Les différents régimes de croissance du tube

        ρ_u = ρ_u∞− ρ_b0^{v(v − y0ωof f)} Dω_off ^exp( ω_off v ^x) ρ_b = ^ωonρbm ω_off ^ρu∞+  ρ_b0− ^ωonρbm ω_off ^ρu∞  exp(^ωoff v ^x) (4.9)

Dans la première ligne le préfacteur ^{v(v − y0ωoff)}

Dω_off ^{, qui est un nombre de Péclet}

(le sens de ce nombre est expliqué dans la suite) où la vitesse vaut v − y₀ω_off et la distance caractéristique v/ω_off, est inférieur à 10⁻², la diffusion est rapide sur cette petite distance et finalement ρ_u(x) ≈ ρ_u∞. Donc à l’extrémité du tube ρ_u n’est pas perturbée, et le rapport cyclique r relaxe à sa valeur indiquée en (4.6) sur une distance ^v

ω_off ^{inférieure à 100nm, illustrée avec des paramètres typiques}

sur la fig 4.2.b.

4.3.4. Les différents régimes de croissance du tube

Nous allons discuter des régimes de croissance de tube tirés par des moteurs aussi bien non processifs que processifs. Les équations gouvernant l’évolution des densités dans le cas de moteurs processifs sont :

         ∂ρ_u ∂t ^{= D} ∂2ρ_u ∂x2 − v^∂ρu ∂x − ω_onρ_u( ^nf 2πR₀d − ρ_b) + ω_offρ_b ∂ρ_b ∂t ^{= −v0} ∂ρ_b ∂x ^{+ ωonρu(} nf 2πR₀d− ρ_b) − ω_offρ_b (4.10)

où v₀ est la vitesse de marche des moteurs accrochés, et égale à leur vitesse maximale en absence de force. En sommant les deux lignes on trouve l’équation gouvernant l’évolution de la densité totale ρ :

Chapitre 4. Modèle de l’extraction de tubes membranaires par les moteurs non processifs renforcés par la force myosine 1b

∂ρ

∂t ^{= (1 − r)D} ∂2ρ

∂x2 −^v(1 − r) + v₀r^∂ρ

∂x ^(4.11)

Elle est très similaire à l’équation (4.7), et montre que le cas des moteurs non processifs, équation 4.7, est un cas particulier de l’équation 4.11 où v₀ = y₀ω_off. Nous discutons le cas général, équation4.11, dans la suite de cette section.

Nous considérons un tube exerçant une force constante, avec n_f et ρ_v constants. L’évolution de la vitesse d’élongation v ne dépend alors que de ρ(L). Initialement

v est constant. Etudions l’évolution du système. Les moteurs ont une vitesse

moyenne v(1 − r) + v₀r, c’est la moyenne des vitesses des moteurs dans les états

respectivement décroché et accroché, pondérées par la fraction du temps passé dans chaque état. Il existe deux régimes de croissance, selon que l’élongation du tube est plus ou moins rapide que le transport des moteurs.

Régime de déplétion à l’extrémité du tube

Le cas où l’advection des moteurs est plus lente que la croissance du tube,

v(1 − r) + v₀r < v, implique v₀ < v : la vitesse de marche des moteurs (ou y₀ω_off

pour des moteurs non processifs) est plus faible que la vitesse d’extension du tube. L’extrémité du tube se déplète alors en moteurs. Nous allons déterminer le temps caractéristique de la déplétion.

Au début de l’extraction du tube, la longueur du tube est faible, la diffusion homogénéise ρ qui reste constant le long du tube. La vitesse d’extraction est alors constante : v ≈ v(ρ(x = 0)). Estimons la durée durant laquelle cette vitesse se maintien. L’équation (4.11) n’est pas soluble avec des frontières mobiles. Cependant une géométrie plus simple permet de quantifier la transition entre deux régimes successifs. Nous résolvons l’équation (4.11) en milieu semi-infini sur le demi espace

x > 0, avec la condition de bord ρ(x = 0, t) = ρ(0). Cela revient à ignorer la paroi à

l’extrémité du tube en x = L, ce qui est correct car dans ce régime peu de moteurs sont transportés au delà de x = L (sauf lorsque v₀ tend vers v). La solution s’écrit

ρ(x, t) = ^ρ(0) 2  erfc^{ x − v} 0t 2(D0t)1/2  + exp(^v 0x D0)erfc^{ x + v} 0t 2(D0t)1/2 ^ (4.12) Où v⁰ = v(1 − r) + v₀r et D⁰ = D(1 − r). Nous estimons la densité à l’extrémité du tube par ρ(L, t) = ρ(x = vt, t).

L’extrémité du tube se dépléte lorsqu’il devient trop long pour que la densité s’homogénéise par diffusion. On considère que l’extrémité du tube est sensiblement déplétée lorsque la densité de moteurs a diminué de moitié. Le temps critique t^∗ nécessaire a cette déplétion est alors défini par ρ(vt^∗, t^∗) = ρ(0)/2. Nous estimons

t^∗ en développant cette dernière formule, et trouvons

4.3. Dynamique des myosines 1b le long du tube

t^∗ = ^D

0π

4v2 (4.13)

La vitesse d’advection v⁰ n’intervient pas dans cette formule, car à temps court le transport est dominé par la diffusion. Une représentation de ρ(x = vt, t) en fonction du temps pour différents v⁰ illustre ce résultat, fig 4.3 : la densité à l’extrémité du tube diminue sensiblement au delà d’une durée de un à quelques t^∗ sur une large gamme de v⁰. Notons que notre calcul n’est pas valable dans la limite où v⁰ tend vers v : nous ne pouvons pas alors ignorer la paroi à l’extrémité du tube et t∗

dépend alors de v⁰. 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 t / t / ⁰ 0.01 0.1 0.5 0.9 0.99 v’/ v : * 0 1 2 3 4 5

Figure 4.3. – Représentation graphique de la densité en myo1b au point L(t),

d’après l’équation (4.12), pour des vitesses de transport v⁰ variant de 0.01v a 0.99v Au temps t^∗, la longueur critique du tube L^∗ = vt^∗ vérifie ^vL_D0^∗ = ^π₄. On reconnaît le nombre de Péclet Pe= V L/D où L est la distance caractéristique dans le système,

V la vitesse et D le coefficient de diffusion. ce nombre caractérise les phénomènes

d’advection-diffusion. La transition entre un transport dominé par l’advection et un transport dominé par la diffusion s’opère de manière nette autour d’une valeur de P e ≈ 1. Une explication intuitive du nombre de Péclet peut être trouvée dans le livre de Redner [130].

Ensuite, la longueur du tube suit l’avancée de front de la densité : l’élongation du tube au cours d’une durée ∆t, v∆t est approximativement la somme de la contribution du transport convectif des moteurs v⁰∆t et de leur transport diffusif (D0∆t)1/2. On trouve alors L(t) − L∗ ≈ ^(D0∆t)_r ^1/2 + v₀∆t. La vitesse délongation

relaxe vers v₀, avec une seconde durée caractéristique ∆t^∗∗ = D⁰ (rv0)2.

Régime d’accumulation à l’extrémité du tube

Dans l’autre cas, v₀ > v, l’advection des moteurs est plus rapide que la croissance

du tube, les moteurs rattrappent donc l’extrémité du tube et s’accumulent sur une distance caractéristique décrite dans [39]. Cette augmentation de la densité tend à

Chapitre 4. Modèle de l’extraction de tubes membranaires par les moteurs non processifs renforcés par la force myosine 1b

accélérer l’extraction. Cette accumulation cesse si v atteint v₀.

Les différentes situations sont synthétisées sur le schéma de la fig 4.4. Il existe deux types de courbes v(ρ) la vitesse de croissance en fonction de la densité à l’extrémité. Dans le cas (1) v < v₀ pour tout ρ : le système est dans un régime d’accumulation sans fin, tant que d’autres facteurs n’affectent pas la croissance, tels que la déplétion de la vésicule ou une variation de la force du tube. Dans le cas (2),

v > v₀ au dela d’un certain ρ, deux dynamiques sont possibles selon l’état initial

du système. Si initialement v < v₀, le tube croît d’abord en régime d’accumulation et la vitesse augmente jusqu’à ce que v atteigne v₀. Puis la vitesse reste constante et l’accumulation cesse. Si initialement v > v₀, le tube croît en régime de déplétion jusqu’à ce que v atteigne v₀, la densité est alors constante dans le tube.

Les moteurs processifs sont toujours dans le cas (1), car les moteurs qui extraient le tube sont ralentis par sa force et sont donc plus lents que les moteurs libres (et on suppose que l’accrochage de moteurs en avant du tube contribue peu dans son élongation dans ce cas). L’étude de l’extraction de tubes par des kinésines 1 [93,39] illustre cette situation, voir section2.5. Les moteurs non processifs peuvent être dans le cas (1) ou (2). En effet de par la nature fluide de la membrane plasmique, ils peuvent étirer le tube à une vitesse supérieure à y₀ωoff, comme nous le constaterons plus loin. 1 2 v v₀  _max 0

Figure 4.4. – Schéma synthétisant les différents régimes de croissance des tubes.

Les deux courbes représentent schématiquement la vitesse délongation v en fonction de la densité au bout du tube ρ. La vitesse v₀ est la vitesse d’avancée des moteurs accrochés le long du tube. ρ_max est la densité de saturation en moteurs au bout du tube (soit l’inverse de la surface par moteur). Les flèches indiquent l’évolution dans le temps de l’état du système, et les points indiquent les états stationnaires.

Régime de croissance dans nos expériences

Expérimentalement comme y₀ω_off ≈ 10nm.s−1, et qu’on observe des vitesses

v atteignant 100nm.s⁻¹, notre système a une courbe v(ρ) de type (2). Pour la