Les deux premiers axiomes de la protothétique

Voici les deux premiers axiomes de la protothétique, A1 et A2 :

F 4.11. _{A1 : pqr ≡(≡(≡(pr)≡(qp))≡(rq))} F 4.12. _{A2 : pqr ≡(≡(p≡(qr))≡(≡(pq)r))}

Il convient de noter qu’un SL prend intérêt au moment où on a introduit : (1) un ou plusieurs axiomes,

(2) dans la bibliothèque, ce que nous avons vu concernant l’expression

biconditionnelle primitive, à savoir :

Catégorie Catégorie Catégorie

Catégorie ConstanteConstante ConstanteConstante ContexteContexte ContexteContexte Table de véritéTable de véritéTable de véritéTable de vérité

S/SS ≡ (- -) 100118

(3) et que l’on dispose de la règle d’inférences de définition.

Par conséquent nous pouvons maintenant mettre en œuvre la procédure définitoire. 4.4.3 Premier temps de la construction de la protothétique

Nous n’entrerons pas dans les détails de la génération des thèses-définition de la

protothétique puisque notre objectif est la formalisation de nos exemples de tableau de bord à

l’aide de l’ontologie, dont nous analyserons sa construction plus en détail. Nous rappelons que la protothétique sert de fondement pour l’ontologie.

Sachant qu’à n’importe quel moment, la construction du système peut s’arrêter ou continuer à s’enrichir, voyons dans la figure suivante le processus d’enrichissement :

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Figure 25. Processus de construction d’un SL

Dans le losange des règles d’inférences, nous avons, tout d’abord, mentionné la règle

d’inférences de définition qui gouverne la procédure définitoire et permet d’introduire à tout

moment une nouvelle thèse dans le système. Les quatre autres règles d’inférences permettent aussi d’introduire, à l’aide de ce qui précède (axiomes et thèses), des nouvelles thèses. L’introduction d’inscriptions, à l’aide de ces cinq règles, permet de procéder à des déductions ou à des preuves. Le blocs-notes illustre ce que le système acquiert et qui servira de référence pour une étape d’enrichissement ultérieure.

Voici la liste des thèses-définition introduite dans le premier temps et qui suivent strictement la règle d’inférences de définition :

F 4.13. D1, affirmation du conséquent :

_{pq ≡(µ(pq)≡(p≡(pq)))}

Catégorie Catégorie Catégorie

Catégorie ConstanteConstantessss ConstanteConstante ContexteContexteContexteContexte Table de véritéTable de véritéTable de véritéTable de vérité19191919

S/SS ≡, µ (- -) 1010 F 4.14. D2, tautologie binaire : _{pq ≡(τ(pq)≡(≡(pq)≡(pq)))} Catégorie Catégorie Catégorie

Catégorie ConstantesConstantes ConstantesConstantes ContexteContexteContexteContexte Table de véritéTable de vérité Table de véritéTable de vérité

S/SS ≡, µ, τ (- -) 1111

F 4.15. D3, identité / affirmation de l’antécédent :

_{p ≡(α(p)≡(p q ≡(qq)))}

Catégorie Catégorie Catégorie

Catégorie ConstanteConstante ConstanteConstante ContexteContexteContexteContexte Table de véritéTable de vérité Table de véritéTable de vérité

S/S α (-) 1100 F 4.16. D4, négation : _{p ≡(~(p)≡(pq q))} Catégorie Catégorie Catégorie

Catégorie ConstantesConstantes ConstantesConstantes ContexteContexteContexteContexte Table de véritéTable de vérité Table de véritéTable de vérité

S/S α, ~ (-) 00

F 4.17. D5, ou exclusif :

_{pq ≡(ω(pq)¬(≡(pq)))}

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Catégorie CatégorieCatégorie

Catégorie ConstantesConstantesConstantesConstantes ContexteContexteContexteContexte Table de véritéTable de véritéTable de véritéTable de vérité

S/SS ≡, µ, τ, ω (- -) 0110

F 4.18. D6, tautologie unaire :

_{p ≡(τ(p)≡(pp))}

La redéfinition de τ permise pour une nouvelle catégorie puisqu’elle est appliquée sur un contexte différent de F 4.14. C’est un exemple de polysémie du terme constant τ.

Catégorie CatégorieCatégorie

Catégorie ConstantesConstantesConstantesConstantes ContexteContexteContexteContexte Table de véritéTable de véritéTable de véritéTable de vérité

S/S α, ~, ¬, τ (-) 11

F 4.19. D7, (sans interprétation) :

_{pqr ≡(δ(pqr)≡(r~(≡(pq)))}

Catégorie CatégorieCatégorie

Catégorie ConstantesConstantesConstantesConstantes ContexteContexteContexteContexte Table de véritéTable de véritéTable de véritéTable de vérité

S/SSS δ (- - -) 01101001

F 4.20. D8, (fonction logique définissant la constante logique : faux) : ≡(Fp p)

Catégorie CatégorieCatégorie

Catégorie ConstantesConstantesConstantesConstantes ContexteContexteContexteContexte Table de véritéTable de véritéTable de véritéTable de vérité

S F ₀

F 4.21. D9, (fonction logique définissant la constante logique : vrai) : ≡(V~(F))

Catégorie CatégorieCatégorie

Catégorie ConstantesConstantesConstantesConstantes ContexteContexteContexteContexte Table de véritéTable de véritéTable de véritéTable de vérité

S F, V 1

F 4.22. D10, (fonction logique définissant la constante logique : vrai / tautologie) : ≡(Tp ≡(pp))

Catégorie CatégorieCatégorie

Catégorie ConstantesConstantesConstantesConstantes ContexteContexteContexteContexte Table de véritéTable de véritéTable de véritéTable de vérité

S F, V, T 1

F 4.23. D11, (ou exclusif appliqué à deux contextes) :

_{pqr ≡(ωpq(r)≡~(≡(pq))r))}

La redéfinition de ω est permise pour une nouvelle catégorie puisqu’elle est appliquée sur des contextes différents de F 4.17. C’est un deuxième exemple de polysémie, celle du terme constant ω.

Catégorie Catégorie Catégorie

Catégoriessss ConstantesConstantesConstantesConstantes ContexteContexteContexteContexte

(S/S)/SS ω - -

Cette nouvelle thèse-définition introduit non seulement un terme constant de la

catégorie (S/S)/SS associée au contexte - -, mais aussi la « sous-catégorie » S/S

où le terme constant est de la forme : ω- - associé au contexte (-) :

S/S α, ~, ¬, τ, ω- - (-)

F 4.24. D12, (ou exclusif appliqué à trois contextes) :

_{pqr ≡(ω[p]q(r)≡(~(≡(pq))r))}

La redéfinition de ω est permise pour une nouvelle catégorie puisqu’elle est appliquée sur des contextes différents de F 4.14. et de F 4.23. C’est un troisième exemple de polysémie, celle du terme constant ω.

Catégories Catégories Catégories

Catégories ConstantesConstantesConstantesConstantes ContexteContexteContexteContexte

((S/S)/S)/S ω [-]

Comme pour la thèse-définition D11, en fait, deux « sous-catégories » sont introduites :

S/S ω [-]- (-)

(S/S)/S ω [-] -

Parmi les douze inscriptions qui viennent enrichir le système, trois sont des fonctions

logiques qui définissent le « vrai » et « le faux » ; les autres sont des thèses-définition qui

introduisent des nouveaux termes constants. A cet état, le système connaît en particulier : la négation (unaire), la disjonction exclusive (binaire), la tautologie (unaire et binaire). Il serait intéressant qu’il dispose de termes constants interprétés comme la conjonction, la conditionnelle et la disjonction inclusive. A ce sujet, Denis Miéville constate :

Malgré cette richesse potentielle, un système de la logique des propositions quantifiées fondé sur l’unique foncteur constant de la biconditionnelle, et disposant notamment comme règle d’inférence la procédure définitoire […] ne donne pas accès à certains foncteurs fondamentaux tels que la conjonction propositionnelle ou la conditionnelle. Leśniewski va résoudre le problème en s’appuyant sur les travaux de Tarski (MIEVILLE, 2007, p. 65).

C’est à ce sujet qu’un des grands pivots des SL fait surface : la quantification des

foncteurs.