Les approches de type Monte-Carlo semi-classique

1.2 Miniaturisation des transistors MOSFETs dans le régime nanométrique

1.2.2 Les approches de type Monte-Carlo semi-classique

La méthode Monte-Carlo particulaire résout de manière statistique l’équation de transport de Boltzmann. Pour cela, au lieu de calculer de façon déterministe l’évolution de la fonction de distribution, le mouvement de chacun des porteurs pris individuellement est calculé de façon probabiliste dans l’espace réel et dans l’espace des vecteurs d’onde. Ainsi, aucune hypothèse sur les grandeurs macroscopiques n’est faite puisque les porteurs sont suivis au niveau microscopique. Les principes de la méthode Monte-Carlo ayant été abondamment décrits dans la littérature (citons en particulier [Jacoboni 83, Fischetti 88, Kosina 00]), nous n’en rappelons que les grandes lignes. Le mouvement de chacun des porteurs est décrit en fonction du temps, dans les espaces réels et réciproques, comme une succession de temps de vols libres soumis au seul effet du champ électrique local et interrompus par des interactions supposées instantanées (cf. Figure 1.8). Ces interactions peuvent être dues aux imperfections du réseau cristallin (vibrations des atomes, présence d’impuretés) où à la présence d’interface rugueuse (interface oxyde-silicium).

Figure 1.8 : Schématisation du principe de la méthode Monte-Carlo. Description du mouvement individuel de chaque porteur.

Figure 1.9 : Organigramme général de la méthode Monte-Carlo.

Le potentiel électrostatique, et donc le champ électrostatique, sont calculés par résolution de l’équation de Poisson dans un maillage, à intervalles de temps réguliers. Le calcul du mouvement des porteurs et de la distribution de champ électrostatique sont donc découplés temporellement. Ainsi, la résolution de l’équation de Poisson à chaque pas sur le temps permet d’assurer la cohérence entre le champ électrique appliqué et le mouvement des porteurs (cf. Figure 1.9). Le nom ‘Monte-Carlo’ attribué à cette méthode provient du fait que les variables aléatoires visant à déterminer la durée du vol libre, la nature de l’interaction subie à la fin du vol libre et l’effet de l’interaction sélectionnée sur l’énergie et le vecteur d’onde sont déterminés par tirage au sort sur la base de probabilités d’interaction préalablement définies (allusion aux jeux de hasards pratiqués à Monte-Carlo). La Figure 1.10 représente l’algorithme détaillé de la résolution de l’équation de transport de Boltzmann par approche Monte-Carlo Des notions complémentaires concernant la structure de bande, le mouvement des porteurs et les fréquences d’interaction sont présentées en Annexe A.

Pour conclure, les approches de type Monte-Carlo semi-classique permettent une résolution statistique de l’équation de transport de Boltzmann. Si ce type d’approche constitue souvent une référence pour les autres simulateurs puisque qu’elle reste très proche des phénomènes physiques fondamentaux, le nombre limité de porteurs qu’il est possible de simuler peut toutefois conduire à des résultats bruités. La description rigoureuse des phénomènes physiques se fait alors au prix de temps de calcul assez longs. De plus, comme précisé dans le paragraphe 1.2.1.2, en régime de désertion ou de très faible inversion, le nombre de porteurs participant au courant est négligeable. Les approches particulaires de type Monte-Carlo ne sont donc pas bien adaptées à la description de ces régimes (pourtant possible), elles sont essentiellement limitées aux régimes d’inversion forte c'est-à-dire aux régimes pour lesquels la tension de polarisation est supérieure à la tension de seuil. Tout ceci laisse donc un certain champ libre aux approches macroscopiques comme les modèles dérive-diffusion ou hydrodynamique [Rudan 94] couramment utilisés en TCAD (pour Technology Computer Aided Design). Cependant, la méthode Monte-Carlo est un outil indispensable à la prise en compte des phénomènes de transport hors-équilibre et balistique qui ne peuvent plus être négligés pour les très faibles longueurs de grille. Dans toute cette étude, nous avons donc choisi de travailler avec MONACO, le

Mouvement des porteurs Équation de Poisson Potentiel électrostatique Champ électrique Concentration de porteurs Mouvement des porteurs Mouvement des porteurs Équation de Poisson Potentiel électrostatique Équation de Poisson Potentiel électrostatique Champ électrique Champ électrique Concentration de porteurs Concentration de porteurs V₀(t₀) V₁(t₀+t₁) t_V1 t_V2 E V₀(t₀) V₀(t₀) V₁(t₀+t₁) V₁(t₀+t₁) t_V1 t_V2 E E

simulateur particulaire de type Monte-Carlo semi-classique développé à l’Institut d’Electronique Fondamentale de l’Université d’Orsay [Dollfus 99]. De plus, la prise en compte des effets ondulatoires s’avère désormais indispensable à l’évaluation quantitative des principales caractéristiques électriques de ces dispositifs. En effet, de par la miniaturisation des dimensions géométriques des dispositifs MOSFETs, les épaisseurs de canal ou d’oxyde de grille sont désormais proches des valeurs des longueurs d’onde des électrons λ (λ=2π k =h 2mE= 14 nm et 6,5 nm respectivement pour les porteurs à masse transverse et longitudinale dans le cas du silicium à 300K pour E=3 2.kBT). Commençons donc par définir ces effets quantiques et étudier plus précisément la manière dont ils se manifestent.

Figure 1.10 : Algorithme détaillé de la méthode Monte-Carlo semi-classique. t_p= ∆t

Détermination aléatoire du temps de vol libre tv

Calcul du temps de sortie de maille t_s t_m= le plus petit temps parmi (t_p, t_s, t_v) Détermination du mouvement des porteurs jusqu’à t_m

Détermination aléatoire du mécanisme de collision

(taux d’interaction) Détermination de l’état du

porteur après la collision tp= tp– tm

Conditions aux limites (changement de maille)

t_p= t_p– t_s

tm= tv tm= ts tm= tp

Mise à jour de la distribution de charges Résolution de l’équation de Poisson Potentiel

Mise à jour du champ électrique N = 1

non N = N+1

N > N_tot

Conditions aux limites (contacts ohmiques) oui t = t + ∆t t > t_end oui FIN N_tot: nombre total de particules à simuler

N : nombre de particules simulées t_end: temps total de la simulation t : temps simulé

∆∆∆∆t : pas de simulation (temps au bout duquel on résout Poisson) t_p: temps restant avant Poisson t_v: temps de vol libre

t_s: temps de sortie de maille t_m: temps du mouvement

non DEBUT

t_p= ∆t