Les commandes prédictives à grandeurs de commande discrètes

Le type de commande prédictive présenté dans la sous-section 3.1.1 s’applique particulièrement bien à

des systèmes dont la grandeur de commandeu∈R

^m

. Par contre, il adresse relativement mal les systèmes

possédant un ensemble finiΣde grandeurs de commande, à savoiru(k)₌u

i

aveci =^0,...,n etn ∈Nle

nombre d’éléments deΣ. Une formulation MLD de ces systèmes ([Bemporad and Morari, 1999]) est

pos-sible, mais cette approche, complexe, n’est généralement pas privilégiée. La commande prédictive à

gran-deurs de commande discrètes, ou en anglaisFinite Control Set-Model Predictive Control ou FCS-MPC, a

donc été conçue spécifiquement pour ce type de système.

Le développement de cette commande prédictive a été porté par le domaine de la conversion à

décou-page de l’énergie électrique. Deux principaux aspects le différencient des domaines pour lesquels la

com-mande prédictive avait jusqu’alors été introduite. D’une part, comme cela a été évoqué précédemment, les

convertisseurs à découpage sont constitués d’un ensemble d’interrupteurs dont la commande est binaire (0

ou 1). Ainsi, quelle que soit la structure de convertisseur considérée, le nombre de vecteurs de commande

d’in-terrupteurs n’étant pas possibles (pour des raisons d’association de sources, par exemple celles aboutissant

au court-circuitage de la source DC sont interdites),nest strictement inférieur au nombre de possibilités

théorique induit par les interrupteurs. Les valeurs de n, pour les convertisseurs usuellement utilisés, sont

disponibles dans [Cortes et al., 2008a]. L’utilisation d’un modulateur évite de prendre en compte l’aspect

discret des grandeurs de commande dans le régulateur. Dans ce cas, la structure de commande prédictive

à grandeurs de commande continues peut être utilisée, pouvant aboutir, entre autres, à l’utilisation d’une

commandeDead-Beatpar exemple [Cortes et al., 2008a]. Une commande prédictive explicite, développée

pour réguler une machine asynchrone par l’intermédiaire d’un onduleur trois bras deux niveaux, a été

déve-loppé dans [Linder and Kennel, 2005] grâce aux travaux de Bemporad. Cependant, aussi bien en termes de

dynamique qu’en termes de performances, il est peut être intéressant d’intégrer la caractéristique discrète

deudirectement dans le régulateur.

D’autre part, les périodes d’échantillonnage sont beaucoup plus restreintes. Elles sont de l’ordre de la

ms pour les convertisseurs moyennes puissances, et pouvant descendre à la dizaine deµspour les

conver-tisseurs de quelqueskW. Ceci entraine logiquement une difficulté dans la résolution du problème optimal

prédictif.

Par la suite, un bref historique présentera les étapes clefs de ce développement, puis une présentation

du problème optimal prédictif classique et de sa résolution va être proposée.

3.1.2.1 Etat de l’art de la commande prédictive à grandeurs de commande discrètes

Suite à l’apparition dans les années 60 et 70 de la commande prédictive, des travaux visant à l’adapter

à la commande directe de convertisseurs ont débuté. Les états de l’art proposés par [Kennel and Linder,

2000] et [Cortes et al., 2008a] retracent les premiers développements de commandes prédictives aux années

80 avec l’apparition des commandes prédictives hystérétiques. Il faudra attendre les travaux réalisés, entre

autres par Rodriguez et Kennel, dans les années 2000 pour retrouver une structure de commande prédictive

correspondant à la description faite dans la sous-section 3.1.1. Dans les travaux proposés sur cette période,

le problème optimal prédictif est résolu en calculant toutes les séquences possibles deusur l’horizon de

prédiction, donc sur N périodes d’échantillonnage. Pour permettre l’implémentation des commandes en

temps réel, N est généralement maintenu à 1. Dans [Rodriguez et al., 2007], un contrôleur prédictif de

cou-rant est proposé pour contrôler une charge triphasée résistance / inductance / force contre-électromotrice

par l’intermédiaire d’un onduleur trois bras deux niveaux. Ce dernier est utilisé dans [Fuentes et al., 2009a]

en cascade avec un régulateur linéaire de vitesse pour réguler une machine synchrone à aimants

perma-nents par l’intermédiaire d’un convertisseur du même type. Une commande prédictive sans cascade tend

à commander en vitesse le même système dans [Fuentes et al., 2009b]. Des commandes prédictives

spé-cifiques à d’autres types de convertisseurs et d’autres applications ont rapidement émergé. Dans [Geyer,

2011], une commande prédictive dédiée au contrôle d’une machine asynchrone alimentée par un

convertis-seur à neutre clampé (en anglaisNeutral Point Clampedou NPC) est disponible. Dans [Cortes et al., 2008b],

une commande prédictive en puissance est destinée à un redresseur actif. Une liste plus exhaustive peut

être déduite des articles [Cortes et al., 2008a], [Kouro et al., 2009] et [Rodriguez et al., 2013], qui dressent un

état de l’art des différentes solutions existantes.

Les résultats obtenus dans ces articles tendent à prouver que la commande prédictive à grandeurs de

commande discrètes est performante, entre autres, face à des régulateurs linéaires [Kouro et al., 2009]. Ces

performances sont, cependant, limitées par l’imposition d’un horizon de prédiction n’incluant qu’une

riode d’échantillonnage. Pour parer à cela, le travail réalisé dans [Ramirez Martinez et al., 2010] propose le

contrôleur de courantModel Predictive Direct Current Control. Celui-ci, dans un premier temps, calcule, sur

un horizon de prédiction relativement restreint, les évolutions du courant statorique induites par toutes les

séquences de grandeurs de commandeupossibles. Il effectue par rapport aux résultats une pré-sélection,

et extrapole les courants statoriques des séquences restantes. La fonction de coûtJ prend en compte les

prédictions et l’extrapolation. Dans une certaine mesure, cette commande fait donc son choix sur un long

horizon. Cette commande est comparée dans [Geyer, 2011] aux résultats obtenus avec un régulateur linéaire

et avec une commande prédictive à grandeurs de commande discrètes avec un horizon de prédiction de 1.

L’application cible est une commande de machine asynchrone alimentée par un convertisseur NPC. Enfin,

plus récemment, une commande prédictive à grandeurs de commande discrètes incluant un long horizon

de prédiction (N=10) a été proposée. Pour résoudre le problème optimal prédictif sans calculer toutes les

séquences de grandeurs de commande possibles, la solution est approchée par utilisation de l’algorithme

Sphere Decoding[Geyer and Quevedo, 2015]. Si cette perspective est particulièrement intéressante dans le

domaine des convertisseurs à découpage, elle n’en reste pas moins marginale par rapport à l’état actuel de

la littérature sur le FCS-MPC.

3.1.2.2 Structure de la commande prédictive à grandeurs de commande discrètes

Le problème optimal prédictif de ce type de commande, conformément aux principaux articles listés

dans l’état de l’art précédent, se différencie par plusieurs aspects de la formulation vue pour la commande

prédictive à grandeurs de commande continues. D’une part, le modèle à temps discret de période

d’échan-tillonnage T

_s

, qui lui est intégré, est souvent représentatif d’un système non-linéaire possédant un ensemble

de commandes finiΣ. Le modèle est exprimé de la manière suivante :

X(k+¹⁾=f(X(k),u(k)) (3.3)

y(k)₌h(X(k),u(k))u(k)_∈Σ

D’autre part, l’horizon de prédiction sera fixé tel que N=1.

Ainsi, sous certains aspects, le problème optimal prédictif se trouve simplifié par l’imposition de N = 1

par rapport à celui présenté dans l’équation (3.1). Effectivement, sa fonction de coût n’inclura que la valeur

prédite du vecteur d’états à l’instant k+1 X(1_|k). Sa formulation est donnée par l’équation (3.4).

mi n

u

J(X(1_|k)) (3.4a)

t.q. X(1_|k)₌f(X(0_|k),u(k)) (3.4b)

y(0_|k)₌h(X(0_|k),u(k))

X(0_|k)₌X(k) (3.4c)

X

mi n

É^X(1|k)_ÉX

max

(3.4d)

y

_{mi n}

Éy(0_|k)_Éy

_max

(3.4e)

u(k)_∈Σ (3.4f)

La structure du problème optimal prédictif présenté en (3.4) reste cohérent avec celui de l’équation

(3.1). Cette fois, la grandeur de commande est contrainte à appartenir à l’ensembleΣ(équation (3.4f)). De

plus, l’horizon de prédiction (N=1) n’est pas suffisant pour permettre l’existence d’un horizon de contrôle.

De manière classique, ce problème est résolu par calcul de la fonction de coûtJ pour toutes les valeurs

prédites X(1_|k) induites par les valeurs deu(k)_∈Σ. La grandeur de commande qui aboutit à la minimisation

de la fonction de coût sera sélectionnée, et appliquée en sortie du régulateur. Ainsi, même si l’expression

de la fonction de coût ou du modèle entraine la présence de plusieurs minimums locaux, la grandeur de

commandeu(k) correspondant au minimum global pourra être identifiée.

Ainsi, la commande prédictive, qu’elle soit à grandeurs de commande continues ou discrètes,

repré-sente une bonne solution dans les problématiques de commande multi-critères sur des systèmes contraints.

Dans le cadre de la commande en vitesse d’actionneur électromécanique, elle pourrait être implémentée

comme contrôleur global de l’actionneur, permettant de prendre en compte directement les différentes

contraintes du système complet. Cette approche est, cependant, en rupture totale avec les stratégies de

commande usuellement utilisées par les industriels développant les variateurs. Dans une volonté de

com-patibilité, laissant espérer une intégration possible au prototype, la commande en raideur, initialement

im-plémentée, sera conservée, car elle offre en plus des bonnes caractéristiques d’asservissement et de

régu-lation. En revanche, la commande prédictive sera intégrée à différents niveaux de cette commande, ce qui

permettra une gestion des problématiques exposées précédemment (rendement, durabilité de la vis à

rou-leaux satellites), tout en gardant une bonne cohésion avec la structure de commande classique.

Dans le document Contribution au développement d'une mini-pelle tout-électrique : Approche prédictive pour la commande efficace et compliante des actionneurs électromécaniques (Page 94-97)