La fr´equence r´eduite et le calcul du diam`etre de mode

La fr´equence r´eduite est la grandeur sans dimension caract´erisant le caract`ere mono- mode ou multimode d’une fibre optique `a une longueur d’onde donn´ee connaissant son ouverture num´erique O.N. et son diam`etre de cœur φcoeur. Elle est donn´ee tr`es simplement par la relation 1.1 page 13. L’´evolution de ce param`etre est donn´ee par la figure 2.18 en fonction de l’ouverture num´erique de la fibre, connaissant son diam`etre de cœur, pour une longueur d’onde de 1064 nm.

Fig. 2.18 – ´Evolution de la fr´equence r´eduite V en fonction de l’ouverture num´erique O.N. de la fibre connaissant son diam`etre de cœur.

Tant que la fibre conserve un caract`ere monomode (V < 2, 405), et dans le cas de l’hypoth`ese d’une enveloppe de mode gaussienne, le diam`etre de mode φmode, d´efini `a une amplitude de 1/e, est donn´e par la relation 2.51 page 61 dite « formule de Marcuse » qui reste pr´ecise `a mieux que 1% tant que V demeure inf´erieure `a 4. La d´etermination de φmode devient plus d´elicate lorsque la fibre ne peut plus ˆetre consid´er´ee comme « monomode » . Ce calcul est pourtant d’une extrˆeme importance dans la d´etermination du r´egime (satur´e, non satur´e) de fonctionnement d’un amplificateur `a fibre et la pr´ediction du profil d’impulsion en sortie (cf. Chap. 5).

Pour y parvenir, une approche compl`ete n´ecessite la r´esolution de l’´equation de propa- gation du champ dans une fibre. Les champs ´electrique −→E et magn´etique −→H satisfaisant les ´equations de Maxwell, il est possible de montrer que les solutions sont les fonctions de Bessel Jm et de Bessel modifi´ees Km [Agrawal 95]. Les valeurs de m repr´esentent les valeurs propres solutions de ces ´equations. Elles sont positives dans le cas des champs guid´es par une fibre optique et toutes les composantes des champs −→E et −→H sont non nulles.

2.7 L’´energie de saturation et l’´energie maximum extractible 67 Ces ´equations ne sont pas d’un maniement ais´e en pratique et des formules analytiques permettent dans la plupart des cas de s’en affranchir. On consid`ere, pour cela, une onde lumineuse d’enveloppe Gaussienne E(t) = exp(−(2t/φmode)2). Le diam`etre de mode d´efini `

a 1/e est alors φmode.

Dans [Desurvire 94], l’auteur cite 2 approches donnant chacune, dans le cas o`u l’´equa- tion de Marcuse n’est plus d’une pr´ecision suffisante, des valeurs approch´ees des diam`etres de mode du mode fondamental d´efinis `a une amplitude de 1/e dans le cas de fibres `a large surface de mode. Ces ´equations s’appliquent donc aux grandes valeurs de V soit, en d´efinitive, pour V > 4.

Dans la premi`ere, l’auteur consid`ere le mode comme gaussien et dans ce cadre le diam`etre de mode φGauss

mode est donn´e par l’´equation 2.54. φGauss_mode = φ_√coeur

2 × (0, 65 + 1, 619V −3/2

+ 2, 879V−6

) (2.54)

Dans la seconde, il choisit l’hypoth`ese d’une enveloppe de mode gaussienne et la rela- tion donnant le diam`etre de mode en fonction de la fr´equence r´eduite fait cette fois aussi appel aux ´equations de Bessel mais au travers d’une relation simple ne n´ecessitant pas la r´esolution des ´equations de propagation. Dans ce dernier cas, φBessel

mode est donn´e par la relation 2.55 avec U donn´ee par 2.56, W par 2.57 et V ´etant toujours, bien entendu, la fr´equence r´eduite donn´ee par la relation 1.1.

φBessel_mode = φcoeur×

V K1(W ) U K0(W )× J 0(U ) (2.55) U = (1 + √ 2)V 1 + (4 + V4₎0.25 (2.56) W2 = V2_{− U}2 (2.57)

Ce faisant un outil de programmation incluant les fonctions de Bessel et de Bessel modifi´ees dans son code, permet de calculer les valeurs des diam`etres de mode des fibres souhait´ees connaissant leur ouverture num´erique et leur diam`etre de cœur. Ces valeurs sont celles de la dimension du diam`etre de mode du mode fondamental. Nous consid´erons cette approximation comme suffisante car, dans le cas o`u les fibres ne permettent en th´eorie plus d’assurer la propagation unique du mode fondamental, des m´ethodes pratiques d’en- roulement de la fibre assurent que pratiquement toute la puissance sera concentr´ee dans ce mode. Ceci est d’autant plus vrai que les fibres demeurent faiblement multimodes, ce qui est le cas dans nos travaux.

Pour le calcul, nous avons, pour notre part, utilis´e l’outil de programmation et de simulations Matlab
. Par comparaison avec les valeurs de diam`etres de mode,

de surfaces effectives ou encore d’´energies de saturation report´ees dans la litt´erature, nous sommes en mesure d’affirmer que ces valeurs approch´ees sont d’une pr´ecision suffisante pour la suite de notre ´etude. Le tableau 2.6 r´ecapitule les valeurs de diam`etres de mode report´es dans la litt´erature pour diverses fibres `a large surface de mode en comparaison des valeurs trouv´ees par notre calcul. Il regroupe aussi les r´esultats de ce calcul pour les diverses fibres que nous avons eues `a utiliser durant notre travail. Dans le tableau 2.6 le diam`etre de mode not´e donn´e est celui mentionn´e dans la r´ef´erence en question. Sont not´ees en gras, les valeurs que nous retiendrons dans la suite de notre ´etude.

68 Lasers `a fibre de forte puissance

Exemple R´ef´erence O.N. φcoeur (en

µm)

V φmode (en µm)

Donn´e Gauss Bessel Marcuse

[Piper 04] 0,06 40 7,08 21,7 20,8 22,7 29,5 Fibre [6 µm, 0,12] Keopsys 0,12 6 2,1 5,1 4,8 7,3 Fibre [20 µm, 0,14] Keopsys 0,14 20 8,3 10,1 11,1 14,4 Fibre [30 µm, 0,08] Keopsys 0,08 30 7,1 15,6 17 22,1 Fibre [13 µm, 0,13] Keopsys 0,13 13 5 7,3 7,8 10,4 Fibre [20 µm, 0,1] Keopsys 0,1 20 5,9 10,8 11,7 15,3 Fibre [10 µm, 0,08] Keopsys 0,08 10 2,4 7,8 7,6 11,2

Tab. 2.6 – Calculs des diam`etres de mode par m´ethodes des approximations de modes Gaussiens (i.e. « Gauss » ), des enveloppes gaussiennes (i.e. « Bessel » ) et enfin par la formule de Marcuse.