Couplage Monte-Carlo Schrödinger

L’approche traitée dans ce paragraphe et que nous appellerons couplage Monte-Carlo Schrödinger est actuellement plus connue en littérature sous le nom multi-sub-band Monte-Carlo. Initiée par les travaux de l’équipe de Fischetti [Fischetti 93], elle été reprise et complétée dans les références suivantes dont la liste n’est pas exhaustive [Williams 00, Ezaki 03, Lucci 05, Saint Martin 06]. Le principe de ce type d’approche est de découpler la direction du transport y, pour laquelle le mouvement des porteurs est supposé semi-classique, de la direction transverse au transport x, pour laquelle les porteurs sont confinés et leur énergie est supposée être quantifiée sur toute l’épaisseur du film de silicium. Ainsi donc les porteurs dans le canal étant libres de se mouvoir parallèlement au canal mais leurs mouvements perpendiculaires étant confinés dans un puits de potentiel étroit, la modélisation du transport des porteurs se fait dans un gaz 2D et non plus dans un gaz 3D comme dans le cas classique. Ceci nécessite notamment de reformuler les modèles d’interaction et les fréquences associées en gaz 2D. Afin d’expliciter le fonctionnement général d’une méthode de couplage Monte-Carlo Schrödinger, l’algorithme des principales étapes d’une telle méthode est présenté sur la Figure 1.14.

Figure 1.14 : Organigramme général de la méthode de couplage Monte-Carlo-Schrödinger.

Figure 1.15 : Schéma d’une structure double-grille divisée en tranches Schrödinger.

Le dispositif simulé est divisé en tranches dans la direction du transport y appelées tranches Schrödinger (cf. Figure 1.15). Dans chacune de ces tranches, le profil de potentiel étant connu, l’équation de Schrödinger est résolue dans la direction du confinement x et permet d’obtenir les niveaux d’énergie εn(y) et leur fonction d’onde associée ψn(x,y). La connaissance de l’évolution des

niveaux d’énergie dans la direction du transport permet d’accéder au champ électrique. En effet, le champ électrique subi par un porteur de la sous-bande n est donné par la dérivée première du niveau d’énergie εn dans la direction du transport y. Ainsi donc, le mouvement des porteurs est une

succession de vols libres, régis par le champ électrique dépendant du niveau d’énergie auquel le porteur appartient, interrompus par des interactions, dont les mécanismes et les fréquences ont été reformulées pour un gaz 2D. A la fin du mouvement des porteurs, le nombre de porteurs sur chacune des sous-bandes d’énergie n dans chacune des tranches Schrödinger est connu. Pour chacune des tranches, la charge des électrons présents est repartie dans la direction du confinement x en fonction de leur probabilité de présence |ψn(x,y)|². La résolution de l’équation de Poisson à partir de

la densité de charge donne accès au potentiel de Poisson à laquelle succède une nouvelle résolution de l’équation de Schrödinger dans chacune des tranches. Les itérations se succèdent ainsi en fonction du temps. Il y a donc auto-cohérence entre les résolutions de l’équation du transport 1D (axe y), de l’équation de Schrödinger 1D (axe x) et de l’équation de Poisson 2D.

Le principal avantage de ce type d’approche est d’avoir accès à la connaissance des niveaux d’énergie et des fonctions d’onde dans la direction transverse au transport par la résolution de l’équation de Schrödinger. Les effets quantiques dans la direction du confinement sont ainsi pris en compte de manière physique et sans aucun paramètre ajustable. De plus, les mécanismes d’interaction et les fréquences associées peuvent être formulées en gaz 2D. Le transport peut ainsi être effectué dans les différentes sous-bandes. A ce jour, ce type d’approche pour la simulation du transport électronique est pour le moment seulement appliqué aux dispositifs double-grille à film très mince

→ y → x → y → x Mouvement des porteurs

dans un gaz 2D avec mécanismes d’interaction en 2D

Équation de Poisson 2D

Concentration de porteurs

V(x,y)

Équation de Schrödinger 1D

(dans la direction du confinement x pour chaque tranche y)

ε_n(y),ψ_n(x,y) Champ électrique

(dans la direction du transport y pour chaque sous-bande n)

→ → ε = y dy ) y ( d F n n Ny: nombre de porteurs dans chaque tranche y

( )

∑

Mouvement des porteurs dans un gaz 2D avec mécanismes d’interaction en 2D

Mouvement des porteurs dans un gaz 2D avec mécanismes d’interaction en 2D

Équation de Poisson 2D

Concentration de porteurs

V(x,y)

Équation de Schrödinger 1D

(dans la direction du confinement x pour chaque tranche y)

Équation de Schrödinger 1D

(dans la direction du confinement x pour chaque tranche y)

ε_n(y),ψ_n(x,y) Champ électrique

(dans la direction du transport y pour chaque sous-bande n)

Champ électrique

(dans la direction du transport y pour chaque sous-bande n)

→ → ε = y dy ) y ( d F n n N_y: nombre de porteurs dans chaque tranche y

( )

∑

[Lucci 05, Saint Martin 06]. Ceci, afin que les directions du transport et du confinement puissent être découplées et que tous les porteurs puissent être considérés comme étant dans un gaz 2D. Bien que la coexistence de gaz de porteurs de dimensionnalité 2D et 3D dans le canal ait été étudiée [Monsef 02], elle n’est pour le moment pas intégrée dans la simulation auto-cohérente de composants. Cependant, pour les longueurs de canal simulées avec ce type d’approche (Lcanal < 10 nm), l’approximation semi-

classique dans la direction du transport devient largement critiquable car le courant tunnel entre la source et le drain n’est plus négligeable [Kawaura 00]. En conséquence de quoi, des travaux récents et évoqués dans le paragraphe précédent mettent en œuvre des méthodes Monte-Carlo permettant de coupler une résolution de Schrödinger dans la direction transverse au transport avec une résolution de Wigner dans la direction du transport [Sverdlov 05, Querlioz 06b]. Cependant, tout comme la résolution de l’équation de transport de Wigner, la résolution de l’équation de Schrödinger dans un code Monte-Carlo est très fortement consommatrice en temps CPU. Le couplage de ces deux résolutions est donc limité à l’étude de dispositifs de taille extrêmement réduite (transistor à double- grille d’épaisseur de film de 3 nm et de longueur de canal de 6 nm [Querlioz 06b]).