n2 | E |2 k0L,
le second terme de cette relation ´etant la phase non lin´eaire φN L responsable de l’auto- modulation de phase. Celle-ci est un des 2 ph´enom`enes, avec le m´elange `a 4 ondes, que nous nous proposons de pr´esenter dans ce qui suit.
Notre propos ici n’est pas de d´evelopper la th´eorie aff´erente `a ces effets car ils n’ont pas constitu´e le cœur de notre ´etude. Nous y avons, par contre, ´et´e confront´es. Notre objectif alors a ´et´e de d´evelopper des techniques originales permettant de s’en affranchir ou de repousser leur seuil d’apparition lors de la mont´ee en puissance de syst`emes `a fibre dop´ee Y b3+. C’est en ce sens, que le but de cette section est simplement de faire ressortir des expressions analytiques des p´enalit´es induites par ces ph´enom`enes sur le syst`eme au cours de l’´el´evation de la puissance de sortie et d’en d´egager des ordres de grandeur.
2Par d´efinition, v
52 Lasers `a fibre de forte puissance L’automodulation de phase
L’automodulation de phase (ou SPM en anglais pour « Self Phase Modulation » ) est une cons´equence de la d´ependance de l’indice de r´efraction `a l’intensit´e du champ. Elle sur- vient donc en r´egime de modulation de l’intensit´e du signal et r´esulte en un ´elargissement ou un affinement spectral selon la fr´equence de modulation du signal optique [Limpert 02]. Ainsi, dans le cas d’impulsions `a transform´ee de Fourier limit´ee ou chirp´ees positivement, l’automodulation de phase se traduit-elle par un ´elargissement spectral alors que dans le cas d’impulsions chirp´ees n´egativement elle a pour cons´equence un affinement spectral. L’automodulation de phase peut ˆetre vue comme l’´equivalent temporel de l’autofocalisa- tion.
La d´ependance de la phase non lin´eaire φN L est li´ee `a la variation de l’intensit´e du signal | ~E(0, t) |2 et de l’indice non lin´eaire du milieu n
2 (cf. figure 2.8).
Fig. 2.8 – D´ependance de la phase non lin´eaire `a la fr´equence optique dans un processus d’automodulation de phase (sch´ema de principe)
Pour d´ecrire l’automodulation de phase il faut r´esoudre l’´equation de Schr¨odinger non lin´eaire. Dans le cas o`u la dur´ee des impulsions est sup´erieure `a 1 ps et o`u l’on peut n´egliger les effets de la dispersion de la vitesse de groupe β2 = dωd (v1g), cette ´equation se r´eduit `a l’´equation de propagation 2.33. Dans cette ´equation, ~E(z, t) est l’amplitude du champ normalis´ee [Agrawal 95]. Pour notre ´etude, nous nous placerons dans le cadre de ces approximations.
∂ ~E ∂t = iγ
Y b
KerrP0exp(−αz) | ~E |2 E~ (2.33)
Dans cette ´equation, α est le coefficient de perte lin´e¨ıque de la fibre, P0 est la puissance crˆete et γY b
Kerr le param`etre de Kerr non lin´eaire dans une fibre dop´ee Y b3+. Il est reli´e au coefficient d’indice non lin´eaire n2 par la relation 2.34. Dans celle-ci γKerrY b est exprim´e en [W−1 m−1 ], n2 est exprim´e en [m2W−1]. γKerrY b = n2ω0 cAef f (2.34) L’´equation 2.33 se r´esout simplement et on obtient alors l’amplitude du champ :
~
2.5 Les effets d’optique non lin´eaire 53 avec
φN L(z, t) =| ~E(0, t) |2 Lef fγKerrY b P0 (2.36) Ces ´equations traduisent le fait qu’au cours de sa propagation de long de la fibre l’intensit´e du champ demeure inchang´ee, | ~E(z, t) |2=| ~E(0, t) |2, tandis que son amplitude d´epend du d´ecalage de phase qui lui varie selon z et t. L’´elargissement spectral induit par l’automodulation de phase est alors la cons´equence de la d´ependance au temps de φN L(z, t) car elle implique une variation de la fr´equence optique ω instantan´ee traduite par 2.38. Lef f la longueur effective toujours d´efinie par la relation 2.21.
δω(t) = −∂φ∂tN L (2.37) = −∂ | ~E(0, t) | 2 ∂t Lef fγ Y b KerrP0 (2.38)
Le maximum du d´ecalage de phase est obtenu au milieu de l’impulsion. Dans le r´ef´erentiel choisi pour d´efinir ces ´equations, ceci survient pour t = 0. Dans ce cas, l’´elargissement spectral engendr´e par automodulation de phase est lui aussi maximis´e et prend pour expression ∆w(0). Sa valeur est calcul´ee connaissant les param`etres de l’amplificateur (longueur effective Lef f, puissance crˆete P0, dur´ee d’impulsion ∆t), le param`etre de Kerr non lin´eaire γY b
Kerr de la fibre retenue et en se souvenant que | ~E(0, 0) |2 = 1. ∆w(0) ∼= γKerrY b
P0
∆tLef f (2.39)
En pratique la d´eformation peut ˆetre relativement importante puisqu’elle peut at- teindre 100 GHz (soit approximativement 0, 8 nm) pour P0 = 1 kW pour des impulsions de dur´ee 10 ps [Jaouen 05]. A contrario, nous avons pu trouver une solution afin de limiter l’´elargissement spectral du `a l’automodulation de phase `a moins de 0, 08 nm jusqu’`a des puissances crˆetes de 1, 7 kW dans des impulsions de dur´ee inf´erieure `a 2 ns comme nous le montrerons dans le 4.3.1 de ce m´emoire relatif aux m´ethodes permettant une minimi- sation des p´enalit´es induites par les effets de l’automodulation de phase. Ceci constitue un r´esultat original obtenu au cours de nos travaux et qui a d’ailleurs pu ˆetre publi´e [Grot 05].
Le m´elange `a 4 ondes
Le m´elange `a 4 ondes consiste `a faire interagir 2 ondes pompes ~Ep1, ~Ep2 et une onde
signal ~E3 de fr´equences optiques ω1, ω2 et ω3 dans un milieu non lin´eaire du troisi`eme ordre. Celles-ci g´en`erent une onde `a la fr´equence ω4 = ω1 + ω2 − ω3. On peut montrer [Agrawal 95] que l’amplitude des enveloppes des champs cr´e´es varie exponentiellement le long de l’axe de propagation de la fibre selon un terme de gain param´etrique gKerr dont l’amplitude est maximale lorsque la condition d’accord des constantes de propagation est r´ealis´ee. Autrement dit lorsque [Shibata 87]
∆β = (˜n4ω4 + ˜n3ω3− ˜n2ω2− ˜n1ω1)/c = 0.
On montre par ailleurs (cf. ´equation 2.40) la d´ependance de la variation des constantes de propagation au param`etre de dispersion D. Dans cette ´equation f = ω/2π et on a
54 Lasers `a fibre de forte puissance suppos´e qu’on pouvait n´egliger la variation de la dispersion `a la longueur d’onde dD/dλ par rapport `a la valeur D de la dispersion. Approximation qui reste valable tant que la longueur d’onde reste ´eloign´ee des longueurs d’onde `a dispersion chromatique nulle [Shibata 87]. Ceci est parfaitement justifi´ee dans le cas d’une ´etude dans la bande spectrale 1000 − 1100 nm. L’efficacit´e η et le rapport de la puissance de l’onde g´en´er´ee par m´elange `a 4 ondes Pg sur la puissance de sortie en fonction de la puissance sur chaque voie d’entr´ee s’en d´eduisent (cf. ´equations 2.41 et 2.42 [Jaouen 00]). Pour rappel, α est le coefficient de perte lin´e¨ıque de la fibre `a la longueur d’onde consid´er´ee.
∆β = 2πλ 2 c ∆f D (2.40) η = α 2 α2+ ∆β2(1 + 4e−αL sin2(∆βL/2) 1 − e−αL ) (2.41) Pg Ps = (D 3γ Y b Kerr exp(gL) g ) 2P 1× P2exp(gL)η (2.42)
Dans ces formules L est la longueur du mat´eriau non lin´eaire ici la fibre, GdB = exp(gL) est le gain de l’amplificateur et D est un facteur de d´eg´en´erescence. Il vaut D = 1 lorsque toutes les fr´equences entrant en jeu dans le processus de m´elange `a 4 ondes sont identiques, D = 3 lorsque 2 des fr´equences sont identiques et D = 6 lorsqu’elles sont toutes diff´erentes. Ces relations nous permettrons dans la suite de notre ´etude de traiter de la puissance critique `a laquelle un ´elargissement spectral peut survenir au cours de l’amplification d’une source tr`es coh´erente `a 1 µm (cf. 4.3) et engendr´e par m´elange `a 4 ondes.